KANDIDÁTUSI ÉRTEKEZÉS

Györffy János

VETÜLET—OPTIMALIZÁLÁS A GEOKARTOGRÁFIÁBAN, KÜLÖNÖS TEKINTETTEL A FÖLD FÉLGÖMBNYI VAGY NAGYOBB RÉSZÉNEK ÁBRÁZOLÁSÁRA

Budapest

1993

TARTALOMJEGYZÉK

Tartalomjegyzék                                       1

1. Az optimális vetületválasztás alapfogalmai          3

1.1 A térképhasználat és a vetületek                      3

1.2. A vetületválasztás szempontjai                         4

1.3. A vetületválasztás menete                              5

1.4. Optimális vetületek a geokartográfiában                8

2. A lokális torzulási mérőszámok és tulajdonságaik    11

2.1. A torzulás lokális jellemzése                         11

2.2. A hossztorzulás mértéke                               11

2.3. A területtorzulás mértéke                             13

2.4. A szögtorzulás mértéke                                14

2.5. A teljes torzulás mértéke                             20

2.6. A teljes torzulás lokális mérőszámainak

tulajdonságai                                        28

3. A globális torzulási mérőszámok és alkalmazhatóságuk 28

3.1. A torzulás globális jellemzése                        28

3.2. A hossztorzulási viszony                              29

3.3. A hossztorzulás átlagos mértéke                       32

3.4. A területtorzulási viszony                            34

3.5. A terület torzulásának átlagos mértéke                36

3.6. A szögtorzulás átlagos mértéke                        36

3.7. A teljes torzulás átlagos mértéke                     38

3.8. A teljes torzulás globális mérőszámainak

tulajdonságai                                       40

4. Optimális vetületek a valódi hengervetületek körében 44

4.1. A hengervetületek optimalizálásának módja             44

4.2. Minimális átlagos hossztorzulású hengervetületek      46

4.3. Minimális átlagos területtorzulású hengervetületek    50

4.4. Minimális átlagos szögtorzulású hengervetületek      51

4.5. Minimális átlagos teljes torzulású hengervetületek    51

5. Optimális vetületek a valódi síkvetületek körében   66

5.1. A síkvetületek optimalizálásának módja                66

5.2. Minimális átlagos hossztorzulású síkvetületek         67

5.3. Minimális átlagos területtorzulású síkvetületek       71

5.4. Minimális átlagos szögtorzulású síkvetületek         71

5.5. Minimális átlagos teljes torzulású síkvetületek        72

6. Optimális vetületek a valódi kúpvetületek

    körében                                                88

7. Optimális vetületek a képzetes vetületek körében         90

7.1 A képzetes vetületek torzulás szerinti rangsorolása      90

7.2. Átlagos hossztorzulás a képzetes vetületek körében      94

7.3. Átlagos teljes torzulás a képzetes vetületek körében 95 7.4. A globális torzulási értékelések összegezése            97

7.5. A képzetes vetületek torzulási értékelése és a

     térképészeti gyakorlat                                100

Irodalom                                                  101

Kandidátusi értekezés tézisei                              106

1. AZ OPTIMÁLIS VETÜLETVÁLASZTÁS ALAPFOGALMAI

1.1. A térképhasználat és a vetületek

     A térkép síkban ábrázolja a görbült földfelületen megjelenő vagy azzal kapcsolatos jelenségeket. A földfelület, pontosabban az azt jól közelítő forgásfelület (ellipszoid vagy gömb) meghatározott szabályokat követő síkba történő leképezését vetületnek nevezzük, amely szükségszerűen vetületi torzulásokkal – a mérhető mennyiségeknek a leképezés során fellépő megváltozásával - jár. Eltekintve a nagyon kis területet  ábrázoló  és  ezért  a  föld görbültségét figyelmen  kívül  hagyó,  valamint  az  elnagyolt, matematikai szabályszerűség  nélküli  ábrázolásoktól, a térképeknek mindig van vetületük. A térképvetületekkel foglalkozó tudományág, a vetülettan (más néven matematikai kartográfia) egyrészt fontos része az elméleti kartográfiának, másrészt a térképszerkesztés és a térképhasználat gyakorlati kérdéseivel szorosan összefüggő diszciplína.

     Térképhasználatra  sokféle  célból  kerülhet  sor:

      ‑ térben való tájékozódás elősegítése  (pl. katonai vagy

        várostérképek);

      ‑ földrészletekkel,   ingatlanokkal  kapcsolatos  adatok

        szolgáltatása;

      ‑ területi  jellegű  mennyiségi  és minőségi információk

        leolvasása vagy áttekintése;

      ‑ a     földrajzi     kapcsolatok    szemléltetése    és

        kidomborítása;

      ‑ mérések elvégzése a térképen;

      ‑ stb.

     A térképi méréseknek az a célja, hogy eredményük alapján a valódi (földfelületi) méretekre tudjunk visszakövetkeztetni. A leképezés során fellépő vetületi torzulások közül elsősorban azokat  kell  számbavennünk,  amelyek  a  térképi  és a valódi méretek egyszerű ‑ a névleges méretarányon alapuló – viszonyát megváltoztatják, és ennek következtében a pontos valódi méretek  kikövetkeztetését igen megnehezítik, sőt többnyire lehetetlenné   teszik. A térképeken közismerten elsősorban hosszakat, szögeket és területeket mérünk. Ennek megfelelően a hossz‑, szög‑ és területtorzulások okozzák a legtöbb zavart a térképhasználatban. (Természetesen másféle, esetleg nehezen vagy egyáltalán nem mérhető torzulások is felléphetnek a térképen: ilyen pl. az ábrázolt földfelületi tartományok ‑ országok, kontinensek ‑ alakjának torzulása.)

     Lássunk néhány példát a térképhasználatot akadályozó vagy

zavaró  vetületi  torzulásokra.  Nagyméretarányú térképeken az

irányredukció  miatt  a  térképről  többnyire  nem  mérhető le

pontosan  a valódi szög; nem‑területtartó vetület esetén pedig

a  nagyobb  földrészletek  pontos területe már csak a torzulás

figyelembevételével  mérhető.  Az  a  várostérképeknél újabban

kedvelt  vetületi  megoldás,  mely  a  turisztikai szempontból

rendszerint  fontosabb  városközpontot valamelyest felnagyítja

a  környező  területek rovására, a sugárirányú illetve az erre

merőleges   távolságok   becslését  teheti  illuzórikussá,  és

emiatt sok bosszúságot okozhat a térkép alapján közlekedőnek.

     A  hossztartó vonalakon   kívüli   távolságmérés   durva  melléfogásokat  is eredményezhet. Kisméretarányú térképeknél az égtájak szerinti tájékozódást zavarja a meridiánkonvergencia. A szögtorzulás az ábrázolt területrészek elcsavarodásával jár, a területtorzulás  pedig  a  területi vonatkozású  mennyiségi  adatok  áttekintését,  szemléltetését rontja.

     Ez a rövid áttekintés is érzékelteti a térképhasználat és a  felhasznált  térkép vetülete  közötti  szoros összefüggést. A térképszerkesztői munkának ezért igen lényeges része a vetület helyes megválasztása.

1.2. A vetületválasztás szempontjai

     A   vetületválasztást  befolyásoló  tényezőket  főleg  az

ábrázolás    célja,   illetve   az   ebből   adódó   torzulási

követelmények   szempontjából   érdemes   szemügyre   vennünk.

Kiindulásként   el   kell   különítenünk   a   nagyméretarányú

(földmérési, topográfiai)   térképeket.   Ezeknél  a  vetületi

torzulások   olyan  csekéllyé  teendők,  hogy  térképhasználat

közben   lehetőleg   figyelmen   kívül   hagyhatók   legyenek.

(A  szögtartó  vetületben  pl. a hossz‑ és irányredukciót csak

nagy   pontosságot   igénylő  feladatoknál  szokás  számításba

venni.)    A   nagyobb   területet   ábrázoló   kisméretarányú

térképeknél  mindenképpen  számolni  kell  erősebb  torzulások

fellépésével.   Ilyenkor  csak  az  ábrázolás  témája  számára

leghátrányosabb   torzulások   kiküszöbölése   vagy  lehetőség

szerinti csökkentése a cél.

     A konkrét vetület kiválasztását a fenti alap-követelményeken kívül további szempontok is befolyásolhatják:

  ‑ az  ábrázolandó  tartomány  alakja  és  nagysága,  továbbá

    elhelyezkedése a Földön;

  ‑ a térképlap megszabott alakja és nagysága;

  ‑ előírás    vagy    hagyomány,    sőt    igen   gyakran   a

    térképszerkesztői gyakorlatban kialakult megszokás.

     A     vetületválasztás     tradíciói     közismertek    a

térképhasználók   körében.   E  hagyományok  egykor  az  egyes

vetületek     torzulásainak    kvalitatív    és    kvantitatív

elemzéséből,   ezek   eredményeinek   összehasonlításából,  az

előnyök  és a hátrányok mérlegeléséből alakultak ki. Századunk

huszas  éveitől kezdve azonban a geokartográfiában felhasznált

repertoár  ‑  számos  újonnan  keletkezett vetület ellenére  ‑

egyre  inkább  megcsontosodott.

     A    számítástechnika   alkalmazása  megkönnyíti   új,  a

korábbiaknál    bonyolultabb    vetületek   számításbavételét,

meggyorsítja  a  lehetséges  alternatívák áttekintését, és így

segít  a  döntés  kialakításában.  Gépi  rajzeszközök lehetővé

teszik  bármely vetületű térkép akár nyomdakész megjelenítését

is.  A szóbajöhető vetületek körének kiszélesítésével, az ezek

közötti    választás    vizuális    és   kvantitatív   jellegű

támogatásával a számítógép tehát új lendületet ad a vetülettan

fejlődésének.

1.3. A vetületválasztás menete

     A   célnak   leginkább   megfelelő  vetület  kiválasztása

háromféle típusú, döntést is magábafoglaló tevékenységből áll:

 ‑ a    kihangsúlyozandó   tematikus   vonásokhoz   illeszkedő

   vetületi  jelleg  és  torzulási  kívánalmak  meghatározása,

   ennek alapján a szóbajöhető vetületek behatárolása;

 ‑ vetületi optimalizálás:  olyan vetület kiválasztása, melynél

   a   kérdéses  torzulások  mértéke  és  eloszlása  a  lehető

   legelőnyösebb;

 ‑ az  ábrázolandó  terület  áthelyezése  a  vetületi  hálózat

   torzulási   szempontból  legkedvezőbb részére,  fokhálózat‑

   elforgatási transzformáció segítségével.

  a)  A  konkrét  témáknak  megfelelő vetületi jellegek ([34],

  [44])  ‑  többnyire  fokhálózati ismérvek  ‑  a  hagyományos

  vetülettan  kifejlődése  során  tisztázódtak (pl. párhuzamos

  hosszúsági  és  szélességi  körök  az  időzónákat  illetve a

  vegetációs     övezeteket    ábrázoló    térképeken;    vagy

  megkívánhatjuk,   hogy   a   teljes  Föld  képének  kontúrja

  ellipszis  alakú  legyen,  stb.).  Az is  kialakult,  hogy a

  témától    függően    milyen    torzulásokat    tekinthetünk

  hátrányosnak   (pl.   a   szögtorzulásokat  a  meteorológiai

  térképek,  a  területtorzulásokat  a  mezőgazdasági térképek

  számára, stb.).

  Szakmai  közhelynek  számít,  hogy  a  kívánatos vetületi

  jelleg  az  ábrázolandó  terület alakjától és nagyságától is

  függ.  A  teljes  Föld  ábrázolására nagyobbrészt a képzetes

  vetületeket,    kisebbrészt   a   valódi   hengervetületeket

  használják.  Egy  gömbi főkör mentén hosszan elnyúló terület

  ábrázolására  a  valódi  hengervetületeket ajánlják (esetleg

  transzverzális  vagy  ferdetengelyű  helyzetben,  a kérdéses

  gömbi  főkör  segédegyenlítővé választásával). A közelítőleg

  kör   alakú   területeket  rendszerint  valódi síkvetülettel

  képezik  le. Inkább közepes és nagy méretarányban fordul elő

  valamilyen gömbi kör menti hosszúkás terület, amelyre valódi

  kúpvetület  a  legalkalmasabb  (pl.  a  kérdéses  gömbi kört

  választva normálparallelkörnek).

  b)  A  legelőnyösebb  torzulású  vetület  kiválasztásához, a

  döntés  megalapozásához  szükségünk  van  az egyes vetületek

  torzulási szempontú összehasonlításának objektív módszerére.

  Pontosabban:   ugyanazon   terület   több   vetületben  való

  ábrázolásakor  egyértelműen  el  kell  tudnunk dönteni, hogy

  torzulási  szempontból  melyik a legelőnyösebb. Definiálnunk

  kell  tehát  a  fellépő  torzulások  mértékének  kvantitatív

  összehasonlítási   módját,   amely   gyakorlatilag   kétféle

  szempont szerint történhet ([56],[23]):

  ‑ összehasonlítjuk  az ábrázolt területen fellépő torzulások

maximumát;  amelyik  vetületnél  ez a maximum a legkisebb,

    azt tekintjük a legkedvezőbbnek;  ezt az ún. minimax elvet

    főként  a  nagyméretarányú,  tehát  közvetlen mérésekre is

    használt térképek vetületének választásához használják, de

    ritkán  előfordul  földrajzi  térképek  vizsgálatakor  is,

    kiváltképp a területtorzulásra vonatkoztatva ([22],[72]);

  vagy:

  ‑ összehasonlítjuk  az ábrázolt területen fellépő torzulások

átlagát.  Az  átlagot  úgy  mérjük,  hogy  az  ábrázolt  T

    tartomány    minden    pontjában    infinitezimális   úton

    kiszámított és a torzulást illetve a torzultságot jellemző

e²  ún.  lokális torzulási mérőszámot integráljuk a teljes

    T‑re,  majd ezt a felületi integrált osztjuk a T tartomány

m(T) nagyságával, azaz a felszínnel ([1],[22],[35],[45]):

                          (1)

    Az  így  kapott E² számot nevezzük a T területre vonatkozó

    átlagos  négyzetes torzulás mérőszámának; legjobbnak pedig

    azt  a vetületet tekintjük, amelyik vetületnél ez az átlag

    minimális.  A  vetületek  összehasonlításának ezt a módját

variációs  elvnek  nevezzük.  Ez  az E² mérőszám ‑ szemben

e²‑tel   ‑   a   torzulást  nem  egy  pontban,  hanem  egy

    meghatározott  kiterjedésű területen összességében, vagyis

    globálisan   jellemzi,  ezért  szokás  globális  torzulási

    mérőszámnak   is   nevezni.   Kisméretarányú   térképeknél

    számolnunk  kell  azzal,  hogy  bizonyos  torzulások  igen

    nagyok,  esetleg  végtelen nagyok lehetnek, ezért körükben

    előnyösebb  az  átlagok  összehasonlítása.  (Az  E²  és e²

    mérőszámokban  a négyzetreemelés jele egy szimbólum, amely

    azt jelöli, hogy e torzulási mennyiségek mindig pozitivak.

    Ennek elérése érdekében  az e² többnyire valóban tartalmaz

    négyzetes kifejezést, de nem szükségszerűen.)

  Megemlítünk  még  egy  további  módszert  is,  amelynél négy

  rögzített   pontban  előírjuk  a meridián mentén  föllépő  h

  és  a  parallelkör menti  k  hossztorzulásból,  valamint  a j

  szélességből  kiszámított  (h² × cos²j+k²)  mennyiség,  az  ún.

  összegtorzulás   értékét,   majd   a  legfeljebb  harmadfokú

  polinomként  felírt  vetületi egyenletek együtthatóit az így

  adódó nemlineáris egyenletrendszerből iterációval határozzuk

  meg  [76].  (Ennél  az  eljárásnál  a  nehézség  a rögzített

  torzulások  helyének  és  nagyságának  megadásában  van; nem

  tudhatjuk  ugyanis  előre,  hogy  e  pontok  között valamint

  ezeken  kívül milyen lesz a fokhálózat képe és a torzulások.

  Nincs  azonkívül  előzetes  információnk  sem  a  torzulások

  maximumának,  sem  azok  átlagának alakulásáról. Elfogadható

  eredményt   ezért   csak   az   előre  rögzített  torzulások

  változtatgatásától remélhetünk.)

  c)  Ha  az  alkalmazandó  vetület  adott, akkor a torzulások

  csökkentésének    lehetősége    a   fokhálózat   elforgatási

  transzformációtól   várható.   Ennek  során  az  ábrázolandó

  területet   vagy  annak  kihangsúlyozandó  részét  az  adott

  vetületi  hálózatban  úgy  igyekszünk  elhelyezni, hogy az a

  szóbanforgó   vetület   torzulási  szempontból  legkedvezőbb

  részét  foglalja  el. Közkeletű terminológiával élve tehát a

  normális    elhelyezésű   vetületből   transzverzális   vagy

  ferdetengelyű   vetületet   készítünk.  Globális  illetve  a

  Föld   jelentős  részére  kiterjedő  témáknál  e  módszerrel

  kiemelhetők    a    téma   szempontjából   fontos   területi

  összefüggések    és    kapcsolatok.    Képzetes    vetületek

  alkalmazásakor    segédhosszúság    szerinti   elforgatással

  ([86],[44],[46])   látványos,  újszerű  vetületi  megoldások

  hozhatók létre.

     A  fentiekben  leírt  három vetületválasztási tevékenység

lényegében független egymástól, és bizonyos feltételek mellett

össze  is  kapcsolhatók.  A  vetületi optimalizálást célszerűen

megelőzi   a   kívánatos   vetületi   jelleg  és  a  torzulási

követelmények    meghatározása,    ezáltal    a    leszűkített

választékból  könnyebben  kiválasztható  az  optimum.  Hasonló

módon  tovább  javíthatók  a térkép torzulási tulajdonságai az

optimálisként   kiválasztott   vetületben,   ha  a  fokhálózat

elforgatásával  visszük  az  ábrázolandó  területet a vetületi

háló legkisebb torzulású részére.

     Probléma   csak   az   első   és   harmadik   tevékenység

összekapcsolásakor merül fel. A vetületi jellegzetességek és a

torzulási   sajátosságok   egy   része  ugyanis  a  fokhálózat

elforgatásakor   elvész.   (Az   említett   példák   közül   a

parallelkörök  vagy  a meridiánok párhuzamossága az elforgatás

után   megszűnik,  a  teljes  Föld  képének  kontúrja  viszont

változatlan  marad.  Megmarad a szögtartás és a területtartás,

de megszűnik a meridiánok menti hossztartás, sőt nem‑szögtartó

vetület  esetén  a fokhálózat  merőlegessége is.)  Az együttes

alkalmazás    ilyen    esetben   előzetes   mérlegelést   tesz

szükségessé.

1.4. Optimális vetületek a geokartográfiában

A   fentieknek   megfelelően  a  vetületi  optimumokat  a továbbiakban a vetületi torzulások alapján fogjuk vizsgálni.

     A  térképészet  optimális  vetületei elméleti szempontból

Mescserjakov   [56]   nyomán   két   csoportba  oszthatók.  Ha

egy  adott  optimumfeltétel  alapján   az  összes  elméletileg

létező  vetületből  választjuk  ki  a  legjobbat,  akkor  ún.

ideális  vetületet  kapunk.  Ha  viszont  valamilyen elvi vagy

gyakorlati  okból  a  vizsgált vetületek körét leszűkítjük, és

egy   pontosan   körülhatárolt,  matematikailag  jól  leírható

vetületosztályból  (pl.  a  területtartó  vetületek,  a valódi

hengervetületek,  stb.  közül)  választjuk  ki az optimálisat,

akkor   az   ún.  legjobb kartográfiai vetülethez  jutunk.  A  szóbajöhető vetületek  körének  meghatározásánál  a  korábbi  fejezetekben megadott szempontokat kell szem előtt tartani.

     A  kiválasztott optimumfeltétel alapján mindkét csoporton

belül    megkülönböztetünk   minimax   és   variációs   típusú

vetületeket.  A  variációs  típusú vetületnél az (1) képletben

szereplő,  általános  formulákkal  felírt e² lokális torzulási

mérőszám matematikai derékszögű koordinátarendszer alkalmazása esetén az   x=x(j,l)  és  y=y(j,l)   vetületi   egyenleteknek,

polárkoordináta-rendszer   esetén   pedig   a  p=p(b,l) sugár-függvénynek és az n sugárhajlásnak (a térképi és alapfelületi hosszúságok arányának) valamilyen kifejezése (ahol  j  a föld-rajzi szélesség, b a szélesség pótszöge, a pólustávolság (b=90°-j), l pedig a földrajzi hosszúság). Az (1) integrál tehát a megengedett – és e dolgozatban mindig egység-sugarú gömbre vonatkoztatott  ‑  x  és  y, illetve  p  és  n függvények halmazán értelmezett funkcionál.

    A  minimális  integrálértékhez  vezető  optimális  x  és y

függvények   illetve   a  p  sugárfüggvény  és  n  sugárhajlás

meghatározása  mind  az  ideális,  mind a legjobb vetületeknél

variációszámítási   feladat  megoldását  igényli,  innen  ered

ennek    az   optimumfeltétel‑típusnak   az   elnevezése.    A

variációszámításból   ismert   ([50]),   hogy   a   funkcionál

extremális függvényére  teljesülnie kell az ún. Euler—Lagrange

differenciálegyenletnek.  Ennek  megoldása  adja  az optimális

függvény    meghatározásának   egyik   lehetséges   módszerét.

Dolgozatunkban    többnyire   inkább   egy   direkt   módszert

részesítünk  előnyben, amely szerint növekvő fokszámú polinom‑

sorozattal közelítjük az optimális függvényt.

     A térképészetben ismeretes optimális vetületeket tehát az

alábbi sémában foglalhatjuk össze:

a térképészet optimális vetületei	ideális vetületek	minimax típusú
		variációs típusú
	legjobb vetületek	minimax típusú
		variációs típusú
		adott pontban előírt torzulású

(A legutolsó típusú  vetületcsoportot, amely tartalmazza a már

említett "előírt összegtorzulású" vetületet,  azért soroljuk a

"legjobb  vetületek"  közé,  mert  egyrészt az előírt nagyságú

torzulásokat  csak  véges  számú  diszkrét pontban teljesítik,

másrészt  a  vetületi  egyenletük  csak  polinom  alakú lehet,

éspedig  esetünkben az előírt torzulású pontok számánál eggyel

alacsonyabb fokszámú polinom.)

     Az  ideális  ill.  a  legjobb  vetületek  megkonstruálása

matematikai   szempontból   nem   mindig   egyszerű.  Ezért  a

gyakorlatban  időnként  megelégszünk  azzal,  hogy  a vizsgált

vetületcsoportban   csak  a  nevezetes,   vagy  legalábbis  az

irodalomból  ismert vetületek közül keressük az optimálisat. A

megoldás  többnyire  ilyenkor  is igényel számítógépet, hiszen

nagyszámú  torzulási  érték  kiszámítására  (variációs  típusú

feladat  esetén  még  e torzulások átlagolására) van szükség a jellemző (tehát maximális vagy közepes) torzulás eléréséhez,

amelyek összehasonlítása szolgáltatja a vetületi optimumot. Ez

az  eljárás  ‑  a  számításba  vett vetületek számától függően

durvábban  vagy  pontosabban ‑ de csak megközelíti az elméleti

optimumot.  Mégis előnyös lehet az alkalmazása, és nem pusztán

a   módszer   viszonylagos  egyszerűsége  okán,  hanem  amiatt

is,   mert  a  legelőnyösebbként  kiválasztott  vetület  egyéb

tulajdonságai  mind  a  vetület  alkalmazója,  mind  a  térkép

használója számára az irodalomban hozzáférhetőek.

     E  dolgozat  a  geokartográfia vetületeivel, ezen belül a

félgömbnyi  vagy  nagyobb  területek  ábrázolásának  optimális

vetületeivel  foglalkozik.  Ekkora  kiterjedésű terület esetén

értelemszerűen csak a variációs típusú vetület‑összehasonlítás

jöhet  szóba.  A  továbbiakban  tehát  áttekintjük a variációs

típusú vizsgálatok alapját képező torzulási mérőszámokat. Erre

építve   vizsgáljuk  meg  a  chorográfiai  térképek  optimális

vetületeit,  figyelmen  kívül  hagyva  a  tematikus  ábrázolás

esetleges sajátos torzulási követelményeit.

     Az  optimális  vetületek  két  nagy  csoportja  közül  az

ideális  vetületek körébe tartozók megkonstruálása matematikai

szempontból  bonyolult differenciálegyenlet‑rendszerhez vezet,

amelynek  ráadásul  a  numerikus  megoldása is nehézkes, ezért

ennek  a  vetületcsoportnak  a  vizsgálatától itt eltekintünk.

A  térképészeti  vetületválasztás  gyakorlatában  egyébként is

szinte mindig teszünk valamiféle megkötést a vetület jellegére

vagy  torzulási alaptulajdonságaira. Ennek figyelembevételével

tehát  a  legjobb  kartográfiai vetületek körére szorítkozunk,

ezek  közül  is  kiemelten  foglalkozunk  a fokhálózat jellege

alapján   kialakított  vetületosztályok  optimalizálásával.  A

valódi   sík‑  és  hengervetületeknél  az  elméleti  optimumok

meghatározása  a  célunk, a képzetes vetületek körében viszont

a  gyakorlatból ismert vetületek torzulási összehasonlításával

keressük meg a legjobbat.

2. A LOKÁLIS TORZULÁSI MÉRŐSZÁMOK éS TULAJDONSÁGAIK

2.1. A torzulás lokális jellemzése

     Egy adott terület térképi ábrázolásánál a számításba vett

vetületek  variációs  típusú  összehasonlítása  az  (1) képlet

által  meghatározott  E²  átlagos négyzetes torzulási mérőszám

alapján  történik. Az E² szám az ábrázolt T tartomány pontjain

értelmezett  e²  függvény  felületi  integrálásából adódik, E²

értéke  tehát  elsősorban  az  e²  integrandus  megválasztásán

múlik.   Az   e² ³0  függvény,  a  lokális  torzulási  mérőszám

szándékunk   szerint   a   pontbeli   torzulás   mértékét   (a

torzultságot)   kell   kifejezze,   vagyis   a  torzulásmentes

állapottól  való  eltérés fokát. e² értéke akkor és csak akkor

zérus, ha a vizsgált torzulás a pontban nem lép fel, és értéke

annál  nagyobb, minél erősebb az illető torzulás a pontban. Az

e²  vagy  csak egy bizonyos torzulást, vagy a teljes torzulást

jellemzi egy számmal a térkép bármely pontjában, megválasztása

ezért  végső  soron  azon múlik, hogy milyen jellegű torzulást

vagy  torzulásokat  szándékozunk minimalizálni.

     Ismeretes  továbbá,  hogy a térkép egy pontjára vonatkozó vetületi  torzulás  három,  egymástól  független mennyiségből: a meridián menti (h), a parallelkör menti (k) hossztorzulásból, valamint  a  meridián  és  a parallelkör képe által a térképen bezárt  q  szögből,  pontosabban  ez  utóbbinak a 90°‑tól való eltéréséből adódik. Ezek birtokában meghatározhatjuk a pontban fellépő  legnagyobb (a), legkisebb (b) hossztorzulást, illetve ezek  irányát,  az  ún.  első  és  második  vetületi főirányt, továbbá  a  vetületi  főirányoknak  a  fokhálózati  vonalakkal bezárt  szögét  (ld.  pl. [33], [68]). Tekintettel arra, hogy a pontbeli  hossz‑, szög‑ és területtorzulásokban az utóbbi szög lényegében nem játszik szerepet (azok nagysága ugyanis a és b, valamint  esetenként  a  vizsgált  iránynak  az  első vetületi főiránnyal bezárt s szöge segítségével megadható), ezért az e² lokális torzulási mérőszámokat ‑ amint az alábbiakban is látni fogjuk  ‑  e²(a,b)  alakú  kétváltozós  függvényként  célszerű vizsgálni.  A függvény izovonalai ekkor nomogram segítségével egyszerűen ábrázolhatók.

2.2. A hossztorzulás mértéke

     A  hossztorzulás  mértékét a térkép egy pontjában akarjuk

jellemezni  egy  számértékkel.  A  hossztorzulási modulus mint

infinitezimálisan kicsiny ívhosszak hányadosa, irányfüggő.  Ha

egy  pontra  jellemző,  iránytól  független  értékhez  akarunk

jutni,  akkor  e  hányadost  minden  lehetséges  irányra nézve

átlagolni kell. Ehhez vegyünk tehát a térkép egy pontjában egy

irányt,  melynek  az  első vetületi főiránnyal bezárt szöge s.

Ekkor  az  ebbe  az  irányba fellépő c hossztorzulás az alábbi

képlettel számítható:

(Szögtartó  vetületeknél  speciálisan  c=a=b  minden irányban,

azaz   a   hossztorzulási  modulust  nem  szükséges  különböző

irányokra   átlagolni.)   A   hossztorzulás  mértéke  a  |c‑1|

különbségtől függ. A vizsgált pontban az átlagos hossztorzulás

mértéke   ekkor   ‑   a   nehézkesen  kezelhető  abszolútérték

négyzetreemeléssel   való   helyettesítése   után   ‑  az  ún.

Jordan-féle mérőszámmal adható meg [42]:

                                 (2)

Az  1.  ábra  nomogramja azt mutatja meg, hogy hogyan oszlanak

meg  a Jordan-féle mérőszám értékei a maximális a és minimális

b hossztorzulások függvényében.

     A  Jordan-féle  mérőszám alapötletét fejlesztette tovább Kavrajszkij  [45].  Abból  a  megfontolásból indult ki, hogy a

(c‑1)²   kifejezés  c=1+d  esetén  tetszőleges  d‑választással

ugyanazt   az   értéket  adja,  mint  c=1‑d  esetén,  márpedig

torzulási  szempontból  ezek nem tekinthetők egyenértékűeknek.

(c=1.5 és c=0.5 közül pl. az utóbbi minősíthető kedvezőtlenebb

hossztorzulásnak.)  Ehelyett  azt  javasolta,  hogy  egy 1‑nél

kisebb  és  egy  1‑nél nagyobb hossztorzulást akkor tekintsünk

egyenértékűnek, ha az egyik 1‑nél annyiszor nagyobb, ahányszor

kisebb  a  másik  (vagyis ha egymás reciprokai). Felhasználva,

hogy  |Ln(c)|=|Ln(1/c)|, Kavrajszkij a (c‑1)² kifejezést Ln²c‑

vel  helyettesítette.  Ebből  kapható  meg  a  vizsgált pontra

vonatkozó  átlagos  hossztorzulás  javított  mértéke,  az  ún.

Jordan—Kavrajszkij-féle mérőszám:

                                (3)

A  2.  ábra mutatja a Jordan—Kavrajszkij-féle mérőszám értékei

eloszlásának nomogramját.

2.3. A területtorzulás mértéke

     Az  egy  pontra  vonatkozó ‑ és infinitezimálisan kicsiny

mennyiségek  hányadosából  adódó  ‑ területtorzulási modulus a

képlettel  számítható.  A  területtorzulás területnagyobbodást

vagy  területcsökkenést jelent; ennek mértéke a területtartást

jelentő  t=1  értéktől  való  eltérés  nagyságától függ. Ha az

abszolút értékben egyező pozitív és negatív eltérést ugyanolyan

kedvezőtlennek  tekintjük,  akkor  a  területtorzulás mértékét

egyszerűen  a területtartást jelentő t=1 értéktől való eltérés

négyzetével adhatjuk meg:

                                     (4)

Ez  a  mérték  G.  B.  Airy  múlt  századi angol csillagásztól

származik  [1].  Értékei  eloszlásának  nomogramja  a 3. ábrán

látható.

     A  területtorzulási mérőszámra alkalmazható a Kavrajszkij

féle módosítás:

                                     (5)

A 4. ábrán látható az értékek eloszlásának nomogramja.

2.4. A szögtorzulás mértéke

     A  helyfüggő területtorzulással szemben az i szögtorzulás

egy  tetszőleges  pontban  függ még a szögszárak irányától is.

Tudjuk  viszont,  hogy  minden  olyan  alapfelületi  s szög i_s

torzulása,  melynek  egyik  szára  az  első vetületi főirányba

mutat, i_s = b/a alakú, vagyis a s iránytól független konstans. A b/a  mennyiség használata azonban korlátos (£1) volta miatt a

szögtorzulás mértékéhez nem célszerű; erősebben torzult szögek

esetén  kifejezőbb  a  reciproka (a/b), amely akármekkora (³1)

értéket  felvehet. Ekkor a szögtorzulás mértéke (amely szintén

Airytől származik [1]):

                                      (6)

Az e²_Sz értékeinek eloszlása az 5. ábrán látható.

(e²_Sz értéke nem  változik,  ha a/b értéke állandó;  a nomogram grafikonjai ezért  az   a/b  függvényeinél  mindig  a  koordináta‑rendszer origóján áthaladó egyenesek.)

     A szögtorzultság mértékének Kavrajszkij-típusú alakja:

                                      (6/a)

     Megjegyezzük,   hogy   egy  tetszőleges  pontban  fellépő

extremális  hossztorzulások   (a   és   b)   értéke   egy  sor

vetületcsaládnál  egyszerű  képlettel  közvetlenül  megadható,

azonban  nem mindig dönthető el ránézésre, hogy közülük melyik

a  nagyobb  (vagyis  a maximális). Ezért az ilyen esetekben az

a/b   konkrét   meghatározásához   szükséges  egy  diszkusszió

közbeiktatása.

     A  szögtorzulás mértékének megadásához azonban nem az a/b

az  egyetlen  lehetséges  kiindulási  érték;  az irányfüggőség

miatt  ez  a  kérdés sokfelől közelíthető meg. Alkalmazzák így

szögtorzulási mérőszámként (pl. [16], [58]) a valamely térképi

pontban  fellépő  2w  maximális  szögtorzulás  értékét,  amely

tulajdonképpen szintén a/b egy függvénye:

                     (7)

(a³b  miatt  2w³0 mindig teljesül;  az értékek nomogramja a 6.

ábrán látható.)

Ennek  a  mennyiségnek  is  az  a  hibája,  hogy felülről

korlátos  (2w£180°),  és így  a nagymértékű szögtorzulásokat a

kelleténél  kevésbé minősíti rossznak, nem differenciálja őket

eléggé.  Ez a hiba kiküszöbölhető, ha w helyett annak bizonyos

függvényeit  használjuk  (pl.  tg(w),  Ln[tg(w)+1],  stb.).  Az Ln [tg(w)+1]  értékeinek nomogramja a 7. ábrán látható.

     A   szögtorzulás   és   a   területtorzulás   viszonyának

vizsgálata  alapján  eljuthatunk  a szögtorzulást jellemző más

mérőszámokhoz is. Tudjuk a szögtartó vetületekről, hogy bennük

jelentős   területtorzulások  léphetnek  fel,  a  területtartó

vetületeknél pedig  ‑  hasonlóan ‑  jelentős szögtorzulásokkal

számolhatunk.  Ilyen  értelemben  a szög‑ és területtorzulás a

teljes   vetületi   torzulás  két  "pólusán"  helyezkedik  el.

Felvethető  tehát  mutatószámaikkal  szemben  az  a lehetséges

követelmény,   hogy  valamilyen  "merőlegességi"  tulajdonság,

matematikai  terminológiával  ortogonalitás  [48]  teljesüljön

rájuk. Belátható, hogy pl. a

   <f(a,b)×g(a,b)> = f'_a × g'_a +f'_b × g'_b

skalárszorzattal  az f(a,b)=a×b függvényre ortogonális lesz a

g(a,b)=exp[(a²‑b²)×u] függvény. Ekkor a (4) képlettel megadott

e²_T ortogonalizált megfelelője az

e²_SzO = {exp [u×(a²‑b²)] – 1}²                      (8)

kifejezés,  az  (5)  képlettel megadott e²_TK ‑hoz pedig hasonló

módon hozzárendelhető az

e²_SzOK = u²×(a²‑b²)²                               (9)

kifejezés.  (Az  u konstans értéke ‑ célszerűen ‑ síkvetületek

esetén    1‑nek,   valódi   hengervetületek   esetén   0.5‑nek

választandó; valódi kúpvetületeknél tapasztalati alapon a

             u = 1/[1 + (1‑n)^0.6]

közelítő  képletre  jutottunk.  Adott  a  lehetőség  az  u‑nak

képzetes    vetületekre    való    kiterjesztéséhez   is.)   A

síkvetületek  ortogonalizált  szögtorzulási  mérőszámaihoz  az

értékek  nomogramja  a  8. és 9. ábrán látható. Figyeljük meg,

hogy  a  3.  és  8.,  illetve  a  4.  és  9. ábrák  izovonalai

mindenütt merőlegesek egymásra.

    A  (8) és (9) torzulási mérőszám tehát oly módon tükrözi a

szögtorzulást,  hogy  a fenti értelemben független a megfelelő

területtorzulási  mérőszámtól.  Ezzel együtt hátrányuk, hogy ‑

‑  a szögtorzulástól szokatlan módon ‑ a geometriailag hasonló

torzulási  ellipszisekhez  tartozó  mérőszámok  a nagyságuktól

függően különböznek, főleg erősen lapult ellipszisek esetén.

     Végül a szögtorzulást ‑ irányfüggése miatt ‑ a Jordan- féle  mérőszámhoz  hasonló  módon  jellemezhetjük  a különböző

irányokban  fellépő  szögtorzulások  irány szerinti integrálja

segítségével.  Frolov  ([25],[26])  ehhez   az  első  vetületi

főiránnyal  bezárt  d  alapfelületi  iránynak  d'  képfelületi

megfelelőjétől való négyzetes eltérését integrálta:

          (10)

amely szintén a/b függvénye (10. ábra).

Ezt  az  elméleti  értéket  Frolov  maga  elegendő pontossággal helyettesíthetőnek vélte az

                                    (11)

közelítéssel,   amelyben  w  az  előbbiekben  már  felhasznált

maximális  szögtorzulás  felét jelöli. A mérőszámok értékeinek

eloszlása a 11. ábrán látható.

2.5. A teljes torzulás mértéke

     Ismeretes,  hogy a kvantítative vizsgált torzulások közül

a hossztorzulások  ‑  egy vagy több hossztartó ponttól illetve

vonaltól   eltekintve   ‑   mindig  fellépnek  a  térképen;  a

területtorzulás  vagy  a  szögtorzulás  közül viszont az egyik

kiküszöbölhető.   A   teljes  torzulásnak  mindenféle  lokális

jellegű   torzulást  tartalmaznia  kell.  Igen  nehéz  azonban

mennyiségileg  összevetni egyrészről az egymással szemben ható

és     ilyen     értelemben    összekapcsolható    szög‑    és

területtorzulásokat,   másrészről   a   teljesen  más  jellegű

hossztorzulásokat.  A  teljes  torzulásnak  ezért az optimális

vetületek elméletében két különböző értelmezése fordul elő.

     Az  egyik  értelmezés a hossztorzulásokat tekinti a szög‑

és  területtorzulások  következményének,  és a teljes torzulás

fogalmát  e  két utóbbi együttesére szűkíti le  (pl. [1],[55],

[5]).   A   másik  értelmezés  szerint  a  hossztorzulások  az

elsődlegesek, és ezekből erednek a szög‑ és területtorzulások;

a  teljes  torzuláshoz  eszerint  elegendő  valamilyen módon a

hossztorzulásokra szorítkozni ([59]).

     A   második   értelmezés   ilyen   módon   visszavezet  a

hossztorzulások  vizsgálatához.  A  továbbiakban  itt  az első

értelmezésben  foglalkozunk  a  teljes  torzulással.

     A  legkorábbi  ismert  teljes  torzulási  mérőszámot Airy

vezette  be   idézett  művében  [1]  a  (6)  és  (4)  formulák

összegeként:

                              (12)

értékeinek  eloszlása  a 12. ábrán látható. 

Ez az eredeti ún. Airy-féle mérőszám, amelyet azonban maga Airy közvetlenül nem használt,  hanem áttért az  a,b‑ben szimmetrikus és egyszerűbb alakú

                              (13)

ún.  Airy—James-féle mérőszámra.  (Értékeinek eloszlása a 13.

ábrán látható.)

A két ‑ hosszú időn át és több szerző által is közelítőleg arányosnak  (e²_AE » 4×e²_AJ),  vagyis  lényegileg  azonosnak  tekintett  (ld.  [29]) ‑ kritérium különbözősége az         (e²_AE - 4×e²_AJ)   értékek  nomogramját  ábrázoló  14.  ábrán látható; a különbség főleg 1‑től számottevően eltérő b értékek esetén válik jelentőssé.

A   (13)   formula   geometriailag   a   következő  módon

származtatható   [29].  Tekintsük  az  alapfelületi  "végtelen

kicsiny"  egységsugarú  kört,  és  a torzulási ellipszist mint

annak   nagyított   vagy   kicsinyített   affin  képét,  közös

koordináta‑rendszerben ábrázolva (ld. 15. ábra). 

Ekkor minden alapfelületi pont képe az ábrán látható szerkesztéssel áll elő.  Az  alapfelületi  kör  kerületén  lévő  P és a megfelelő ellipsziskerületi  P' pont távolságának négyzetét integrálva a teljes  körre, megkapjuk a torzulási ellipszisnek az ősképétől (ti.  az  egységsugarú  körtől)  való  átlagos, azaz egységnyi kerületre eső négyzetes eltérésének a mérőszámát.

     A helyesnek feltételezett, de a valóságban helytelen  e²_AE»4×e²_AJ  formula alapján a torzulási vizsgálatok  eddig  túlnyomóan  az Airy—James-féle mérőszám  segítségével  folytak, az eredeti Airy-féle mérőszám háttérbe  szorult.  Ehhez hozzájárult az is, hogy az Airy-féle mérőszám  kezelése  bonyolultabb  az első tagban lévő hányados diszkutálása miatt (ld. a (6) képlethez fűzött megjegyzést).

     Az  Airy-féle  mérőszám  tovább  finomítható, egyben egy további  diszkussziót követel meg, ha a szögtorzulást jellemző

a/b  értékhez hasonlóan a területtorzulás jellemzőjére is csak

1‑nél nagyobb értéket fogadunk el; ekkor tehát a (12) képletbe

a×b  helyett  max [a×b, 1/( a×b)]  írandó,  ami bármely konkrét

a,b  számpár esetén a [] zárójelben lévő két mennyiség közül a

nagyobbat jelenti.

                      (14)

Ekkor

miatt

e²_AM  ³ 4×e²_AE,   és   speciálisan  a  területtartó,  valamint  a

területcsökkenést  sehol sem mutató vetületekre  e²_AM  = 4×e²_AE.  A kritérium  értékeinek  eloszlása  a  16. ábrán látható, ahol a területtartás  szaggatottal  jelölt  vonala  felett a nomogram vonalai megegyeznek a 12. ábra vonalaival.

     Az eredeti Airy-féle mérőszám a szög‑ és területtorzulást

egyenlő  súllyal  szerepelteti. Szükség lehet azonban a teljes

torzulás   olyan   vizsgálatára,   amelynek  során  valamelyik

résztorzulást   a   másiknál   nagyobb   mértékben   tekintjük

kedvezőtlennek,   azaz  nagyobb  súllyal  kívánjuk  figyelembe

venni.  Erre  ad lehetőséget a torzulási mérőszámok Klingatsch-

féle  általánosítása,  amely a két résztorzulásnak a súlyozott

átlagával dolgozik ([47],[45]):

                         (15)

ahol a p és q (p,q>0) súlyokat annak megfelelően írhatjuk elő,

hogy    a   résztorzulások   jelentőségével   szemben   milyen

kivánalmakat támasztunk.

     Alkalmazzuk  a  Kavrajszkij-féle  módosítást  az  eredeti

Airy-féle mérőszámra:

                                  (16)

(16/a)

Ennek  4‑gyel  való  osztása  útján  jutunk az a,b‑ben szintén

szimmetrikus ún. Airy—Kavrajszkij-féle mérőszámhoz [45]:

(17)

Értékei eloszlásának nomogramját ld. a 17. ábrán.

     A  Klingatsch-féle  általánosítást  alkalmazta Bajeva [5]

az   Airy—Kavrajszkij-féle   mérőszámhoz  vezető  kiindulási

formulára:

(p,q>0)       (18)

Egyben  rámutatott, hogy a (17) képletet eredményező levezetés

kiindulási  és  végső  formulája  éppen  azért  nem tekinthető

egyugyanazon   kritériumnak,   mert   míg  a  (16)  kiindulási

formulára  alkalmazható a Klingatsch‑féle általánosítás, addig

a    végső    (16/a)    formulára    (vagyis   lényegében   az

Airy—Kavrajszkij-féle mérőszámra) nem.

     Az   eredeti   és   módosított  Airy,  illetve  az  Airy‑

Kavrajszkij-típusú   mérőszámokban  a  szögtorzulást  jellemző

tagot   helyettesíthetjük   a   (8)   és   (9)  ortogonalizált

mutatószámmal, ennek megfelelően kapjuk az

                     (19)

és az

            (20)

illetve az

(21)

ortogonalizált   teljes   torzulási  mérőszámokat,  amelyeknek

nomogramjai   (a   valódi  hengervetületekre  érvényes   u=1/2

esetén)  a  18., 19. és 20. ábrán láthatók. (A 18. és 19. ábra

nomogramjának  vonalai  ‑  a  12. és 14. ábrához hasonlóan ‑ a

területtartás  szaggatott vonala felett megegyeznek.) Ezekre a

mérőszámokra  a  fentiekhez hasonlóan szintén alkalmazhatjuk a

Klingatsch-féle  általánosítást,  amely  ortogonális  vektorok

lineáris kombinációjának felel meg.

     Bár  a  hossztorzulási  és  a teljes torzulási mérőszámok

logikailag  különböznek  egymástól,  szögtartó vetületek (a=b)

esetén van közöttük összefüggés, éspedig a

egyenlőség miatt fennáll egyrészt

másrészt

     A  teljes torzulási mérőszámok fenti áttekintéséhez hozzá kell   fűzni,  hogy  az  eredeti  Airy-féle  mérőszám  és  az Airy—James-féle   mérőszám   egymáshoz   való   viszonyának tisztázatlansága   folytán   a  lokális  torzulási  mérőszámok lényegi összefüggéseit eddig csak részben sikerült kideríteni. Ebből  eredő  tévedésnek  kell  minősítenünk  pl.  Peters [60] megjegyzését,  aki  a  teljes torzulás mérőszámainak általánoalakját a következő két sorozatban vélte megadni:

   illetve     ahol n=2^k, k=1,2,…

2.6. A teljes torzulás lokális mérőszámainak tulajdonságai

     A    teljes    torzulási    mérőszámok   tulajdonságainak

vizsgálatát  Bajeva  [5]  alapozta  meg,  aki  két követelmény

teljesülését   vizsgálta:   nevezetesen   a  két  résztorzulás

tekintetében  fennálló  szimmetriát,  és  a  valamely vetületi

főirányban fellépő hossztartás optimális voltát.

     1.  Az  e² teljes torzulási mérőszám szimmetriája a szög‑

és  területtorzulásra  nézve  azt  jelenti,  hogy  e² értéke a

szögtartó  és területtartó pontokban megegyezik (azonos a és

b extremális hossztorzulások esetén).  Ebben  az  értelemben Bajeva  az  általa  vizsgált  kritériumok  közül  csak  az Airy—Kavrajszkij‑kritériumot találta szimmetrikusnak.   Kiegészítésként   megállapítható,  hogy  az  eredeti  Airy-kritériumnak  a (12) formula szerinti módosítása  szintén szimmetrikus lesz.

     2.  A  valamely  vetületi  főirányban fellépő hossztartás

(tehát   a=1   vagy   b=1)  Bajeva  szerint  akkor  tekinthető

optimálisnak,   ha   a   hossztartás   teljesülése   esetén  a

szögtorzulást  jellemző  e²_Sz  mennyiség  pontosan  megegyezik a

területtorzulást  jellemző  e²_T  mennyiséggel.  Ez  a feltétel

Bajeva  vizsgálataiban  szintén  csak az Airy—Kavrajszkij‑féle

kritériumra  teljesül,  de  az  eredeti  Airy—kritérium iménti

módosításáról szintén kimutatható ugyanez a tulajdonság.

3. A GLOBÁLIS TORZULÁSI MÉRŐSZÁMOK ÉS ALKALMAZHATÓSÁGUK

3.1. A torzulás globális jellemzése

     Ebben  a  részben  ‑  szemben  a  lokális  torzulásokkal,

amelyek  pontszerű,  kiterjedés  nélküli  térképi objektumokra

vonatkoztak  ‑  véges,  mérhető  kiterjedésű  térképi  idomok,

objektumok  (vonalak,  tartományok) torzultságát vizsgáljuk. A

globális  torzulási  értékek  egy  erre  jellemző  számértéket

rendelnek   hozzá   a   véges   objektumokhoz.   E   torzulási

mutatószámok egyszerűbb esetekben a térképi és az alapfelületi

kiterjedés   arányba  állításával  közvetlenül  kiszámíthatók.

Többnyire  azonban vissza kell nyúlnunk az objektum pontjaiban

fellépő  lokális torzulásokhoz, és ‑ az (1) képlet mintájára ‑

ezek  összegezésével,  integrálásával  kapjuk  meg  a  pontos

globális torzulási értéket.

     Legyen   a  továbbiakban  az  (1)  képletben  szereplő  T

paramétertartomány  az  alapfelületen  [j,l]  koordinátapárral

megadott  pontok egyszeresen összefüggő halmaza. Ekkor az x és

y vetületi egyenletek folytonos differenciálhatósága miatt a T

tartomány képe a síkban [x,y] koordinátapárral megadott pontok

összefüggő halmaza lesz.

     A  térképen  ábrázolt véges T tartomány elvileg bármilyen

alakú lehet. Gyakorlati okokból azonban előnyben részesítjük a

foktrapéz    jellegű   tartományokat.   Ha   a   teljes   Föld

ábrázolásának   vizsgálata   a  feladat,  akkor  ‑  a  pólusok

szinguláris vetületi sajátosságai miatt ‑ Frančula ([23],[24])

nyomán  csak  a  (‑85°,85°) közötti gömböv torzulásait vesszük

figyelembe.  Ezen a módon a Föld felszíne kb. fél százalékának

elhagyása  árán többnyire kiküszöbölhetők a minden határon túl

növő, végtelenhez tartó torzulások.

     Gömb   alapfelületű  vetületek  esetén  az  (1)  felületi

integrálban  dT = cosj dj dl (ld. [31]). Speciálisan a (j₁,j₂)

szélességek  valamint  a  (l₁,l₂)  hosszúságok  által határolt

foktrapéz  vizsgálatakor  (amibe  gömbsüveg  és  gömböv  alakú

tartomány is beleértendő):

3.2. A hossztorzulási viszony

     Egy egydimenziós alapfelületi objektumnak tekintett véges

hosszúságú vonal hossztorzulási viszonyát úgy kapjuk meg, hogy

a   vetületi  ívhosszat  osztjuk  az  alapfelületi  ívhosszal.

Az alapfelületi  vonal  pontjait  megadhatjuk pl.  [j(t),l(t)]

paraméteres  alakban,  ahol  j(t) és l(t) legyen a t paraméter

differenciálható  függvénye,  és jelöljük P‑vel a kezdőpontot.

Minthogy  az  alapfelületi vonal ívhosszának kiszámítási módja

nem  befolyásolja  a hossztorzulást, választhatjuk egyszerűség

kedvéért  az ún. természetes paraméterezést, vagyis t legyen a

kezdőponttól   a   [j(t),l(t)]   koordinátájú  pontig  terjedő

görbeszakasz  ívhossza  [31].  Legyen  most  egy  S hosszúságú

alapfelületi  vonalunk;  ennek  vetületi hosszát ‑ x=x(j,l) és

y=y(j,l)  vetületi egyenletek mellett ‑ az alábbi formula adja

meg [00]:

Ebben  a  képletben  a  gyökös kifejezés az alapfelületi vonal

minden   pontjához   éppen   az   érintő   irányában   fellépő

hossztorzulási  modulust adja meg. Látható tehát, hogy a vonal

vetületi  hossza  a  hossztorzulási  modulus  vonalintegrálja,

amint azt Albinus [2] részletesen tárgyalja.

     A  vetületi  hossz  ismeretében  a vonal c hossztorzulása

elméletileg:

            (22)

A  hossztorzulási  viszony ezek szerint a vonal mentén fellépő

hossztorzulási modulusok átlaga.

     A  gyakorlatban  ezt  a  legáltalánosabb formulát nemigen

használjuk,  mert  a  bonyolultan  haladó alapfelületi vonalak

torzulását  nem számítjuk ki közvetlenül. Ahogyan egy síkgörbe

tetszőleges  pontossággal  megközelíthető  töröttvonallal, úgy

bármely  (rektifikálható)  alapfelületi  vonal  megközelíthető

egymáshoz  csatlakozó  ortodrómaívekkel.  Ezért elegendő a két

végpontot   az   alapfelületen   összekötő  legrövidebb  vonal

(esetünkben   gömbi   főkörív)  hossztorzulását  vizsgálni.  A

gömbháromszögtan tételei alapján ekkor a vonal S hossza:

ahol   j₁   és   j₂   a  végpontok  szélességei, Dl  pedig  a

hosszúságkülönbségük.   Pontosabban:   l_1, l₂‑vel   jelölve   a

végpontok  hosszúságait,  ha   az ortodróma nem metszi a 180°‑os meridiánt, akkor

Dl=l₂‑l₁

ellenkező  esetben pedig

Jelölje  még  a  az  ortodróma 1. végpontbeli azimutját. Az 1.

végpontból  a  azimut  mentén kiinduló ortodrómaív paraméteres

egyenlete:

ahol  a  végpontok koordinátáival kifejezve a sina és cosa

konstansokat:

Ennélfogva   a   (22)   képletben   a   dj/dt   és   a   dl/dt

differenciálhányadosok az alábbi alakot öltik:

ahol

     Lényegesen  leegyszerűsíthető  lenne a (22) képlet, ha az

alapfelületi  ortodróma  képe  a  térképen egyenes szakaszként

jelenne  meg.  Tudjuk,  hogy  ez  csak a gnomonikus síkvetület

esetén   teljesül,   azonban   nagyméretarányú   térképeken  a

görbültség    gyakorlatilag    nem   észlelhető.   (Az  utóbbi

évtizedekben    közepes    és    kisebb   méretarányokban   is

közkedveltté  vált  Lambert-Gauss-féle szögtartó kúpvetületben

nagyjából  egyenesnek  tekinthetők  a 3000 km‑nél nem hosszabb

ortodrómák  képei.)  A  térképhasználók  túlnyomó  többsége  ‑

‑   méretaránytól   és  vetülettől  függetlenül  ‑  a  térképi

távolságmérésnél  a  görbültséget egyébként is figyelmen kívül

hagyja.   Ez   alapján   a  hossztorzulás  bizonyos  esetekben

közelíthető az alábbi képlettel:

             (22/a)

(x₁,y₁ és x₂,y₂ a végpontok vetületi síkkoordinátái.)

3.3. A hossztorzulás átlagos mértéke

     A  mérhető  térképi  mennyiségek  közül  leggyakrabban és

legpontosabban   a  hosszakat  kívánjuk  mérni.  A  hosszmérés

pontosságáról  információhoz  jutunk,  ha  ismerjük  a  térkép

egészére  vonatkozó átlagos hossztorzulási mértéket. Különböző

vetületű   térképek   közül  a  hosszmérés  szempontjából  azt

tekintjük jobbnak, amelynél a mérésnek alávetendő területen ez

az átlag kisebb.

     Az    átlagos    hossztorzulás    fogalma   kétféleképpen

értelmezhető.  Tudjuk  egyfelől  a 2.2. rész alapján, hogy egy

rögzített pontbani átlagos hossztorzulást az összes lehetséges

irányokra   jellemző   hossztorzulási   modulusok   átlagaként

definiálhatunk.  Ha  a  vizsgált  T tartomány minden pontjában

ismerjük  ezt  az  átlagos  hossztorzulást,  akkor egy második

lépésben   átlagolhatjuk   őket  a  T  tartomány  egészére.  A

hosszakat  másfelől  a  gyakorlatban  mindig  két  pont között

mérjük;  a  vetületi  és  az  alapfelületi  útvonal  hosszának

hányadosa  az  ún.  hossztorzulási viszony, amely ‑ lévén maga

is  egy  globális  torzulási  érték ‑ elegendő pontossággal az

útvonal   pontjainak  hossztorzulási  modulusaiból,  vagyis  a

lokális      torzulási     értékekből     határozható     meg,

vonalintegrállal.  Ha  most  a  T  tartomány összes pontpárját

összekötő   legrövidebb   útvonalak  hossztorzulási  viszonyát

átlagoljuk,   akkor   az   átlagos   hossztorzulás  egy  másik

értelmezéséhez jutunk.

     Az   első   értelmezésben   tehát   pontonként   ki  kell

számítanunk   a   (2)   vagy   a  (3)  lokális  hossztorzulási

mérőszámot,   és   ezt  a  szóbanforgó  T  tartomány  egészére

átlagolnunk    kell.   Így   kapjuk   az   átlagos   négyzetes

hossztorzulási mérőszámokat, nevezetesen a Jordan-kritériumot (emlékeztetve, hogy  s valamely iránynak  az  első vetületi főiránnyal bezárt szöge):

                         (23)

és a Jordan—Kavrajszkij-kritériumot [00]:

                          (24)

     Ha viszont a tartomány tetszőleges P₁,P₂ pontjait páronként  összekötő valamennyi ortodróma hossztorzulását számítjuk ki és ezeket  átlagoljuk,   először  az  egyik  végpontot (P₁),  majd  a  másikat (P₂) változtatva,  akkor  az  átlagos  hossztorzulás  másik értelmezéséhez jutunk:

Ha  a  vizsgált  tartomány  foktrapéz,  továbbá  az ortodrómák

képének   hosszát  az  (u,v) és (j,l) földrajzi koordinátákkal jelölt végpontok térképi megfelelőit összekötő egyenes szakasz hosszával mérjük, akkor az alábbi egyszerűbb közelítőképletet kapjuk (amely alapján akár a Jordan-, akár a Jordan— Kavrajszkij-féle  kritérium  mintájára számolhatunk átlagos hossztorzulási mértéket):

     (25)

     Az   átlagos   hossztorzulásnak  ez  utóbbi  értelmezését

használta  Aribert  Peters  ([58],[59]),  éspedig  ‑  abból az

Albinus  [3]  által  bírált  megfontolásból kiindulva,  hogy a

kisméretarányú  térképek  vetületein zömmel hossznagyobbodások

lépnek  fel  ‑  magát  az  E²  számot  tekintette  torzultsági

mértéknek.  Ugyancsak  Peters  dolgozott  ki egy hasonló elven

alapuló  globális  hossztorzulási  mérőszámot. S‑sel jelölve a

vizsgált  alapfelületi  ortodrómaív hosszát, s‑sel a végpontok

képének térképi távolságát, képezte az

                                  (26)

hányadost.   Először   az   egyik,   majd  a  másik  végpontot

változtatva és átlagolva a T tartományon, kapjuk:

                               (27)

Tobler [73] a hasonló megfontolásra épülő

                           (27/a)

mutatót   közelítette   meghatározott   számú   pont   közötti

földi és térképi távolságok különbségeinek négyzetösszegével.

     Tekintsük  most  át  a  fenti  mérőszámokat  a gyakorlati

alkalmazás   szempontjából.   A  Jordan—Kavrajszkij-kritérium

alkalmas  nagy  kiterjedésű  és  emiatt  helyenként  erősebben

torzult  területek,  így  a  világtérképek  átlagos  négyzetes

hossztorzulásának  vizsgálatára,  míg  a Jordan-kritérium csak

1‑hez közeli hossztorzulású területeknél alkalmazható. (Az e²_J

és  az  e²_JK  mennyiség  analitikus  formulával  általában nem

adható  meg,  ezért  numerikus  integrálással  számítandó.  Ez

egyben  azt  is  megmagyarázza,  hogy  miért vizsgálják ritkán

a vetületek  globális  torzulását  e  kritériumokkal: ugyanis az  átlagos  négyzetes  torzulás  kiszámítása  még  egy  további ‑ általában  kettős  ‑  numerikus  integrálást igényel; a teljes számítás így számítógéppel is hosszadalmas.)

     A  (27)  kritériumot Albinus [3] bírálta, kimutatva, hogy

az  ebből  adódó  mérőszám  korlátos  (0  és  1 közé esik), és

nagysága  az  egyes  vonalakra  vonatkozó  |Ln(s_i/S_i)| értékek

nagyságától  függ.  További  problémát  talált  a (25) és (26)

típusú kritériumok félgömbnél nagyobb alapfelületi tartományon

való  alkalmazásakor:  ha  ugyanis  egy  ortodróma  a határoló

meridiánt  metszi,  akkor  annak képe a térképen két különálló

ívdarabként jelenik meg. A térképen mért (euklideszi) távolság

ilyenkor  voltaképpen nem az ortodrómának, hanem az ezt teljes

körré kiegészítő, félkörnél hosszabb főkörívnek a megfelelője.

Ezzel  szemben  előnyként  említendő  az  a lehetőség, hogy az

össztorzulás  számításánál bizonyos típusú vonalakat figyelmen

kívül  hagynak. (Peters például csak olyan vonalakkal számolt,

amelyeknek  mindkét  végpontja  szárazföldre  esik;  Tobler  a

(27/a)   mérőszámot  az  egyes  végpontok  körüli  tartományok

fontosságát jelző súlyozással is javíthatónak tartja.)

3.4. A területtorzulási viszony

     Egy kétdimenziós alapfelületi objektumnak tekintett véges

kiterjedésű  tartomány  területtorzulási  viszonyát úgy kapjuk

meg,  hogy  az idom vetületi területét osztjuk az alapfelületi

felszínnel.  A  differenciálgeometriából  (pl.[31]) ismeretes, hogy  a  T  paramétertartomány  m(T) felszínét R sugarú gömb alapfelület esetén az alábbi felületi integrál adja:

                                  (28)

(Ugyanez u  nagyféltengelyű  és v kisféltengelyű ellipszoid alapfelület és F geodéziai szélesség esetén :

   (28/a)

és  az ellipszoid első excentricitásának négyzete.)

A T tartomány síkbeli képének n(T) területe Gauss formulái alapján [31]:

                        (29)

Az integrandust szorozva és osztva cosj‑vel:

Ennek   az  egyenlőségnek  a  jobboldalán  a  területtorzulási

modulus gömbfelületen értelmezett felületi integrálja áll, ami

szintén  az  Albinus [2] által  részletesen kifejtett tételhez

vezet,  mely  szerint  ha ismerjük a vizsgált tartomány minden

pontjában  a  területtorzulási  modulust, akkor ennek felületi

integráljából éppen a képfelületi idom n(T) területét kapjuk. A t területtorzulási viszony tehát:

     Bonyolult alakú alapfelületi tartomány esetén mind a m(T)

felszín,  mind  a (29) integrál kiszámítása körülményes lehet.

Ismeretes   azonban,   hogy  bármely  gömbi  idom  tetszőleges

pontossággal  megközelíthető  egymáshoz csatlakozó foktrapézok

együttesével.   Elegendő   ezért   a  foktrapézok  torzulására

szorítkozni:

és

ahol  j₁, j₂, l₁, l₂  jelölik a foktrapéz határoló szélességeit

és hosszúságait.

3.5. A terület torzulásának átlagos mértéke

     Általános    földrajzi   vagy   tematikus   földtudományi

térképeken  gyakran  szükséges  területet  becsülnünk,  aminek

csak   kis   területtorzulás   esetén   van  értelme.  Iskolai

térképeknél  is  ellenjavalt a nagy területtorzulású vetületek

alkalmazása.  Az  ilyen  térképeket  ezért  vagy  területtartó

vetületben   célszerű   készíteni,  vagy  elviseljük  ugyan  a

területtorzulásokat,  de a lehető legkisebbre próbáljuk ezeket           szorítani.  A  vetületválasztásnál utóbbi esetben szükségünk lehet a térképen   fellépő   területtorzulások   összességében   való értékelésére.

     Egy   vizsgált   alapfelületi  T  tartomány  torzulásának

átlagos  mértékét  a  (4)  vagy  (5)  lokális területtorzulási

mérőszámnak  a tartományon való integrálása, majd a felszínnel

való   osztás   útján   kapott  szám  jelzi.  Az  egyik  ilyen

mérőszámunk tehát az Airy-féle:

                              (30)

a másik pedig ennek Kavrajszkij-féle módosítása:

                             (31)

     E   kritériumok  arra  alkalmasak,  hogy  szögtartó  vagy

általános   torzulású   vetületek   közül   kiválasszuk   azt,

amelyben az átlagos területtorzulás a legkisebb.

3.6. A szögtorzulás átlagos mértéke

     A  szögtartást  földrajzi  térképektől  ritkán követeljük

meg,  de  a nagy szögtorzulások az ábrázolandó terület alakját

erősen  deformálhatják,  az  esztétikai  benyomást  lerontják.

Ezért  a  területtartó  vagy  általános  torzulású vetületeket

minősíthetjük  pl.  a  térképen  fellépő átlagos szögtorzulási

mértékkel.

     A  2.4.‑ben felsorolt lokális szögtorzulási mérőszámoknak

a  vizsgált  tartományon való integrálása és a felszínnel való

osztás  útján  kapjuk  a  szögtorzulás  globális  mértékeit. A

legegyszerűbb a (6) képletből levezetett Airy-féle mérőszám:

                              (32)

továbbá (6/a) mintájára a Kavrajszkij-féle mérőszám:

                              (32/a)

     A   (7)  képlettel  megadott  2w  maximális  szögtorzulás

segítségével   további  globális  szögtorzulási  mérőszámokhoz

jutunk. Maga a 2w közvetlenül is átlagolható:

                                 (33)

Hasonlóan átlagolhatók 2w‑nak a 2.4.‑ben említett függvényei:

                                (34)

                           (35)

A (8) és (9) képletekből származtatható az ortogonalizált Airy-típusú

                    (36)

és Kavrajszkij-típusú

                         (37)

átlagos szögtorzulási mérték. Végül a (10) és (11) formulákból

átlagolással kapjuk a Frolov-típusú

               (38)

és

                            (39)

globális szögtorzulási mérőszámokat.

     A vetületoptimalizálási vizsgálatokban egyszerűsége miatt

E²_2w a legelterjedtebb (pl. [16],[58]), de a 2.4.‑ben említett

hátránya miatt nem ajánljuk. Helyette leginkább  E²_f(w), vagy a

szintén  egyszerű  E²_Sz  alkalmazandó.  Elméleti szempontból a

legmegalapozottabbnak    E²_F    használata    tekinthető,   de

gyakorlatilag  a  benne  levő  kétszeres  integrálás numerikus

kivitelezése   elég   körülményes,   ezért  tanácsos  E²_Fk ‑val

helyettesíteni.

3.7. A teljes torzulás átlagos mértéke

     Induljunk  ki  a  2.5.‑ben  említett  kétféle értelmezési

lehetőségből,    melyek    szerint    vagy    a    szög‑    és

területtorzulásokból  származtatjuk a hossztorzulásokat  ([1],

[55],[5]),  vagy  a hossztorzulások következményének tekintjük

a  szög‑  és  területtorzulásokat  [59].  A második értelmezés

elfogadása  esetén  ezért  csupán  az  átlagos hossztorzulások

mértékét kell itt is alkalmazni a 3.3.‑ban írottak alapján.

     Az   első   értelmezés   szerint   elegendő  a  szög‑  és

területtorzulások   együttes   vizsgálatára   szorítkozni.   A

szögtartó  vetületeknél  nyilván  csak  a  területtorzulást, a

területtartó   vetületeknél   pedig   csak   a   szögtorzulást

vizsgáljuk.  A  vetületek  nagyobb részét kitevő, és földrajzi

célokra   legelterjedtebben  alkalmazott  általános  torzulású

vetületeknél    azonban   mind   a   szögtorzulást,   mind   a

területtorzulást figyelembe kell venni.

     Ekkor  a  hivatkozott  fejezetben  felsorolt  (12), (13),

(15),  (17),  (18),  (19)  és  (20)  lokális  teljes torzulási

mérőszámok   T  tartományon  vett  felületi  integrálja  és  a

felszínnel  való osztás útján kapjuk a teljes torzulás átlagos

mértékét. Ide tartozik az eredeti Airy-féle kritérium:

                      (40)

az ebből ‑ hibásan ‑ eredeztetett Airy—James-féle kritérium:

                        (41)

(amelyet  Fiorini  [22]  és  Mescserjakov [55] a hossztorzulás

átlagos  mértékének  tekintett),  továbbá az eredeti Airy-féle

kritériumnak a (14) formula alapján való módosítása:

             (42)

valamint  az  eredeti  Airy-féle  kritérium  Klingatsch-féle

általánosítása:

                 (43)

A  (40) képlet Kavrajszkij-féle módosításának alkalmazását az

Airy—James-kritérium  analógiájára  4‑gyel  osztva,  kapjuk az

Airy—Kavrajszkij-féle  kritériumot, amelyet Mescserjakov [55]

szintén a hossztorzulás átlagos mértékeként tart számon:

                        (44)

és ennek Bajevától származó Klingatsch-féle általánosítását:

                 (45)

Végül  az  Airy‑ illetve az Airy—Kavrajszkij‑típusú mérőszámok

ortogonalizált    változatának    integrálásával   kapjuk   az

ortogonalizált teljes torzulás globális mérőszámait:

            (46)

illetve

                  (47)

     A   teljes  torzulás  globális  mérőszámai  nem  egyforma

hatékonysággal  alkalmazhatók az általános torzulású vetületek

vizsgálatához;  a  közülük  való  választás  függ a vetülettel

szemben  támasztott  követelményektől  és  esetleg  a vizsgált

vetületek   torzulási   sajátosságaitól.  A  legelterjedtebben

használt  Airy—James-kritérium csak a vetületek izodeformációs

övének    környezetében    alkalmas    a   teljes   torzulások

összehasonlítására,  vagyis  ahol az a,b hossztorzulások 1‑től

kevéssé  térnek el. (A megengedhető maximális eltérés kb. 10%,

a   globális   torzulásokban   fellépő   deviációk   itt   még

elhanyagolhatók.)

     A  teljes  Földet  ábrázoló  térképek  esetén  az eredeti

Airy‑kritérium  (amely a területtorzulások hatását csökkenti),

vagy  ennek  a  (12) formula szerint módosított alakja (ahol a

szög‑    és   területtorzulást   egyenlő   mértékben   vesszük

figyelembe), továbbá az Airy—Kavrajszkij‑kritérium javallható.

Olyan  vetületeknél,  ahol a (segéd‑)pólusok környékén az a,b

közül   valamelyik   végtelenhez  tart,  az  utóbbi  kritérium

előnyösebb, mert a benne szereplő logaritmus ezt a végtelenhez

tartást  mintegy "csillapítja". Az ortogonalizált (16) és (17)

mérőszámok  közül  főképpen  az  utóbbival akkor dolgozhatunk,

ha  a  térkép  globális alaktorzulásait akarjuk minimalizálni,

ugyanis az alaktorzulásban a területtorzulás a szögtorzulásnál

kevésbé játszik szerepet.

3.8. A teljes torzulás globális mérőszámainak tulajdonságai

     Felmerül  a  kérdés,  hogy  a  Bajeva [5] által a lokális

teljes  torzulási mérőszámokra felállított és az előző részben

említett   két   követelménynek,   nevezetesen   a   szög‑  és

területtorzulás  tekintetében fennálló szimmetriának, valamint

a  vetületi főirányban fennálló hossztartás optimális voltának

milyen   globális   torzulási   követelmények   felelnek  meg.

Pontosabban:  arra  vagyunk  kíváncsiak,  hogy  vannak‑e olyan

vetületosztályok,   amelyeken   belül  valamilyen  Airy‑  vagy

Airy—Kavrajszkij‑típusú  kritériumra  a követelmények globális

átfogalmazásai teljesülnek.

     Az  (1)  funkcionál a valódi vetületek körében viszonylag

egyszerű  alakú,  mivel  az  e² argumentumában szereplő a és b

megegyezik a  h, k fokhálózatmenti hossztorzulásokkal, amelyek

viszont  a  vetületet  leíró függvényeknek (az x és y vetületi

egyenleteknek  vagy a p sugárfüggvénynek és n sugárhajlásnak),

illetve ezek deriváltjainak egyszerű függvényei.  (Az a, b‑ben

szimmetrikus  kritériumok  esetében  elegendő  a  és b helyére

egyszerűen  h‑t  és  k‑t  helyettesíteni; a többi kritériumnál

azonban  meg  kell vizsgálni mind az a=h, b=k valamint az a=k,

b=h változatot, és aztán diszkusszió útján kell kiválasztani a

helyes megoldást.)

     A  képzetes  vetületeknél  viszont  az   a, b  extremális

torzulások  általában nem egyeznek meg a  h, k fokhálózatmenti

hossztorzulásokkal,  a  globális  torzulások vizsgálata ezekre

meglehetősen  bonyolult.  E  fejezetben  ezért  csak  a valódi

vetületek  egyszerű  alapeseteinek  vizsgálatára szorítkozunk,

nevezetesen   a   valódi   sík‑,   henger‑,  valamint  az  egy

parallelkörben    hossztartó   kúpvetületekre.   (A   képzetes

vetületek  mellőzését  indokolja  még,  hogy a körükbe tartozó

egyetlen   vetületosztályban   sincsen   az   egyéb   lényeges

tulajdonságaiban    megegyező,   és   ez   alapján   egymással

összepárosítható szög‑ és területtartó vetület. A területtartó

polikónikus   vetület  pl.  középmeridiánban  ekvidisztáns,  a

szögtartó polikónikus vetület viszont nem.)

     A  Bajeva első követelményéhez hasonló globális torzulási

feltétel a torzulási mérőszámnak az egymással összepárosítható

szög‑  és  területtartó  vetületekre  vonatkozó "szimmetriája"

meglétét vizsgálja, ami az alábbi képlettel írható fel:

                 (48)

ahol  a_T  és  b_T  a  területtartó,  a_Sz és b_Sz pedig a megfelelő

szögtartó   vetület   maximális  és  minimális  hossztorzulása

(természetesen    a_Sz=b_Sz).   Mivel   ennek   az   egyenlőségnek

tetszőleges  T  tartományra  fenn  kell állnia, az e² függvény

folytonosságából  következik, hogy a (48) egyenlet egyenértékű

az alábbival:

                                 (49)

Jelöljük   most   e²_T ‑vel  a  területtorzulás,  e²_Sz ‑szel  a

szögtorzulás  mérőszámát. Minthogy a területtartó vetületeknél

e²_T =0,  a  szögtartó  vetületeknél  pedig  e²_Sz =0, ezért a (48)

képlet az alábbi formában is felírható:

               (50)

     Helyettesítsük  be  sorra  a  szög‑ és területtartó sík‑,

henger‑   és   egy   parallelkörben   hossztartó  kúpvetületek

extremális  hossztorzulásait  a  (12), (13), (14), (16), (17),

(19)   és   (20)   képletekbe,   és   hasonlítsuk  őket  össze

(részletesebben ld. 4.5.‑ben). A számolások eredménye mutatja,

hogy   sem   a  síkvetületeknél,  sem  az  egy  parallelkörben

hossztartó kúpvetületeknél a "szimmetria" egyetlen kritériumra

sem  áll  fenn, viszont a hengervetületeknél a (42) módosított

Airy-féle,  valamint a (44) Airy—Kavrajszkij-féle kritériumra teljesül.

     A Bajeva által felállított második követelményhez hasonló

globális  torzulási  feltétel úgy fogalmazható meg, hogy egy

‑  különböző  torzulási  tulajdonságú vetületeket tartalmazó ‑

osztályon  belül a  meridiánban  hossztartó vetület minősül‑e

optimálisnak  az  adott  kritérium  szerint, vagyis a globális

torzulási mérőszám a szóbanforgó osztály összes vetülete közül

erre   a  vetületre  adja‑e  a  minimális  értéket.  Képletben

felírva:

,  ha a=a_opt , b=b_opt ,

azaz  (a_opt, b=b_opt ‑tal jelölve az optimális vetületben fellépő

extremális   hossztorzulásokat)  e  funkcionál  a  meridiánban

hossztartó vetületen veszi‑e fel a lokális minimumát.

     A   meridiánban   hossztartó   valódi  vetületeket  leíró

függvény    illetve   függvények   lineárisak.   A   sík‑   és

kúpvetületeknél  tehát  a sugárfüggvény, a hengervetületnél az

ordinátát   adó   y   vetületi   egyenlet  lesz  lineáris.  (A

hengervetületek abszcissza irányú x vetületi egyenlete ugyanis

eleve  lineáris.)  Helyettesítsük  be  sorra  a (40) ‑ (42) és

(44) ‑ (47) kritériumokba az egyes vetületosztályok extremális

hossztorzulásainak  képletét.  Ha  az így adódó funkcionálokra

felállított    Euler—Lagrange   differenciálegyenletnek   [50]

mint  szükséges  feltételnek  megoldása  a  kérdéses  lineáris függvény,   akkor   a   meridiánban  hossztartó  vetület  lesz optimális,   vagyis   teljesül  Bajeva  második  kritériumának  globális átfogalmazása.

     A   számolás   eredménye   annyiban   hasonlít   az  első

követelménynél  tapasztaltakra,  hogy  a  síkvetületeknél és a

kúpvetületeknél  egyetlen  kritériumra  nézve  sem  teljesül a

lineáris  függvény  optimalitása.  A valódi hengervetületeknél

viszont  ‑  ugyancsak  a (42) módosított Airy-féle, valamint a

(44)  Airy—Kavrajszkij-féle  kritérium  esetén  ‑  a lineáris függvény    a    differenciálegyenlet   egyetlen   szóbajöhető

megoldása.  Meglepő  módon az Airy—James-féle kritérium esetén

is    a    lineáris    függvény   az   optimum,   az   eredeti

Airy‑kritériumnál  ellenben  ez  csak  a hossztartó szélességi

köröktől   a   pólusokig   terjedő  két  gömbsüvegre  igaz;  a

hossztartó szélességek közötti ‑ az egyenlítőt is tartalmazó ‑

‑ gömbövre adódó optimális függvény nem lineáris [29].

     A  globális  teljes torzulási követelmények vizsgálatának

gyakorlati folyománya, hogy az eredeti Airy‑kritérium és annak

a  (42)  képlet  szerinti  módosítása  közül ‑ ha más szempont

ennek nem mond ellent ‑ az utóbbi részesítendő előnyben, mivel

a (14) függvény és ennek (42) integrálja (az Airy—Kavrajszkij-

kritériumhoz  hasonlóan)  eleget tesz minden felsorolt lokális

és globális torzulási követelménynek.

     A  teljes  torzulási kritériumok iménti tulajdonságai azt

is mutatják, hogy a valódi vetületek körében a hengervetületek

kitüntetett  helyzetben  vannak.  Ezeket  tekintjük  ugyanis a

legszabályosabbnak  abból  a  szempontból, hogy a két globális

torzulási  követelmény  csak  ezekre teljesíthető a számításba

vett  kritériumok  körében.  Ez  is indokolja a továbbiakban a

hengervetületek részletesebb vizsgálatát.

4. OPTIMÁLIS VETÜLETEK A VALÓDI HENGERVETÜLETEK KöRÉBEN

4.1. A hengervetületek optimalizálásának módja

A normális helyzetű valódi hengervetületeknél mind a meridiánok, mind a parallelkörök képei párhuzamos egyenesek, tehát az y vetületi egyenlet csak a j szélességtől, az x vetületi egyenlet csak a l hosszúságtól függ, ráadásul gyakorlati okokból az x a l-nak lineáris függvénye: x=cos(j₀)×arc(l) alakú. Az optimalizálás tárgya ebben az esetben egyrészről az y=y(j) függvény, másrészről a (hossztartó) normálparallelkör j₀ szélességének megválasztása.

A fokhálózat ortogonalitása miatt az a,b extremális hossztorzulások a k meridián menti és a h parallelkör menti hossztorzulásokból adódnak, amelyek köztudottan az alábbiak:

  és 

tehát

és ha k³h vagy és ha h>k.

A globális torzulási vizsgálatot ezért egyfelől könnyíti, hogy az e²(h,k) lokális torzulási mérőszám nem függ l-tól. Mivel vizsgálatunkat csak foktrapéz jellegű területekre korlátozzuk, az E² egyszerűbben számítható:

Másfelől nehézséget jelent az, hogy ha az E²(h,k) mérőszám nem szimmetrikus h,k-ra nézve, akkor időnként diszkutálni kell a h³k és a h<k eseteket.

Az E² minimumának meghatározásához tehát egy olyan

variáció-számítási    feladatot   kell   megoldani,   ahol   az

alapfüggvény (e²×cosj) csak y’-től, j-től és ₀-tól függ. A
hengervetület szimmetriája miatt az y(j) megoldásfüggvény csak páratlan függvény lehet, ezért elegendő pl. nem-negatív j-kre szorítkozni. Ekkor az egyik végpont rögzített [41]:

(hogy az Egyenlítő legyen az x tengely), a másik végpont változó.

Az ilyen típusú feladatok egzakt megoldása 1.4. szerint az Euler—Lagrange-differenciálegyenlet megoldásából kapható, amennyiben ez egzakt módon megoldható. Amikor lehetséges volt, ilyen megoldásra törekedtünk. A többi esetben a szokásos közelítő megoldási módszerek közül legcélszerűbbnek a direkt módszer bizonyult [50]; egy rögzített j₀-hoz tartozó y(j) megoldásfüggvényt egyre növekvő fokszámú polinom alakban közelítettük, amíg azt visszahelyettesítve az Euler—Lagrange-differenciálegyenletbe, a konstanstól való eltérések elegendően kicsinyekké nem válnak. (A keresett polinom a hengervetületek jellegének megfelelően csak páratlan kitevős tagot tartalmaz.) Végül megkerestük azt az optimális j₀-t, amelynél az E² átlagos torzulási mérték a legkisebbnek adódik. (Az y(j) vetületi egyenlet polinom-alakja itt és a továbbiakban úgy értendő, hogy a fokban megadott j értéket előbb átszámítjuk radiánba, amelyet arc(j)-vel jelölünk, és az y(j) vetületi egyenletet az arc(j) polinomjaként adjuk meg.)

Szükséges még a szóbajöhető ábrázolási területek kijelölése. A hengervetületek torzulási sajátosságaiból adódóan többnyire az Egyenlítőre szimmetrikus foktrapézok jönnek szóba. A dolgozat célkitűzéseihez igazodva a T paramétertartományhoz három különböző foktrapézt vettünk számításba:

- a j₁=-40° és a j₂=+40°-os (segéd-)szélességi körök közé eső, hosszan elnyúló övezetet (pl. valamilyen gömbi főkör menti sávot, mint amilyen a Pacifikus-hegységrendszernek a Hátsó-indiai-szigetektől Patagóniáig nyúló területe), ami a teljes gömbfelület 64.3%-a.

- a j₁=-60° és j₂=+60°-os szélességi körök közé eső sávot, ami a teljes gömbfelület 86.6%-a (ez adja nagyjából a Föld mezőgazdasági művelésre alkalmas övezetét, de pl.

ferdetengelyű elhelyezésnél ilyen széles segédfoktrapéz fedi le az Óvilágot);

- a teljes gömbfelületet (legalábbis annak 99.6%-át, amikor is j_i=-85° és j₂=+85°, ld. 3.1.-et).

Mind a három foktrapézon meghatároztuk az optimális j₀ hossztartó szélességhez tartozó y(j) vetületi egyenlet
polinom-együtthatóit és az ezen polinom által létrehozott E²

átlagos torzulási mértéket, valamint – összehasonlítás és ellenőrzés céljából - a meridiánokban és a ±j₀ szélességen hossztartó valódi hengervetülethez tartozó E² mérőszámot; továbbá a meridiánokban hossztartó hengervetület optimális

j₀ hossztartó szélességét és az ezen vetület által létrehozott E² átlagos torzulási mértéket.

4.2. Minimális átlagos hossztorzulású hengervetületek

A   valódi hengervetületeket megvizsgáltuk a lokális hossztorzulási mérőszámok integrálásából adódó mindkét átlagos négyzetes hossztorzulási mérőszám, a Jordan- és a Jordan-Kavrajszkij-kritérium szerint.

A (23) Jordan-kritérium hengervetületekre a következő alakot ölti:

Ennek az integrálnak a minimalizálásával az alábbi

eredményekhez jutottunk.

A ±40° szélességek közé eső területre j₀=24.0°-nál az

vetületi egyenlet eredményezte a minimális átlagos hossztorzulást (E_J=0.045382). A vetületi egyenlet és deriváltja (azaz a meridián menti hossztorzulás) menete az alábbi függvényértékekkel jellemezhető:

y(0°)=0.000  y(24.0°)=0.427    y(40°)=0.699

y’(0°)=1.029 y’(24.0°)=1.000   y’(40°)=0.936

Ugyanezen j₀-nál a meridiánban hossztartó vetület y(j)=arc(j) egyenletéből E_J=0.04807432 adódik, ami a hossztartó szélesség variálásával tovább nem csökkenthető.

A ±60° szélességek közé eső területre j₀=38.3° bizonyult

optimálisnak, amellyel az

vetületi egyenlethez tartozó minimális átlagos hossztorzulás: E_J=0.114287. A vetületi egyenlet és deriváltja jellemző értékei:

y(0°)=0.000  y(38.2°)=0.700     y(60°)=1.051

y’(0°)=1.071 y’(38.2°)=1.000    y’(60°)=0.814

Ugyanezzel a j₀-lal az y(j)=arc(j) egyenlet az E_J=0.12092 mérőszámot eredményezi, ami a j₀=38.1° választással 0.12091-re csökkenthető.

Végül a ±85° szélességek közé eső területre a minimális átlagos hossztorzulás (E_J =0.31065) a j₀=66.0°-os választásnál adódik az

vetületi egyenletből, melyet deriváltjával együtt az alábbi értékek jellemeznek:

y(0°)=0.000   y(65.7°)=1.305   y(85°)=1.558   y(90°)=1.559

y’(0°)=1.189  y’(65.7°)=1.000 y’(85°)=0.156  y’(90°)=0.00

Ugyanennél a j₀-nál az y(j)=arc(j) egyenletből E_J=0.3300 számítható, ami j₀=64.9° választásnál 0.329556-ra csökken.

Az eredményként kapott y(j) vetületi egyenleteket közösen jellemzi,             hogy    deriváltjuk    (azaz    a  meridián menti

hossztorzulás) az Egyenlítőnél a legnagyobb, és innen a sarkok felé haladva egyre erősebben csökken, sőt a pólusnál már zérussá válik, miközben j₀-nál egységnyi értéket vesz fel. A foktrapézok képei tehát a két normálparallelkör között É-D irányban megnyúlnak, a normálparallelköröktől a pólusokig egyre jobban összenyomódnak.

Az I. térkép a Pacifikus-hegységrendszer területét

mutatja a Jordan-kritérium szerinti optimális, ferdetengelyű hengervetületben.

A (24) Jordan-Kavrajszkij-kritérium hengervetületek

esetén az alábbi alakban írható fel:

Ezt az integrált minimalizálva az alábbi eredményeket kaptuk:

A ±40° szélességi körök közötti területre j₀=23.1°-nál az

vetületi egyenletből jött ki a minimális átlagos hossztorzulás (E_JK=0.044491). A vetületi egyenlet és deriváltja menetét az alábbi függvényértékek jellemzik:

y(0°)=0.000     y(23.0°)=0.409     y(40°)=0.698

y’(0°)=1.028    y’(23.0°)=1.000    y’(40°)=0.941

Ugyanezen j₀-nál a meridiánban hossztartó vetület y(j)=arc(j) egyenletéből E_JK=0.0470546 adódik, ami j₀=23.0° választásnál 0.0470525-re csökken.

A ±60° szélességek közé eső területre most j₀=34.6° az optimális normálparallelkör, melynél az

vetületi egyenlet által létrehozott minimális átlagos hossztorzulás: E_JK=0.10846. A vetületi egyenlet és deriváltja jellemző értékei:

y(0°)=0.000  y(34.5°)=0.629    y(60°)=1.044

y’(0°)=1.066 y’(34.5°)=1.000   y’(60°)=0.850

Ugyanezzel a j₀-lal az y(j)=arc(j) egyenlet az E_JK=0.11419

mérőszámot adja, ami j₀=34.1°-os választással 0.114139-re csökkenthető.

Végül a ±85° szélességek közötti területre a minimális átlagos hossztorzulás (E_JK=0.25389) a j₀=47.8°-os választásnál adódik az

vetületi egyenletből, melyet deriváltjaival együtt a következő értékek jellemeznek:

y(0°)=0.000   y(47.8°)=0.903   y(85°)=1.449  y(90°)=1.494

y’(0°)=1.140  y’(47.8°)=1.000 y’(85°)=0.570  y’(90°)=0.464

Ugyanennél a j₀-nál az y(j)=arc(j) egyenletből E_JK=0.263596 számítható, ami j₀=46.4°-nál 0.263148-ra csökken.

Az eredményül kapott y(j) vetületi egyenletek összességükben hasonló tendenciát mutatnak a Jordan-kritérium alapján kapottakhoz, de a derivált csökkenése a sarkok felé haladva nem olyan erős, ezért a pólusnál a szélességi körök nem sűrűsödnek egészen be; továbbá a normálparallelkörök közelebb vannak az egyenlítőhöz; végül a meridián menti hossztorzulás az Egyenlítőnél valamivel kisebb, mint az előbbieknél. Ezek együttes hatásaként a pólusvonal Egyenlítőtől vett távolsága itt egy hajszálnyival kisebb.

A II. térképen az egész Föld látható a Jordan-Kavrajszkij- kritérium szerinti optimális hengervetületben.

4.3. Minimális átlagos területtorzulású hengervetületek

A területtartó valódi hengervetületek esetében a lokális területtorzulás mértéke a (4) és az (5) képletre zérus, ezért ezek a vetületek mind minimális területtorzulásúak. A normálparallelkörök optimális kitűzésével más torzulásokat is minimalizálni lehet. A maximális szögtorzulások szempontjából optimális valódi területtartó hengervetülettel Behrmann [16] és Peters [60] foglalkozott.

4.4. Minimális átlagos szögtorzulású hengervetületek

A szögtartó valódi hengervetületek esetében a lokális szögtorzulás mértéke a (6)-(11) képletek mindegyikére zérusnak adódik, ezért ezek a vetületek mind minimális szögtorzulásúak. A normálparallelkör optimális kitűzése egyéb torzulási szempontok figyelembevételével történhet.

4.5. Minimális átlagos teljes torzulású hengervetületek

A (40) eredeti Airy-féle kritérium szerinti legjobb valódi hengervetületek körében egzakt megoldásra törekedtünk. Ehhez először is szét kell választani az y’>cos(j₀)/cos(j) és az y’<cos(j₀)/cos(j) esetet.

a) Ha y’>cos(j₀)/cos(j), akkor

Ebben az esetben a variációs feladat megoldását az E²_AK×cos(j) alapfüggvényre vonatkozó Euler—Lagrange-differenciálegyenlet megoldása szolgáltatja (részletesebben ld. [29]):

                (51)

ahol sign(j) a földrajzi szélesség előjelét jelenti (melyet az É-í szélességekre tekintünk pozitívnak).

Az (51) kifejezésben lévő integrál zárt alakban integrálható, ebben azonban nincs sok köszönet. A trigonometrikus függvényeknél ismert u=tg(j/2) helyettesítéssel élve, az integrandust racionális törtfüggvény alakra írjuk át:

Az (1+cos⁴j₀)-nel való osztást követően a kifejezést összesen nyolc parciális törtre bontjuk, melyekben a nevezők mind másodfokú, a számlálók pedig elsőfokú polinomok. Egy ilyen parciális tört integrálása a következő eredményt adja:

Végeredményben tehát a vetületi egyenlet az alábbi alakban írható fel:

              (52)

ahol a q_ij konstansokat az ábrázolási területtől függően az alábbiakban közölt mátrixokban adjuk meg. Hogy az (51) és (52) alak közül melyiket célszerűbb használni, az ízlés kérdése. Az (52) formula a vetületi egyenleteknél megkövetelt alakú zárt képlet, viszont az (51) formula közelítő integrálással (pl. Simpson-formulával) gyorsabban kiszámítható.

     Azt kellene még látni, hogy az (51) megoldás mikor teljesíti a kiindulási feltételt. Vezessük be ehhez a

     v = cos(j₀)/cos(j)

jelölést. Ekkor az y’ meridián menti hossztorzulás (51)-ből:

y’ = (v+v³)/(1+v⁴) = v•(1+v²)/(1+v⁴)

de a |j|<j₀ szélességekre fennálló v<1 esetén (l+v²)/(1+v⁴)>1, tehát

y’ > v (=cos(j₀)/cos(j))

vagyis a kiindulási feltétel és vele együtt az (51), (52) megoldás a normálparallelkörök közötti területen érvényes.

b) Ha y’ £ cos(j₀)/cos(j), akkor

A variációs feladat megoldását itt is az e²_AE×cos(j) alapfüggvényre vonatkozó Euler—Lagrange-differenciálegyenlet megoldásával kapjuk (részletesebben ld. [291):

y = arc(j) + c                                     (53)

(ahol c egy integrációs konstans). Hogy a vetületi egyenlet a folytonos differenciálhatósági feltételnek eleget tegyen, a c konstansot az alábbi módon kell megválasztani:

         (54)

A megoldásfüggvény deriváltja, a meridián menti hossztorzulás:

     y’ º 1

A  cos(j₀)/cos(j)³1  egyenlőtlenség viszont |j|³j₀ esetén áll fenn. Ez a megoldás tehát a normálparallelkörök és a pólusok közötti területre érvényes.

Az iméntieket összefoglalva: az eredeti Airy-féle kritérium szerinti legjobb hengervetület tehát egy összetett vetület, amely a normálparallelköröktől a pólusokig meridiánban hossztartó (ld. az (53) képletet), a két normálparallelkör között viszont az (51) ill. (52) képlet szerinti vetületi egyenlet adja meg. Ennél a meridián menti hossztorzulás az Egyenlítőn a legkisebb, a normálparallelkörök felé közeledve fokozatosan növekszik, és ott veszi fel az egységnyi értéket, amint az előírt ábrázolási területekre vonatkozó alábbi eredményekből is látható.

A ±40° szélességi körök közötti területre j₀=23.4°-nál kapjuk az eredeti Airy-kritérium szerinti minimális teljes torzulást (E_AE=0.112077). A vetületi egyenlet és deriváltja menetét az alábbi függvényértékek jellemzik:

y(0°)=0.000  y(23.4°).=0.406    y(40°)=0.958

y’(0°)=0.989   y’(23.4°)=1.000  y’(40°)=1.000

Ugyanezen j₀-nál a meridiánban hossztartó vetület y(j)=arc(j) egyenletéből E_AE=0.112356 adódik, ami j₀=23.3° választásánál 0.112350-re csökken. A q_ij értékek mátrixa:

qi1	qi2	qi3	qi4	qi5	qi6	qi7	qi8
0.18849	0.96601	0.41636	-0.87620	-0.13761	0.48301	0.42786	0.84586	1
-0.18849	-0.96601	0.41636	-0.87620	-0.13761	-0.48301	0.42786	-0.84586	2
0.18849	2.32013	2.40176	0.87620	0.13761	1.16006	1.02762	0.84586	3
-0.18849	-2.32013	2.40176	0.87620	0.13761	-1.16006	1.02762	-0.84586	4
0.06880	0.96601	0.41636	-0.87620	0.37698	0.48301	0.42786	0.84586	5
-0.06880	-0.96601	0.41636	-0.87620	0.37698	-0.48301	0.42786	-0.84586	6
0.06880	2.32013	2.40176	0.87620	-0.37698	1.16006	1.02762	0.84586	7
-0.06880	-2.32013	2.40176	0.87620	-0.37698	-1.16006	1.02762	-0.84586	8

A ±60° szélességek közé eső területre most j₀=36.3° az optimális normálparallelkör, melynél az a minimális teljes torzulás: E_AE=0.28517. A vetületi egyenlet és deriváltja jellemző értékei:

y(0°)=0.000  y(36.3°)=0.611     y(60°)=1.024

y’(0°)=0.935  y’(36.3°)=1.000    y’(60°)=1.000

Ugyanezzel a j₀-lal az y(j)=arc(j) egyenlet az E_AE=0.29003
mérőszámot adja, ami j₀=35.4°-os választással 0.28950-re csökkenthető. A q_ij értékek mátrixa itt:

1. táblázat

qi1	qi2	qi3	qi4	qi5	qi6	qi7	qi8
0.17691	1.05181	0.42750	-0.84979	-0.10482	0.52591	0.38849	0.93456	1
-0.17691	-1.05181	0.42750	-0.84979	-0.10482	-0.52591	0.38849	-0.93456	2
0.17691	2.46036	2.33916	0.84979	0.10482	1.23018	0.90874	0.93456	3
-0.17691	-2.46036	2.33916	0.84979	0.10482	-1.23018	0.90874	-0.93456	4
0.05241	1.05181	0.42750	-0.84979	0.35382	0.52591	0.38849	0.93456	5
-0.05241	-1.05181	0.42750	-0.84979	0.35382	-0.52591	0.38849	-0.93456	6
0.05241	2.46036	2.33916	0.84979	-0.35382	1.23018	0.90874	0.93456	7
-0.05241	-2.46036	2.33916	0.84979	-0.35382	-1.23018	0.90874	-0.93456	8

Végül a ±85° szélességek közötti területre a minimális átlagos hossztorzulás (E_AE=0.78267) a j₀=62.8°-os választásnál adódik. A vetületi• egyenletet és deriváltjait a következő értékek jellemzik:

y(0°)=0.000 y(62.8°)=0.757  y(85°)=1.144  y(90°)=1.232

y’(0°)=0.529 y’(62.8°)=1.000 y’(85°)=1.000 y’(90°)=1.000

Ugyanennél a j₀-nál az y(j)=arc(j) egyenletből E_AE=1.0702 számítható,ami               j₀=53.7°-nál 0.89928-ra csökken. A q_ij értékek mátrixa a 2. táblázatban található.

A III. térkép az Óvilágot ábrázolja az eredeti Airy-kritérium szerinti optimális hengervetületben.

2. táblázat

qi1	qi2	qi3	qi4	qi5	qi6	qi7	qi8
0.11246	1.39784	0.55061	-0.59672	-0.02325	0.69892	0.24925	1.22823	1
-0.11246	-1.39784	0.55061	-0.59672	-0.02325	-0.69892	0.24925	-1.22823	2
0.11246	2.53869	1.81615	0.59672	0.02325	1.26935	0.45268	1.22823	3
-0.11246	-2.53869	1.81615	0.59672	0.02325	-1.26935	0.45268	-1.22823	4
0.01162	1.39784	0.55061	-0.59672	0.22492	0.69892	0.24925	1.22823	5
-0.01162	-1.39784	0.55061	-0.59672	0.22492	-0.69892	0.24925	-1.22823	6
0.01162	2.53869	1.81615	0.59672	-0.22492	1.26935	0.45268	1.22823	7
-0.01162	-2.53869	1.81615	0.59672	-0.22492	-1.26935	0.45268	-1.22823	8

A fentiekhez hasonlóan történik az Airy-kritérium ide kapcsolódó (42) módosítása szerinti megoldás; melynél az y’×cos(j₀)/cos(j) területtorzulási modulus 1-nél kisebb nem lehet.

a) Ha y’>cos(j₀)/cos(j), akkor próbálkozzunk az eredeti Airy-kritérium a) pontjának (51) megoldásával, amelynek e²×cos(j) alapfüggvényében most burkoltan benne van a y’×cos(j₀)/cos(j)³l feltételezés. Bevezetve itt is a

helyettesítést, és figyelembevéve, hogy mindez v<1 azaz |j|<j₀ esetén lenne érvényes,

vagyis a végeredmény szerint (51) most nem lehet megoldás. Feltételeznünk kell tehát a kiinduláshoz a másik alternatívát:

mely szerint

és az e²_AM×cos(j) alapfüggvényre vonatkozó Euler—Lagrange- differenciálegyenlet

ahol a valamilyen konstans. Mivel azonban normálparallelkörre vonatkozó y’(j₀)=1 követelmény miatt a baloldali kifejezés értéke a j=j₀ helyen zérus, ezért csak a=0 lehetséges, amiből y’(j)º1 következik, tehát (53)-hoz hasonlóan

y = arc(j)+ c

de az y(0°)=0 követelmény miatt itt c=0. |j|<j₀ esetén mindkét kiindulási feltétel teljesül, a helyes megoldás ebben a tartományban:

y = arc(j)                                          (55)

b) Legyen most y’£cos(j₀)/cos(j); próbálkozzunk ismét az eredeti Airy-kritérium idevonatkozó (52) megoldásával:

y=arc(j)+c

|j|³j₀ esetén ekkor az alapfeltevésen kívül magától értetődően teljesül  y’×cos(j₀)/cos(j)³l  is. A c konstans itt is zérusnak választandó, hogy a vetületi egyenlet folytonos legyen. Tehát:

y = arc(j)                                        (56)

(Könnyen ellenőrizhető, hogy az  y’×cos(j₀)/cos(j)<l  feltétel mellett most az (51) megoldáshoz jutnánk, ami viszont a |j|³j₀ esetén teljesülő v³l miatt a

egyenlőtlenséget eredményezi, ami ellentmond a feltételnek.)

Összefoglalva tehát: a módosított Airy-kritérium szerint a meridiánban hossztartó vetület az optimális. A vizsgált terület nagysága ezért csak a normálparallelkör helyzetét, vagyis csak az x vetületi egyenletet befolyásolja. A normálparallelkörök optimális helyzete pedig - mint rögtön látni fogjuk - megegyezik az eredeti Airy-féle kritériumnál a meridiánban hossztartó hengervetületre kiszámított optimális helyzettel.

A ±40° szélességek közé eső területre így j₀=22.9°-nál kapjuk a módosított Airy-kritérium szerinti minimális teljes torzulást (E_AM=0.11383).

A ±60° szélességek közé eső területre most j₀=34.2° az optimális normálparallelkör, melynél az a minimális teljes torzulás: E_AM=0.29794.

Végül a ±85° szélességek közötti területre a minimális átlagos hossztorzulás (E_AM=0.95459) a j₀=50.8°-os választásnál adódik.

A IV. térkép szintén az óvilágot mutatja Airy módosított kritériuma szerinti optimális hengervetületben.

Térjünk most át a (41) Airy-James-kritériumra, melynél a minimalizálandó funkcionál:

Az Euler—Lagrange-differenciálegyenlet ebben az esetben:

2×(y’)×cos(j) - 2×cos(j) = a

(ahol a valamilyen konstans). Az y’(j₀)=1 követelmény miatt a=0 és y’(j)º1, tehát az

y = arc(j)                                        (57)

függvény a megoldás, azaz e kritérium szerint is a meridiánban hossztartó vetület az optimális. A vizsgált terület nagyságától ezek szerint most is csak a normálparallelkörök optimális helyzete, vagyis csak az x vetületi egyenlet függ.

A ±40° szélességek közé eső területre tehát j₀=23.8°-nál kapjuk az Airy-James-kritérium szerinti minimális teljes torzulást (E_AJ=0.0553).

A ±60° szélességek közé eső területre most j₀-37.3° az optimális normálparallelkör, melynél a minimális teljes torzulás: E_AJ=0.139.

Végül a ±85° szélességek közötti területre a minimális átlagos hossztorzulás (E_AJ=0.384) a j₀=61.7°-os választásnál adódik.

Az V. térkép az Újvilág kontinenseit szemlélteti az Airy-James-kritérium szerinti optimális ferdetengelyű hengervetületben.

A (44) Airy-Kavrajszkij-kritériumnál a mínimalizálandó funkcionál a következő:

A megfelelő Euler—Lagrange-differenciálegyeniet:

(ahol a ismét konstans). Az y’(j₀)=1 követelmény teljesülése esetén itt is a=0 és y’(j)º1, tehát

     y = arc(j)                                 (58)

lesz a megoldás. E kritérium szerint tehát szintén a meridiánban hossztartó vetület bizonyul optimálisnak, és a

vizsgált terület nagysága most is csak a normálparallelkör optimális helyzetét, vagyis csak az x vetületi egyenletet befolyásolja.

A ±40° szélességek közé eső területre tehát j₀=22.6°-nál kapjuk az Airy-Kavrajszkij-kritérium szerinti minimális teljes torzulást (E_AK=0.0538).

A ±60° szélességek közé eső területre most j₀=32.7° az optimális normálparallelkör, melynél a minimális teljes torzulás: E_AK=0.128.

Végül a ±85° szélességek közötti területre a minimális átlagos hossztorzulás (E_AK=0.274) a j₀=42.0°-os választásnál adódik.

A VI. térképen a teljes Földet láthatjuk az Airy-Kavrajszkij-kritérium szerinti optimális hengervetületben.

Az ortogonalizált kritériumok közül a (46) kritérium alkalmazása sok nehézségbe ütközött az (a²-b²) kifejezésből eredő diszkussziós kényszer, és az ennek következményeként a vetületi egyenletben j₀-nál fellépő folytonossági hiány miatt. Végül az ortogonalizált tag 82.5° fölött a számításban túlcsordulást eredményezett, ezért a további próbálkozásoktól eltekintettünk.

A csillapított ortogonalizált taggal dolgozó (47) kritérium - a direkt módszer polinomos közelítésével – értékelhető eredményeket adott. Írjuk fel hengervetületek esetén ezt a kritériumot:

Az integrál minimalizálásával az alábbi eredményre jutattunk.

A ±40° szélességi körök közötti területre j₀=23.8°-nál az

vetületi egyenletből jött ki a minimális torzulás (E_KO=0.11085). A vetületi egyenlet és deriváltja menetét az alábbi függvényértékek jellemzik:

y(0°)=0.000   y(23.8°)=0.416       y(40°)=0.700

y’(0°)=1.004    y'(23.8°)=1.000     y'(40°)=1.020

Ugyanezen j₀-nál a meridiánban hossztartó vetület y(j)=arc(j) egyenletéből E_KO=0.11107 adódik, ami a hossztartó szélesség változtatásával gyakorlatilag nem csökkenthető tovább.

A ±60° szélességek közé eső területre most j₀=37.3° az optimális normálparallelkör, melynél az

vetületi   egyenlet  által   létrehozott    minimális átlagos

hossztorzulás: E_KO=0.27996. A vetületi egyenlet és deriváltja jellemző értékei:

y(0°)=0.000  Y(37.3°)=0.659     y(60°)=1.073

y'(0°)=1.021 y'(37.3°)=1.000    y'(60°)=1.202

Ugyanezzel a j₀-lal az y(j)=arc(j) egyenlet az E_KO=0.28493 mérőszámot adja, ami j₀=37.8°-os választással 0.28475-re csökkenthető.

Végül a ±85° szélességek közötti területre a minimális átlagos hossztorzulás (E_KO=0.6722l) a j₀=52.2°-os választásnál adódik az

vetületi egyenletből, melyet deriváltjaival együtt a következő értékek jellemeznek:

y(0°)=0.000   y(52.2°)=0.951  y(85°)=2.073 y(90°)=3.0434

y’(0°)=1.090 y’(52.2°)=0.966 y’(85°)=6.901 y’(90°)=16.956

Ugyanennél a j₀-nál az y(j)=arc(j) egyenletből E_KO=1.4917 számítható, ami j₀=56.4°-nál 0.98206-ra csökken. (Ebben az utolsó számításban nem sikerült a kitűzött pontosságot elérni; ez ott is látszik, hogy az 52.2°-os normálparallelkörön a meridián menti hossztorzulás nem pontosan egységnyi. A polinom fokszámának további emelése, amitől a hiba leszorítását remélhettük volna, a vetületi egyenletet a gyakorlat számára használhatatlanul hosszúvá tette volna.)

A (47) ortogonalizált kritérium szerinti optimalizálás eredményeként kapott y(j) vetületi egyenleteket közösen az

jellemzi, hogy deriváltjuk (azaz a meridián menti hossztorzulás) az Egyenlítőnél az egységet kis mértékben meghaladja, innen a normálparallelkörök felé haladva lassan csökken, és minimumát (egység körüli értékkel) j₀-ban veszi fel; tovább menve a sarkok felé ismét nő, a pólusok közelében már rohamosan. A foktrapézok képei tehát az Egyenlítő környékén kismértékben,a pólusok felé közeledve egyre erősebben megnyúlnak É-D-i irányban.

A VII. térkép ismét a teljes Földet ábrázolja a (46) ortogonalizált kritérium szerinti optimális hengervetületben.

A valódi hengervetületek globális torzulási vizsgálatának eredményeit összefoglalva azt kell kiemelnünk, hogy a  meridiánban hossztartó hengervetületek fontos szerepet játszanak az optimális vetületek között. A részletesen kidolgozott kritériumok közül három szerint bizonyulnak optimálisnak, csak a normálparallelkör optimális helye  változik. Megjegyzendő még, hogy a meridián menti hossztorzulás a normálparallelkörök között egyedül az eredeti Airy-kritérium szerinti optimális vetületeknél kisebb egynél. Emiatt (valamint a normálparallelkörök viszonylag magas szélessége miatt) az összes többi vetületnél valamennyi foktrapéz É-D-i irányban megnyúlt alakú, még az Egyenlítő környéki foktrapézok is.

5. OPTIMÁLIS VETÜLETEK A VALÓDI SÍKVETÜLETEK KÖRÉBEN

5.1. A síkvetületek optimalizálásának módja

A normális helyzetű valódi síkvetületnél a vetületi egyenletek (lefelé irányuló kezdőmeridián esetén)

x = q(b)×sin(l)     és    y = -q(b)×cos(l) 

alakot öltenek, ahol b a pólustávolság, a földrajzi szélesség  (b=90°-j). Az optimalizálás tárgya ebben az esetben csupán a b pólustávolságtól függő

q=q(b)

sugárfüggvény.

A fokhálózati merőlegesség miatt az a,b extremális hossztorzulások megegyeznek a h,k fokhálózat menti hossztorzulásokkal. Tudjuk, hogy

h = q/sin(b)       és            k = dq/db

ezért

a=q/sin(b) és b=dq/db, vagy   a=dq/db és b=q/sin(b)

Az E²(h,k) lokális torzulási mérőszám tehát itt sem függ l-tól, ezért foktrapéz jellegű T területeknél E² számítását itt is egyszerűsíthetjük:

Ugyanakkor a h,k-ban nem szimmetrikus e²(h,k) vizsgálatakor diszkutálnunk kell a h³k és a h<k eseteket.

Az E² minimalizálásakor most tehát olyan variációszámítási feladattal találkozunk, amely bonyolultabb a valódi hengervetületekből kapottnál, ugyanis az e²•sinb alapfüggvény q’=dq/db -n és b -n kívül még q=q(b) -tól is függ. Ebből következik, hogy egzakt megoldás csak egyetlen esetben (az Airy-James-kritériumra) ismert, az összes    többi kritérium esetén most is lehetőleg direkt módszerrel polinom alakban közelítjük az optimális q sugárfüggvényt, mégpedig a radiánban adott arc(b) pólustávolság polinomjaként. Ez a polinom a q(b)=0 egyenlőség miatt az egyik végpontjában rögzített, a másikban változó, ezért - szemben a hengervetületeknél alkalmazottal - a konstans tag kivételével bármely (hétnél nem nagyobb) egész kitevőjű tagot tartalmazhat.

A szóbajöhető ábrázolási területek megfelelve a valódi síkvetületek torzulási sajátosságainak (segéd-)pólus középpontú gömbsüveg alakúak, melyek nagyságát a határoló b_max pólustvolsággal adjuk meg. James, Clarke és Snyder kutatásai alapján ([40],[65]) a félgömbön (b_max=90°) kívül még két gömbsüveget vettünk tekintetbe:

- a Clarke "Twilight" vetületénél alkalmazott b_max=108° kiterjedésűt, mely a Nap által egyidejűleg besugárzott területen kívül a csillagászati szürkület gömbövét is tartalmazza, és a teljes gömbfelület 65.4%-át fedi le (a James perspektív síkvetületénél [40] ajánlott ráktérítői 13° K-i hosszúságú pontot véve vetületi kezdőpontnak, ez a gömbsüveg az összes kontinenst magába foglalja kivéve Új-Guinea, Ausztrália és az Antarktisz nagy részét);

- a James és Clarke vetületénél [41] adódó b_max=126° kiterjedésűt, amely a teljes gömbfelület 79.4%-át fedi le (és amelyhez a -16° D-i szélességű és -148° Ny-i hosszúságú pontot választva vetületi kezdőpontnak, Új-Zéland kivételével minden kontinenst és nagyobb szigetet tartalmaz);

A síkvetületeknél tehát értelemszerűen a b₁ mindig 0°-nak választandó, a b₂=b_max pedig sorra a 90°, a 108° és a 126° értékeket veszi fel.

5.2. Minimális átlagos hossztorzulású síkvetületek

A valódi síkvetületeket megvizsgáltuk a lokális átlagos hossztorzuláson alapuló mindkét átlagos négyzetes hossztorzulási mérőszám, a Jordan- és a Jordan-Kavrajszkij- kritérium szerint.

A Jordan-kritérium síkvetületekre az alábbi alakú:

Ennek az integrálnak a minimalizálásával az alábbi eredményekhez jutottunk.

Félgömbre (b_max=90°) az alábbi

sugárfüggvényre jött ki a minimális átlagos hossztorzulás
(E_J=0.1483), amelyet alig halad meg a meridiánban hossztartó (Postel-féle) síkvetületé (E_J=0.1785). A sugárfüggvény és deriváltja menetét az alábbi függvényértékek jellemzik:

q(0°)=0.000   q(45°)=0.777    q(90°)=1.495

q’(0°)=1.003  q’(45°)=0.967   q’(90°)=0.838

A vetületi kezdőpont torzulásmentes hely; a q’ meridián menti hossztorzulások a 0°£b£90° intervallumban végig csökkennek, 45°-ig egészen csekély, majd onnan lassan növekvő mértékben.

A Clarke által ajánlott b_max=108° esetén a

sugárfüggvény    adja   a  minimális átlagos hossztorzulást (E_J=0.2338), amelyet itt sem sokkal halad meg a Postel-féle síkvetületé (E_J=0.2848). A sugárfüggvényt és deriváltjának menetét jellemző értékek:

q(0°)=0.000   q(45°)=0.777  q(90°)=1.495   q(108°)=1.742

q’(0°)=1.009   q’(45°)=0.966 q’(90°)=0.837  q’(108°)=0.734

A q’ meridián menti hossztorzulások a 0°£b£108° intervallumban itt is az előzőhöz hasonlóan alakulnak.

A James által ajánlott b_max=126° esetén a

sugárfüggvényből kapjuk a minimális átlagos hossztorzulást (E_J=0.3569), amely itt sem lényegesen kisebb, mint a Postel-féle síkvetületé (E_J=0.4432). A sugárfüggvényt és deriváltjának menetét jellemző értékek:

q(0°)=0.000    q(45')=0.777  q(90°)=1.494   q(126°)=1.948

q’(0°)=0.991   q’(45')=0.968 q’(90°)=0.838  q’(126°)=0.567

A q’ meridián menti hossztorzulások menete a 0°£b£126° intervallumban itt is az előzőeknek megfelelő.

Látható tehát, hogy a sugárfüggvény és deriváltjának menete a különböző b_max –ok ellenére csak kis mértékben tér el egymástól. Ez arra utal, hogy a megoldásfüggvény itt nem függ az ábrázolt gömbsüveg nagyságától, az eltérések a közelítő polinomok pontatlanságából adódnak. Megjegyzendő még, hogy 45°-os sugarúnál nem nagyobb gömbsüveg esetén az optimális vetület sugárfüggvénye olyan kis mértékben tér el a Postel-féle vetületétől, hogy ezzel nyugodtan helyettesíthető.

A VIII. térképen a K-i félgömb látható a Jordan-kritérium szerinti optimális transzverzális síkvetületben.

Hasonlóan alakul az optimális vetület sugárfüggvénye a Jordan-Kavrajszkij-kritérium esetén, mely az alábbi alakban írható fel:

Ezt az integrált minimalizálva az alábbi eredményeket kaptuk.

Félgömbön (b_max=90°) az optimális sugárfüggvény:

melynél a minimális átlagos hossztorzulás E_JK=0.1330. Ez az

érték alig kisebb, mint a meridiánban hossztartó (Postel-féle) síkvetületé (E_JK=0.1544). A sugárfügggvény és deriváltja menetét az alábbi függvényértékek jellemzik:

q(0°)=0.000     q(45°)=0.777    q(90°)=1.505

q’(0°)=1.000    q’(45°)=0.969   q’(90°)=0.874

A vetületi kezdőpontban tehát a meridiánok mentén itt sem lép fel hossztorzulás; a 0°£b£90° intervallumban a meridián menti hossztorzulás értékei 45°-ig lassan, majd onnan fokozatosan erősödő mértékben csökkennek.

A Clarke-féle gömbsüveg (b_max=108^°) esetén

az optimális sugárfüggvény képlete, melyre E_JK=0.1977; a Postel-féle síkvetületé ezzel szemben E_JK=0.2278, a különbség tehát láthatólag itt is jelentéktelen. A sugárfüggvényt és deriváltjának menetét jellemző értékek:

q(0°)=0.000  q(45°)=0.777  q(90°)=1.505   q(108°)=1.772

q’(0°)=0.999 q’(45°)=0.969 q’(90°)=0.874  q’(108°)=0.818

A q’ meridián menti hossztorzulások a 0°£b£108° intervallumban itt is az előzőhöz hasonlóan alakulnak.

A James-féle gömbsüveg (b_max=126°) esetén a

képlet adjá az optimális sugárfüggvényt (E_JK=0.2786); a Postel- féle síkvetületnél ugyanezen mértékre E_JK=0.3185. A sugárfüggvény és deriváltjának jellemző értékei:

q(0°)=0.000   q(45°)=0.777    q(90°)=1.505    q(126°)=2.018

q’(0°)=0.998  q’(45°)=0.969   q’(90°)-0.874   q’(126°)=0.750

A q’ meridián menti hossztorzulások menete a 0°£b£126' intervallumban itt is az előzőeknek megfelelő.

Ennél a kritériumnál tehát összességében ugyanaz a jellemző, amit a Jordan-féle kritériumnál mondtunk el: a sugárfüggvény és deriváltjának menete itt sem függ a b_max-tól vagyis a gömbsüveg méretétől; továbbá 45°-osnál nem nagyobb gömbsüveg esetén az optimális vetület itt is csak jelentéktelen mértékben tér el a Postel-féle vetülettől. Az egyetlen különbség az, hogy a Jordan-Kavrajszkij-kritérium szerinti optimális vetületek határoló parallelköre valamivel nagyobb sugarú, a deriváltak ugyanis kissé lassabban csökkennek, mint az előző kritériumnál.

A IX. térkép az összes kontinens képét mutatja a Jordan—Kavrajszkij-kritérium szerinti optimális ferdetengelyű síkvetületben.

5.3. Minimális  átlagos területtorzulású síkvetületek

A Lambert-féle területtartó valódi síkvetület esetében a lokális területtorzulás mértéke mind a (4), mind az (5) képletre zérus, ezért ez a vetület minimális területtorzulású.

5.4. Minimális átlagos szögtorzulású síkvetületek.

A szögtartó valódi síkvetületek esetében a lokális szögtorzulás mértéke a (6)-(11) képletek mindegyikére zérusnak adódik, ezért ezek a vetületek mind minimális szögtorzulásúak. A normálparallelkör optimális kitűzése egyéb torzulási szempontok figyelembevételével történhet.

5.5. Minimális átlagos teljes torzulású síkvetületek

A (40) eredeti Airy-féle kritérium szerinti legjobb valódi síkvetületek meghatározásához is szét kell választani a q’£q/sin(b) és a q’>q/sin(b) esetet.

a)Ha q’£q/sin(b), akkor a (40) kritérium első tagjában a=q/sin(b) és b=q’, vagyis

      (59)

Minimalizáljuk direkt módszerrel ezt az integrált az előírt  gömbsüvegekre. Az eredményül kapott sugárfüggvénynek most  olyannak      kell   lennie, hogy az a) kiindulási feltétel teljesüljön rá. A számításokat elvégezve a következő eredményekre jutunk.

Félgömbre (b_max=90’) az optimális sugárfüggvény:

melynél a minimális átlagos hossztorzulás E_AE=0.2839; a Postel-féle síkvetületé ugyanitt: E_AE=0.4109. A sugárfüggvény és deriváltja menetét az alábbi függvényértékek jellemzik:

q(0°)=0.000  q(45°)=0.648   q(90°)=1.382

q’(0°)=0.805 q’(45°)=0.868  q’(90°)=1.000

A vetületi kezdőpontban tehát a meridiánok mentén hosszrövidülés lép fel; a 0°£b£90° intervallumban a meridián menti hossztorzulás értékei 45°-ig itt is lassan, majd onnan fokozatosan emelkedő mértékben növekednek, és a peremen elérik az egységet. A q/sin(b) parallelkör menti hossztorzulás a vetületi kezdőpontban megegyezik a q’ meridián menti hossztorzulással, majd a növelésével q/sin(b) gyorsabban nő q’-nél, és 90°-nál 0.382-vel haladja meg azt. Az a) feltétel tehát a 0°£b£90° intervallumban végig teljesül.

A Clarke-féle gömbsüvegre (b_max=108°) a

az optimális sugárfüggvény képlete, melyre E_AE=0.4224; a Postel-féle síkvetületé ugyanitt E_AE=0.6454. A sugárfüggvényt és deriváltjának menetét jellemző értékek:

q(0°)=0.000     q(45°)=0.557   q(90°)=1.221   q(108°)=1.526

q’(0°)=0.689    q’(45°)=0.760  q’(90°)=0.935  q’(108°)=1.001

A q’ meridián menti hossztorzulások, valamint a q/sin(b) parallelkör menti hossztorzulások a 0°£b£108° intervallumban itt is az előzőhöz hasonlóan változnak. A (q/sin(b)-q’) különbség legnagyobb értéke 108°-nál 0.603.

A James-féle gömbsüvegre (b_max=126°) a

képlet adja az optimális sugárfüggvényt (E_AE=0.5919); a Postel-féle síkvetületnél ugyanitt E_AE=0.9876. A sugárfüggvény és deriváltjának jellemző értékei:

q(0°)=0.000   q(45°)=0.424   q(90°)=0.972   q(126°)=1.547

q’(0°)=0.531  q’(45°)=0.591  q’(90°)=0.818  q’(126°)=1.00

A q’ meridián menti hossztorzulások és a q/sin(b) parallelkör menti hossztorzulások menete a O°£b£126° intervallumban itt is az előzőeknek felel meg. A (q/sin(b)-q’) különbség maximuma 126'-nál 0.908.

Ennél a kritériumnál az eredményül kapott sugárfüggvényre tehát összességében az a jellemző, hogy a meridiánk menti hossztorzulás az ábrázolt gömbsüveg belsejében a vetületi kezdőponttól a peremig nő, és a peremen éri el az egységnyi értéket. Szemben azonban az előző két kritériummal, az egyes gömbsüvegekhez tartozó optimális sugárfüggvények itt különböznek egymástól, éspedig mind együtthatóikat, mind a függvény- és derivált-értékeiket tekintve. A hosszrövidülés a vetületi kezdőpontban annál erősebb, minél nagyobb a gömbsüveg.

b) Tételezzük fel most q'>q/sin(b) teljesülését; akkor az eredeti Airy-féle kritérium:

Ennek az integrálnak az előírt gömbsüvegeken való minimalizálásával olyan q(b) függvényeket kapunk eredményül, amelyeknél q’£q/sin(b), tehát a b) kiindulási feltétel a O°£b£b₂ intervallumban sehol sem teljesül, következésképpen ezek a b) esetnek nem megoldásai.

Összefoglalva tehát: az eredeti Airy-féle kritériumnak a síkvetületek körében csak a q’£q/sin(b) feltételt kielégítő megoldása létezik, amely az a) esetnél részletezett tulajdonságokkal rendelkezik.

A X. térkép a nagy kontinenseket szemlélteti Airy eredeti kritériuma szerinti optimális ferdetengelyű síkvetületben.

A (41) Airy—James-féle krítérium a síkvetületek körében:

Az eme kritérium szerinti legjobb valódi síkvetület meghatározására szolgáló Euler—Lagrange-féle differenciál-egyenletet maga Airy oldotta meg [1], illetve James és Clarke ezt a megoldást pontositotta [41]. Eszerint

A sugárfüggvény Airy-tól [1] származó második tagja független a határoló b_max szélességtől, míg a Clarke [41] által kiszámított első tag mind b-nak, mind b_max-nak függvénye.

Félgömbre (b_max=90°) ez a sugárfüggvényből adódó minimális átlagos hossztorzulás: E_AJ=0.1398, amelyet a meridiánban hossztartó (Postel-féle) síkvetületé nem halad meg lényegesen: E_AJ=0.2007. A sugárfüggvény és deriváltja menetét az alábbi függvényértékek jellemzik:

q(0°)=0.000   q(45°)=0.669    q(90°)=1.386

q’(0°)=0.847   q’(45°)=0.865   q’(90°)=1.000

A vetületi kezdőpontban hosszrövidülés lép fel; a q’ meridián menti hossztorzulások a 0°£b£90° intervallumban végig növekednek, 45°-ig lassan, majd onnan fokozatosan erősödő mértékben, míg 90°-nál eléri az egységet.

A Clarke által ajánlott b_max=108° esetén szintén a fenti sugárfüggvényből számítható a minimális átlagos hossztorzulás (E_AJ=0.211), amelynél még itt sem sokkal nagyobb a Postel-féle síkvetületé (E_AJ=0.316). A sugárfüggvényt és deriváltjának menetét jellemző értékek:

q(0°)=0.000   q(45°)=0.615  q(90°)=1.254   q(108°)=1.544

q’(0°)=0.780   q’(45°)=0.788 q’(90°)=0.868  q’(106°)=1.000

A q’ meridián menti hossztorzulások a 0°£b£108° intervallumban itt is az előzőhöz hasonlóan alakulnak, csak a meridián menti hossztorzulás stagnálásszerü lassú növekedése a vetületi kezdőpontnak tágabb (mintegy 65°-os) környezetében lép fel, mint azt a félgömbre vonatkozó iménti sugárfüggvénynél tapasztaltuk.

A James által ajánlott b_max=126° esetén is a fenti sugárfüggvényből kapjuk a minimális átlagos hossztorzulást (E_AJ=0.3036), amelyet itt már több mint 50 %-kal meghalad a Postel-féle síkvetületé (E_AJ=0.4847). A sugárfüggvényt és deriváltjának menetét jellemző értékek:

q(0°)=0.000  q(45°)=0.552  q(60°)=0.735  q(90*)=1.103 q(126°)=1.609

q’(0°)=0.705 q’(45°)=0.700 q’(60°)=0.698 q’(90°)=0.717 q’(126°)=1.000

Figyelemreméltó a q’ meridián menti hossztorzulások menete a 0°£b£126° intervallumban: a vetületi kezdőponttól 60°-ig q’ kismértékben, de folytonosan csökken, 60°-nál éri el az adott minimumot, majd innen eleinte lassan, később fokozatosan gyorsulva növekszik, és a határoló parallelkörön itt is egységet vesz fel.

    A meridián menti hossztorzulásnak ez a csökkenése b_max>115° esetén lép fel. E csökkenési sajátosság vizsgálata vezet el egyúttal a sugárfüggvény legnagyobb alkalmazhatósági gömbsüvegének meghatározásához. Ugyanis b_max³166.5° esetén a meridián menti hossztorzulás minimuma negatív szám, ami azt jelenti, hogy a sugárfüggvény (a minimumhoz tartozó  pólustávolság egy környezetében) növekedésével nem növekszik, hanem csökken; vagyis keletkezik a térképen egy olyan körgyűrű, amelynek egyidejűleg két különböző gömbövet kellene ábrázolnia. Az Airy-James-kritérium szerinti optimális vetület alkalmazása tehát b_max>166.5° esetén értelmetlen.

A XI. térkép a Ny-i félgömböt ábrázolja az Airy-James- kritérium szerinti optimális transzverzális síkvetületben.

A (42) módosított Airy-féle kritérium szerinti optimális síkvetületet megszabó kritérium a q’×q/sin(b)>1 esetben megegyezik az eredeti Airy-kritériummal, itt elegendő tehát a kritérium szerinti optimális síkvetületet megszabó kritérium a q’×q/sin(b)£1 esetet vizsgálni. Ehhez válasszuk szét a q’£q/sin(b) és a q’>q/sin(b) esetet. A direkt módszer most nem alkalmazható, mert a q’=q/sin(b) és a q’×q/sin(b)=1 egyenlőség gyöke nem esik egybe. Ezért egy - másodrendű differenciálegyenletekre vonatkozó - Runge-Kutta-típusú módszert [49] alkalmaztunk a sugárfüggvény és deriváltja b=0 pontból kiinduló 0.1°-os lépésközönkénti meghatározására. A q’(0) kezdeti érték változtatgatásával kerestük meg az E² átlagos teljes torzulás minimumát. (A gyök átlépésekor természetesen mindig más differenciálegyenletre kellett áttérni úgy, hogy a differenciálhányados az áttérésnél folytonos maradjon.) Végül - hogy a sugárfüggvény alakja az előbbiekhez hasonló legyen - a gyök által kijelölt szakaszokon külön-külön polinomot illesztettünk a közelítő sugárfüggvény pontjaihoz, majd a másodikat egy korrekciós konstans hozzáadásával eltolva, folytonossá tettük a sugárfüggvényt. (A tapasztalat szerint a

csatlakozási pontban a két polinom deriváltja 1-2 ezreléknyi hibával tért el egymástól. A polinomillesztés következtében az E² értéke csupán 1-4 ezrelékkel növekedett.)

a) Ha q’£q/sin(b), akkor a (42) kritérium első tagjában a=q/sin(b) és b=q’, továbbá a•b£1 feltételezésével a módosított Airy-féle kritérium:

Félgömbön (b_max=90^°) az optimális sugárfüggvényhez  q’(0)=0.8784 választással jutunk; az 1/t=sin(b)/(q’×q) érték, mely a vetületi kezdőpontban 1.296, ekkor 63.4°-nál süllyed egység alá. Minthogy ezután is fennáll q’<q/sin(b), tehát a [63.4°,90°] intervallumon az (59) eredeti Airy-kritérium a) változatára kell áttérni. Az optimális sugárfüggvény polinomos közelítéssel:

a [0°,63.4°] intervallumon

a [63.4°,90°] intervallumon pedig

melyeknél a minimális átlagos hossztorzulás E_AM=0.2819 (míg a Postel-féle síkvetületé: E_AM=0.3500). A sugárfüggvény, a deriváltja és a területorzulási modulus menetét az alábbi függvényértékek jellemzik:

q(0°)=0.000  q(45°)=0.689  q(63.4°)=0.977  q(90°)=1.422

q’(0°)=0.877 q’(45°)=0.882 q’(63.4°)=0.913 q’(90°)=1.020

t(0*)=0.770  t(45°)=0.860   t(63.4°)=1.000   t(90°)=1.451

A vetületi kezdőpontban tehát területcsökkenés és a meridiánok mentén hosszrövidülés lép fel; a 0°£b£90° intervallumban a meridián menti hossztorzulás értékei 45^°-ig lassan, majd onnan fokozatosan erősödő mértékben növekednek, és a peremen most is közelítőleg elérik az egységet. A területtorzulási modulus is hasonló módon növekedik, de már 63.4°-nál átlépi az egységet, és onnan kifelé növekvő mértékű területnagyobbodást mutat.

A Clarke-féle gömbsüveg (b_max=108°) esetén az optimális sugárfüggvényt q’(0°)=0.8370 választáskor kapjuk; az 1/t érték, mely a vetületi kezdőpontban 1.427, ekkor 76.0°-nál éri el az egységet. Minthogy ettől a b-tól q’<q/sin(b), tehát a [76.0°,108°] intervallumon szintén az (59) eredeti Airykritérium a) változatára kell áttérni. Az optimális sugárfüggvény polinomos közelítései:

a [0°,76.0°] intervallumon

a [76.0°,108°] intervallumon pedig

melyek mellett a minimális átlagos hossztorzulás (míg a Postel-féle síkvetületé E_AM=0.5250). Az optimális sugárfüggvény, a deriváltja és a területorzulási modulus menetét az alábbi függvényértékek mutatják:

q(0°)=0.000  q(45°)=0.654  q(76.0°)=1.108   q(90°)=1.328

q’(0°)=0.835 q’(45⁰)=0.826  q’(76.0°)=0.869   q’(90⁰)=0.927

t(0°)=0.697  t(45°)=0.764   t(76.0°)=1.0.00   t(90°)=1.231

q(108°)=1.635

q'(108°)=1.037

t(108°)=1.782

A q sugárfüggvény, a q’ meridián menti hossztorzulás és a t területtorzulási modulus menete a 0°£b£108° intervallumban itt is az előzőeknek megfelelő.

A Jámes-féle gömbsüveg (b_max=126°) esetén az optimális sugárfüggvényt a q’(0°)=0.7926 kezdeti érték adja; ekkor 1/t(0°)=1.593 és 1/t(88.8°)=1.000. Mivel b=88.8°-tól is q’<q/sin(b), tehát a [88.8°,126°] intervallumon itt is az (59) eredeti Airy-kritérium a) változatára kell áttérni. Az optimális sugárfüggvény közelítő polinom alakban:

a [0°,88.8°]   intervallumon

a [88.8°,126°] intervallumon pedig

melyekre vonatkozólag a minimális átlagos hossztorzulás E_AM=0.6378 (ugyanezeknél a Postel-féle síkvetületé: E_AM=0.7669). Az optimális sugárfüggvény, a deriváltja és a területorzulási modulus menetének jellemző értékei:

q(0°)=0.000   q(45°)=0.616    q(88.8°)=1.213   q(126°)=1.810

q’(0°)=0.789  q’(45°)=0.771   q’(88.8°)=0.824  q’(126°)=1.060

t(0°)=0.622    t(45°)=0.672   t(88.8°)=1.000   t(126°)=2.371

A q sugárfüggvény, a q’ meridián menti hossztorzulás és a t területtorzulási modulus menete a 0°£b£126° intervallumban itt is az előzőekhez hasonlóan alakul.

Ennél a kritériumnál az eredményül kapott sugárfüggvényre

tehát összességében ugyanaz mondható el, amit az eredeti Airy-

féle kritérium szerinti optimális síkvetületnél mondtunk. A két kritérium szerinti sugárfüggvények közötti különbség abban van, hogy a módosított Airy-féle kritérium hosszrövidülése a vetületi kezdőpontban (és innen egész a peremig) kisebb mértékű. A polinomos közelítés  pontatlansága a q’ meridián menti hossztorzulás peremen felvett értékében mutatkozik meg feltűnő módon, ahol a Runge-Kutta-típusú megoldás még pontosan a várt egységet adta.

b) Tegyük fel most, hogy q'>q/sin(b); ekkor a (42) kritérium első tagjában a=q’ és b=q/sin(b) behelyettesítéssel, és a×b£l teljesülése mellett a módosított Airy-féle kritérium:

Ennek  az  integrálnak  az  előírt gömbsüvegeken való minimalizálásával olyan q(b) függvényeket kapunk eredményül, amelyeknél q’£q/sin(b), tehát a b) kiindulási feltétel a 0°£b£b₂ intervallumban sehol sem teljesül, következésképpen ezek a b) esetnek nem megoldásai.

Összefoglalva tehát: a módosított Airy-féle kritériumnak a síkvetületek körében csak a q’£q/sin(b) feltételt kielégítő megoldása létezik, amely az a) esetnél részletezett tulajdonságokkal rendelkezik.

A   bonyolultabb   megoldási   menet   és   az   említett

pontatlanság ellenére az utóbbi kritériumból adódó vetületet jobbnak ítéljük, mint az eredeti Airy-kritérium szerintit, mert az ábrázolt gömbsüveg nagyobb részén mindkét vetület esetében területcsökkenés lép fel, márpedig ennek hatását a teljes torzulásban a módosított Airy-féle kritérium értékeli helyesen.

A XII. térképen ismét a nagy kontinenseket láthatjuk, ezúttal a módosított Airy-kritérium szerinti optimális ferdetengelyű síkvetületen.

A    (44) Airy—Kavrajszkij-féle kritériumnál a minimalizálandó funkcionál:

Ez az integrál minimalizálható direkt módszerrel az előírt gömbsüvegeken; a számítások eredménye a következő:

Félgömbre (b_max=90°) az optimális sugárfüggvény:

melynél a minimális átlagos hossztorzulás E_AK=0.1313; a Postel-féle síkvetületé ugyanitt: E_AK=0.1692. A sugárfüggvény és deriváltja menetét az alábbi függvényértékek jellemzik:

q(0°)=0.000  q(45°)=0.691    q(90°)=1.426

q’(0°)=0.870 q’(45°)=0.895   q’(90°)=0.998

A vetületi kezdőpontban tehát a meridiánok mentén hosszrövidülés lép fel; a 0°£b£90° intervallumban a meridián menti hossztorzulás értékei 45°-ig itt is lassan, majd onnan fokozatosan emelkedő mértékben növekednek, és a peremen közelítőleg elérik az egységet.

A Clarke-féle gömbsüvegre (b_max=108°) az optimális sugárfüggvény képlete:

melyre E_AK=0.192; a Postel- féle síkvetületé ugyanitt E_AK=0.244. A sugárfüggvényt és deriváltjának menetét jellemző értékek:

q(0°)=0.000   q(45°z1=0.656  q(90°)=1.345   q(108°)=1.646

q’(0°)=0.825  q’(45°)=0.847  q’(90°)=0.926  q’(108°)=0.995

A q’ meridíán menti hossztorzulások a 0°£b£108° intervallumban itt is az előzőhöz hasonlóan változnak.

A James-féle gömbsüvegre (0°£b£126°)

képlet adja az optimális sugárfüggvényt (E_AK=0.266); a Postel-

féle síkvetületnél ugyanitt: E_AK=0.332. A sugárfüggvény és deriváltjának jellemző értékei:

q(0°)=0.000  q(45°)=0.623   q(90°)=1.267    q(126°)=1.841

q’(0°)=0.780 q’(45°)=0.801  q’(90°)=0.856   q’(126')=0.987

A q’ meridián menti hossztorzulások menete a 0°£b£126°
intervallumban itt is az előzőeknek felel meg.

Az Airy—Kavrajszkij-kritérium szerinti optimális síkvetület sugárfüggvényének. menete igen hasonló a módosított Airy-féle kritériuméhoz; mind a sugárfüggvények, mind pedig deriváltjaik értékei között mindhárom gömbsüveg esetében csekély különbség mutatkozik.

A XIII. térkép a Föld kontinenseit ábrázolja az Airy—Kavrajszkij-kritérium szerinti optimális ferdetengelyű síkvetületben.

A valódi hengervetületekhez hasonlóan meghatároztuk a (47) ortogonalizált kritérium szerinti optimális valódi síkvetületeket. A (47) kritérium most a következő alakú:

Ezt az integrált is direkt módszerrel minimalizáltuk az előírt gömbsüvegeken, ezúttal páratlan fokszámú tagokat tartalmazó polinomokkal. Az eredményeket az alábbiakban foglaljuk össze:

Félgömbön (b_max=90°) az optimális sugárfüggvény alakja:

melynél a minimális átlagos hossztorzulás E_KO=0.3636, míg a Postel-féle síkvetületé: E_KO=0.7240. A sugárfüggvény és deriváltja menetét az alábbi függvényértékek jellemzik:

q(0°)=0.000   q(45°)=0.635    q(90°)=1.438

q’(0°)=0.800  q’(45°)=0.836   q’(90°)=1.366

A sugárfüggvény hasonló az Airy—Kavrajszkij-kritériumból adódóhoz. A vetületi kezdőpontban a meridiánok mentén itt is hosszrövidülés lép fel; a 0°£b£90° intervallumban a meridián menti hossztorzulás értéke kb. 40°-ig stagnál, majd onnan fokozatosan emelkedő mértékben növekedik a határoló parallelkörig, közben azonban kb. 70°-nál átlépi az egységet.

A Clarke-féle gömbsüveg ((b_max=108°) esetén

adja az optimális sugárfüggvényt, melyre E_KO=0.5431; a Postel- féle síkvetület esetén E_KO=1.2481. A sugárfüggvényt és deriváltjának menetét jellemző értékek:

q(0°)=0.000   q(45°)=0.577    q(90°)=1.253    q(108°)=1.689

q'(0°)=0.733  q'(45°)=0.746  q'(90°)=1.123  q'(108°)1.732

A q’ meridián menti hossztorzulások a 0°£b£108° intervallumban itt is az előzőhöz hasonlóan változnak; a meridián menti hossztorzulás kb. 50°-ig alig, onnan viszont egyre gyorsulva növekszik, miközben 84°-nál átlépi az egységet.

A James-féle gömbsüvegre (b_max=126°)

az optimális sugárfüggvény képlete, melynél E_KO=0.778; a Postel-féle síkvetületnél ugyanitt: E_KO=2.210. A sugárfüggvény és deriváltjának jellemző értékei:

q(0°)=0.000     q(45°)=0.525    q(90°)=1.077    q(126°)=1.974

q’(0°)=0.663    q’(45°)=0.672   q’(90°)=0.842   q’(126°)=2.398

A q’ meridián menti hossztorzulások menete a 0°£b£126° intervallumban itt is az előzőeknek felel meg; a sugárfüggvény kb. 65°-ig gyakorlatilag konstans, a meridián menti hossztorzulás innen egyre gyorsulva növekszik a határoló parallelkörig, az egységet ezúttal 100° környékén lépi át.

A Kavrajszkij-típusú ortogonalizált kritérium szerinti optimális          síkvetület tehát a vetületi kezdőponttól a b_max feléig közelítőleg ekvidisztáns, azon kívül a meridiánok mentén hossznagyobbodás mutatkozik.

A XIV. térkép szintén a Föld kontinenseit szemlélteti a Kavrajszkij-típusú ortogonalizált kritérium szerinti optimális ferdetengelyű síkvetületben.

Összegezve az optimális síkvetületek tulajdonságait, két alaptípust különböztethetünk meg.

- A minimális átlagos hossztorzulású síkvetületeknél a vetületi kezdőpont torzulásmentes, és innen kifelé haladva csökken a meridián menti hossztorzulás, míg a területtorzulás nő; e vetületben tehát a határoló parallelkörön belül mindenütt területnagyobbodás lép fel.

- A minimális átlagos teljes torzulású vetületeknél a vetületi kezdőpontban hosszrövidülés valamint területcsökkenés adódik, és innen kifelé haladva nő mind a meridián menti hossztorzulás, mind a területtorzulási modulus. A meridián menti hossztorzulás - az ortogonalizált kritérium kivételével - mindig a határoló parallelkörnél éri el az egységet, a területtartás viszont már egy belső parallelkörön fellép, ettől a határoló parallelkörig terjedő körgyűrűn területnövekedés van. A területtartó parallelkör elhelyezkedése vetületenként nem tér el jelentősen; legbelül az Airy—Kavrajszkij–féle kritérium, legkívül az Airy—James-féle kritérium szerinti, és alig beljebb az eredeti Airy-féle kritérium szerinti optimális vetületnél található.

A meridiánban hossztartó (Postel-féle) síkvetület         - szemben a hengervetületeknél tapasztaltakkal – egyetlen kritérium esetén sem optimális.

Az a tény, hogy a minimális átlagos teljes torzulású síkvetületek teljesen más struktúrájúak, mint a minimális átlagos hossztorzulásúak, cáfolja Fiorininek és Mescserjakovnak a (41) képletnél idézett nézetét, mely szerint az Airy—James-kritériumot az átlagos hossztorzulás mérőszámának nevezik.

6. OPTIMÁLIS VETÜLETEK A VALÓDI KÚPVETÜLETEK KÖRÉDEN

A normális helyzetű valódi kúpvetületnél a vetületi egyenletek (lefelé irányuló kezdőmeridián esetén)

x = p(b)×sin(n×l)     és y = -p((b)×cos(n×l).

Az optimalizálás tárgya ebben az esetben egyrészről az n sugárhajlás, másrészről a b pólustávolságtól függő p=p(b) sugárfüggvény.

A fokhálózati merőlegesség miatt az a,b extremális hossztorzulások itt is megegyeznek a h,k fokhálózat menti hossztorzulásokkal. Ismeretes, hogy

h = p×n/sin(b)      és    k = dp/db

ezért

a=p×n/sin(b) és b=dp/db, vagy a=dp/db és b=p×n/sin(b)

Az E²(h,k) lokális torzulási mérőszám tehát most sem függ n--től, ezért foktrapéz jellegű T területeknél E² számítását most is egyszerűsíthetjük:

Az    E²      minimalizálásakor adódó variációs feladatnál

az E²•sin(b) alapfüggvény ezúttal a valódi síkvetületek alapfüggvényéhez hasonló, amennyiben függvénye p’=dp/db-nak, b-nak és p=p(b)-nak, de ezeken kívül még az n sugárhajlástól is függ (0<n<l). Ha n rögzített, akkor a megoldás módja hasonló a síkvetületekéhez. A valódi optimumot akkor kapjuk meg, ha n-et változónak tekintve, a p=p(b)-val együttesen optimalizáljuk.

Dolgozatunk eredeti célkitűzése értelmében a valódi kúpvetületekre nem terjedne ki vizsgálatunk, hiszen félgömbnél nagyobb területet kúpvetületben a legritkább esetben ábrázolnak. Ennek az az oka, hogy egyrészt ha a (segéd-) hosszúságok széles tartományt fognak át, akkor a (segéd-) sugárhajlás a határoló meridiánokat igen hátrányosan elfordítja, másrészt nagy kiterjedésű tartomány ábrázolásakor vagy belekerül a (segéd-)pólus a tartomány belsejébe, és ekkor a határoló meridián valamint esetlegesen a pólusvonal egymáshoz közel eső földi pontokat drasztikusan szétválaszt, sőt egyéb zavaró torzulások is felléphetnek [46], vagy pedig a (segéd-) egyenlítőn túlra kerülő tartományon vagyunk kénytelenek igen nagy parallelkör menti hossztorzulásokat elviselni; végül az x tengelyre vonatkozó aszimmetria is hátrányos nagy területek esetén. Ezek ellenére a korábbiakban folytak vizsgálatok, amelyek eredményeit röviden az alábbiakban foglalhatjuk össze.

Cinger [20] szögtartó és területtartó kúpvetületek optimális sugárhajlását és sugárfüggvényét határozta meg, a 3. részben ismertetetteknél egyszerűbb kritériumok alapján.

Young [80] konstansnak tekintett sugárhajlás mellett meghatározta az Airy—James_kritérium szerinti optimális sugárfüggvényt, mely kéttagú összeg alakjában áll elő. A két tag együtthatóját külön-külön optimalizálva, kapta az ún. ortomorf és területtartó optimális kúpvetületeket. Félgömbön vizsgálva e kúpvetületet úgy tapasztalta, hogy az Airy—James-kritérium segítségével számított maximális és átlagos négyzetes torzulás kúpvetületen kb. kétszer akkora, mint az Airy-féle (James és Clarke alapján korrigált) síkvetületen. Ugyancsak Young vizsgálta a meridiánban hossztartó optimális síkvetületet

q = arc(b) + r

alakban, változónak tekintve a sugárhajlást és a pólusvonal r sugarát, valamint Albers területtartó kúpvetületéhez határozott meg optimális sugárhajlást.

Kavrajszkij [45] Cinger eredményeit továbbfejlesztve, és kiterjesztve a meridiánban hossztartó kúpvetületekre, Besse1- ellipszoidon számította               ki           az   optimális        kúpvetületek
paramétereit.

Az Egyesült Államok területére vonatkozólag Snyder [65] vizsgált optimális torzulású szögtartó kúpvetületeket.

7. OPTIMÁLIS VETÜLETEK A KÉPZETES VETÜLETEK KÖRÉBEN

7.1. A képzetes vetületek torzulás szerinti rangsorolása

Amint arra már az 1. rész végén utaltunk, a képzetes vetületek körében az eddigiektől eltérő módon törekszünk az optimális torzulású vetületek megkeresésére. Legjobb kartográfiai vetületről ebben a körben csak a képzetes henger- ill. kúpvetületek esetén beszélhetünk, hiszen az egyéb képzetes vetületekre semmi megszorítás nincsen, így azok optimalizálása a legáltalánosabb formulákból adódóan ideális vetülethez vezetne. Ezért célunk nem a bonyolult számításra vezető optimális vetület pontos meghatározása, hanem sorrendet kívánunk megállapítani. ebben a körben a gyakrabban használt képzetes vetületek átlagos négyzetes torzulása alapján.

E munkában már komoly előzményekre támaszkodhatunk. Frančula (23] 10 alapvetület összesen 24 változatára már elvégzett egy hasonló vizsgálatot. Két kritérium, nevezetesen az Airy—James- és az Airy-kritérium szerint állapított meg sorrendet a vizsgált vetületek között. Részben az ő tapasztalataira is támaszkodhattunk, illetve az eredményekből okulva - tágabb körben és az eddig használt hat kritérium segítségével - átfogóbb megállapításokra törekedtünk. (Az ortogonalizált Kavrajszkij-kritériumot a benne szereplő sugárhajlási állandó miatt elhagytuk.)

A további vizsgálatokban a képzetes vetületeket nem bontjuk a fokhálózatuk szerint csoportokra, hanem együttesen dolgozunk velük. Az extremális hossztorzulások (a és b) meghatározása emiatt az általános képletekkel történt:

ahol

,    és 

Frančula idézett tanulmányában a 10 alapvetületből bizonyosaknak fokhálózat-átszámozási transzformációval ([63], [55]) történő átszámozása útján összesen 24 vetületváltozat keletkezett, melyből 6 képzetes hengervetület 12 változata, egy képzetes kúpvetület 4 változata, végül 3 egyéb képzetes vetület 8 változata került feldolgozásra. Ezeket további képzetes vetületekkel egészítettük ki.

A nemzetközi atlaszkartográfia ismert világvetületei közül Amerikában közkedvelt a Van der Grinten-féle pszeudopolikónikus vetület és az újabban divatba jövő (részben magyar vonatkozású [11]) Robinson-féle hengervetület (pl. a National Geographic Magazine térképein); a CNIIGAiK polikónikus vetületének 1950-es verziója a volt Szovjetunió és a szocialista országok térképein és atlaszaiban (p1.[81]) fordul gyakran elő. A magyar atlaszokban legelterjedtebb Érdi-Krausz-féle vetület két változatát, valamint Baranyi II. és IV. vetületét, melyek mind hengervetületek, szintén számításba vettük. Végül a teljesség kedvéért több közismert henger- és kúpvetületet, köztük Bonne képzetes kúpvetületének hat változatát, további polikónikus vetületeket, valamint a Siemon—Tobler-féle loximutális vetület azon változatát [67], melyen a középmeridián és a) az egyenlítő, b) a +45°-os É-i ill. c) a -45°-os D-i szélességi kör metszéspontjából kiinduló loxodrómák képei képeződnek le hossztartó egyenes vonalakra, továbbá_. kuriózumként Lagrange és August egy-egy szögtartó vetületét szintén besoroltuk. A Bonne-féle vetületek és egyik-másik polikónikus vetület kivételével ezek túlnyomórészt a teljes Föld ábrázolására használatosak.

Az alábbi 52 vetület feldolgozására került tehát sor (a vetületi egyenletek Pascal nyelvű programba illeszthető változatát a függelékben adjuk meg):

Képzetes hengervetületek:

1. Mercator—Sanson-féle vetület

2. Pólusvonalas szinuszoidális vetület a Mercator-sorból

a) változat (j₀=63°, C_P=2.07, C_a=2.31);

3. Pólusvonalas szinuszoidális vetület a Mercator-sorból

b) változat (j₀=40°, C_P=2.10, C_a=2.35);

4. Pólusvonalas szinuszoidális vetület a' Mercator-sorból

c) változat (j₀=44°, C_P=1.95, C_a=1.45);

5. Kavrajszkij I. vetülete (pólusvonalas szinuszoidális  

vetület a Mercator-sorból);

6. Eckert V. vetülete

7. Eckert VI. vetülete

8. Apianus II. vetülete

9. Pólusvonalas elliptikus vetület

a) változat (j₀=61°, C_P=2.05, C_a=2.60);

10. Pólusvonalas elliptikus vetület

b) változat (j₀=40°, C_P=2.07, C_a=2.80);

11. Pólusvonalas elliptikus vetület

c) változat (j₀=43°, C_P=1.95, C_a=1.55);

     12. Mollweide vetülete

     13. Eckert III. vetülete

     14. Eckert IV. vetülete

     15. Kavrajszkij II. vetülete

16. Érdi-Krausz-féle vetület a) változat (határ a ±60°-

on)

17. Érdi-Krausz-féle vetület b) változat (határ a ±70°-

on)

18. Baranyi II. vetülete

19. Baranyi IV. vetülete

20. Robinson vetülete

21. Loximutális vetület a) változat (j₀=0°)

22. Loximutális vetület b) változat (j₀=45°)

23. Loximutális vetület c) változat (j₀=-45°)

Képzetes küpvetületek:

24.  Bonne vetülete a) változat (j₀=15°)

25.  Bonne vetülete b) változat (j₀=30°)

26.  Bonne vetülete c) változat (j₀=45°)

27.  Bonne vetülete d) változat (j₀=60°)

28.  Bonne vetülete e) változat (j₀=75°)

29.  Bonne vetülete f) változat (j₀=90° - Werner vetülete)

30.  Közönséges polikónikus vetület

31. Pólusvonalas polikónikus vetület

a) változat (j₀=66°,   l₀=62°,  C_P=2.70, C_a=0.59);

32. Pólusvonalas polikónikus vetület

b) változat (j₀=68°,   l₀=46°,  C_P=1.75, C_a=0.85);

33. Pólusvonalas polikónikus vetület

c) változat (j₀=68°,   l₀=47°,  C_P=1.82, C_a=0.823);

34.  Pólusvonalas polikónikus vetület

d) változat (j₀=53°,   l₀=45°,  C_P=2.12, C_a=0.78);

35.  Pólusvonalas polikónikus vetület

e) változat (j₀=80°,   l₀=35°,  C_P=2.0, C_a=1.0);

36.  Pólusvonalas polikónikus vetület

f) változat (j₀=70°,   l₀=50°,  C_P=2.0, C_a=0.85);

37. Egyenlítőben   hossztartó   ortogonális   polikónikus

vetület

38. 15°-os szélességen hossztartó ortogonális polikónikus

vetület

39. 30°-os szélességen hossztartó ortogonális polikónikus

vetület

40. Területtartó polikónikus vetület

41. Lagrange köríves fokhálózatú szögtartó vetülete

42. Van der Grinten-féle vetület

43. A CNIIGAiK polikónikus vetülete 1950-es változat

Egyéb képzetes vetületek:

44. Aitoff vetülete

45. Pólusvonalas Aitoff-vetület

     a) változat (j₀=73°, l₀=90°, c_P=2.69, c_a=0.59)

46. Pólusvonalas Aitoff-vetület

     b) változat (j₀=62°, l₀=69°, c_P=2.20, c_a=0.77)

47. Hammer vetülete

48. Pólusvonalas Hammer-vetület

     a) változat (j₀=68°, l₀=80°, c_P=0.72, c_a=2.47)

49. Pólusvonalas Hammer-vetület

     b) változat (j₀=59°, l₀=80°, c_P=1.0, c_a=1.94)

50. Winkel vetülete a) változat (j₀=40°)

51. Winkel vetülete b) változat (j₀=50.47°)

52. August szögtartó vetülete

(Az átszámozott vetületek paramétereinek jelentését ld. [63], [55],[23].)

A felsorolásban tehát szerepel 13 képzetes hengervetület 23 változata, 7 képzetes kúpvetület 20 változata és 4 egyéb képzetes vetület 9 változata. Az összesen 52 vetületből 26 póluspontos, a fennmaradó 26 pólusvonalasból pedig 17 az átszámozott fokhálózatú. Területtartónak szabatosan 18 vetületet nevezhetünk, 30 további vetület általános torzulású, kettő szögtartó, végül az Érdi-Krausz-vetületet alkotó sávokon belül szintén fennáll a területtartás, a különböző sávok között azonban az eltérő méretarány-hozzárendelés miatt a területek összevethetősége nincs meg.

Tekintettel arra, hogy a képzetes vetületeket túlnyomóan vagy kontinensek, vagy a teljes Föld ábrázolásánál alkalmazzák, ezért a valódi hengervetületeknél alkalmazott T paramétertartományok közül elegendő lett volna a teljes gömbfelület vizsgálata (vagyis j₁=-85° és j₂=+85°), mégis célszerűnek mutatkozott ezt kiegészíteni azzal az aszimmetrikus tartománnyal, amelyet pl. [87]-ben használnak az Antarktiszt és környékét figyelmen kívül hagyó történelmi, mezőgazdasági, stb. témák ábrázolására, vagyis a -60° szélességtől a 85° É-i szélességig terjedő gömbövvel.

Nyilvánvaló ugyan, hogy az Egyenlítőre szimmetrikus T tartomány esetén optimális torzulású vetület csak kétszeresen szimmetrikus lehet, a figyelembe vett vetületek között mégis vannak egyszeresen (tehát csak a középmeridiánra) szimmetrikusak is, mégpedig a Bonne-féle vetület összes, valamint a loximutális vetület két változata ilyen. (Ez utóbbiak egymásnak a vízszintes, tehát az X tengelyre vett tükörképei, és a rájuk vonatkozó négyzetes közepes torzulási értékek nyilván csak a nem-szimmetrikus második gömböv esetén különböznek.)

A hat kritérium értékei szerint sorbarakott vetületek a függelékben találhatók. A vizsgálat csoportosítási szempontjai ezek után a következők voltak:

a) Területtartó vagy általános torzulású-e a vetület?

Szögtartó vetületek ugyanis képzetes vetületek körében csak elvétve fordulhatnak elő, de az atlaszkartográfiában ezek nem játszanak lényeges szerepet, ezért a figyelembe vett vetületek között mindössze két szögtartó van.

b) Póluspontos vagy pólusvonalas-e a vetület?

A póluspontos és pólusvonalas vetületek elkülönítése azért fontos, mert a tartomány határaként vett ±85°-os szélességi körnél a torzulásokat már jelentősen befolyásolja a póluskép jellege, a pólusvonalas vetületeket ez a bizonyos fokig önkényes választás előnyben részesíti. A pólusvonal és póluspont közötti átmeneti - Baranyi [12] által "pólusívnek" nevezett - megoldás bizonyos kritériumoknál ezt az előnyt lényegesen csökkenti.

c) Alapvetületről vagy annak átszámozott változatáról van-e szó?

Az átszámozott vetületek kiemelésére éppen azért van szükség, mert ezek        egyrészt - pólusvonalasok lévén - többnyire eleve kedvezőbb átlagos négyzetes torzulási értékre számíthatnak, mint póluspontos alapvetületük, másrészt ha a fokhálózatból kiemelünk egy kisebb torzulású középső részt és most már ezen ábrázoljuk a teljes Földet, akkor a torzulásoknak az eddiginél is nagyobb hányada fog a pólusvonal környékére koncentrálódni, ami e vetületeknek a szóban forgó vizsgálati módszernél mutatkozó előnyét csak fokozza.

7.2. Átlagos hossztorzulás a képzetes vetületek körében

A Jordan-kritérium alapján a teljes Földet ábrázoló térképek vetülete közül (ld. a függeléket) a négy legkisebb értéket a várakozásnak megfelelően átszámozott fokhálózatú vetület kapta, éspedig az Aitoff a), a Hammer a), a Mercator—Sanson a) és az Apianus a) pólusvonalas változata. Az alapvetületek közül az 5. legkedvezőbb értéket Winkel a) vetülete kapta, utána a CNIIGAiK vetülete következik. (A többi képzetes kúpvetület, közte a Van der Grinten-féle, a lista utolsó 20 helyéből 18-at foglal el.) A póluspontos vetületek közül Mollweide vetülete a 17. helyen, Hammer vetülete a 20., és Baranyi IV. vetülete a 22. helyen következik. A területtartó vetületek e kritérium szerint viszonylag kedvező megítélést kapnak: a lista első harmadában az átlagosnál gyakrabban fordulnak elő (pl. Kavrajszkij I. és Eckert VI. vetülete - mindkettő szinuszoidális - a 8. és 9. helyet foglalja el). A lista végére került képzetes kúpvetületek közül még a Bonne-sorozat és az abba beilleszthető Mercator—Sanson vetület bizonyult a legkevésbé rossznak.

A Föld nagy részét ábrázoló aszimmetrikus tartományon fellépő torzulásokat ugyanezen kritérium szerint értékelve, az első hat legjobb vetület ugyanaz, csak némileg különböző sorrendben: a Winkel vetület j₀=50.47°-os változata felkerült a harmadik helyre. A legfeltűnőbb módosulás az, hogy a póluspontos vetületek közül a loximutális vetület b) változata a 8.-helyet kapta; jóval utána következik Mollweide és Baranyi IV. vetülete. A területtartó szinuszoidális vetületek a szimmetrikus tartomány sorrendjéhez képest jóval hátrébb kerültek.

A Jordan—Kavrajszkíj-kritérium az egész Földre teljesen más      eredményt   adott.   Az   előbb   legjobbnak bizonyult transzformált fokhálózatú vetületek - az Aitoff vetület negyedik helyre került a) változatának kivételével - jóval hátrébb kerültek, helyüket a Winkel vetület változatai (a j₀=50.47°-os változat elsőként, a j₀=40°-os változat ötödikként) és a CNIIGAiK vetület (harmadikként) foglalja el. Bekerült még az Aitoff vetület h) változata (másodiknak) valamint az Apianus II. vetületének c) változata. A területtartó vetületek összességükben lejjebb szorultak, itt Eckert elliptikus IV. vetülete vezet, de nem sokkal van mögötte Kavrajszkij I. és Eckert VI. vetülete. A póluspontos vetületek feltűnően kedvezőtlen minősítést kaptak: Baranyi IV. vetülete a 19., az aszimmetrikus loximutális vetületek (j₀=±45°) a 21. és 22. helyet foglalják el. Baranyinak a magyar atlaszokban szintén használt II. vetülete - a Bonne-féle vetületek közé ékelődve mindössze a 40. Ezzel szemben Robinson pólusvonalas vetülete a kedvező 9. helyen áll.

Az aszimmetrikus tartományon ugyanezen kritérium alapján a két első vetület helyet cserélt, előbbre került az Apianus II. vetületének és a Mercator—Sanson-féle vetületnek a c) változata. A területtartó vetületek minősítése itt még rosszabb, mint a szimmetrikus tartományra. vonatkozólag, de az első három területtartó vetület sorrendje ugyanaz. A póluspontos vetületek ellenben lényegesen jobb minősítést kaptak az előbbinél: a loximutális vetület j₀=45°-os változata a 10. helyen áll, utána a Baranyi IV. vetülete és a szimmetrikus loximutális vetület (j₀=0°) következik.

7.3. Átlagos teljes torzulás a képzetes vetületek körében

Airy eredeti kritériuma szerint az egész Földre nézve az Aitoff II. vetületének a) és b) változata áll az élen, harmadik a Winkel vetületének j₀=50.47°-os változata, utána pedig Apianus II. vetületének a) és c) változata következik, közrezárva a CNIIGAiK-vetületet. Az eddig nem is említett alapvetületek közül Kavrajszkij II. (elliptikus) vetülete a 10. helyre került, kevéssel mögötte van Eckert V. és III. általános torzulású vetülete. A póluspontos vetületek közül a két aszimmetrikus, őket követően a szimmetrikus loximutális vetület került az élre, utánuk pedig több általános torzulású alapvetület, nevezetesen Baranyi IV., Apianus II., Baranyi II.

és Aitoff vetülete sorakozik. A területtartó vetületek most mind a rangsor második felébe szorultak, ezek sorát a pólusvonalas Hammer-vetület b) változata vezeti.

Ugyanezt a kritériumot az aszimmetrikus tartományra alkalmazva, az első négy helyre átszámozott vetületek kerülnek a következő sorrendben: az Aitoff-vetület b) változatát követi az Apianus-vetület c) változata, az Aitoff-vetület a) változata a harmadik helyre csúszik vissza; a. Mercator—Sanson-vetület c) változata után Winkel vetületei következnek. A póluspontos vetületek közül a j₀=45°-hoz tartozó loximutális vetület a legjobb, ezt követi messze lemaradva Baranyi IV. vetülete, majd a szimmetrikus loximutális vetület. A területtartó vetületek megítélése itt az előzőnek megfelelően alakul.

Az Airy—James-kritérium szerinti értékelés eredménye az egész Földre nézve igen hasonló a Jordan-kritérium szerintiére. Az első hat helyen ugyanazok a vetületek állnak, kisebb sorrendbeli eltéréssel: az Aitoff-vetület a) változatát itt a Mercator—Sanson-vetület a) változata követi, majd az Apianus-vetület a) változata után jön a Hammer-vetület a) változata. Ezeket megint csak a Winkel- vetület (j₀=50.47°) és •a CNIIGAiK-vetület követi. A területtartó vetületek most a rangsor közepére tömörülnek, ezek sorát Kavrajszkij I., valamint Eckert VI. és IV. vetülete vezeti. A póluspontos vetületek nagy többsége is közepes értékelést kapott, azonban ezek közül most meglepő módon Lagrange szögtartó vetülete bizonyult legjobbnak, utána jön Mollweide és Baranyi IV. vetülete.

Ugyanezen kritérium az aszimmetrikus tartományra sok tekintetben más eredményt ad. A második helyre az Aitoff- vetület b) változata jött fel, mögötte van a Winkel-vetület (j₀=50.47°), majd az Apianus-vetület és a Mercator—Sanson- vetület a) változata, míg hatodik itt is a CNIIGAiKI-vetület. A területtartó vetületek itt is a lista közepét foglalják el, de sorukat most Eckert IV. vetülete vezeti. A póluspontos vetületek élére a loximutális vetület (j₀=45°) került, mögötte messze lemaradva jön Baranyi IV. vetülete, és csak ezután a Lagrange-féle szögtartó vetület.

Airy módosított kritériumát az egész Földre alkalmazva, a kapott sorrend sok tekintetben hasonlít az eredeti Airy- kritériuméra. Az első két helyen itt is átszámozott Aitoff-vetületek állnak, a b) és az a) változat, majd Winkel vetülete (j₀=50.47°) és a CNIIGAiK-vetület jön, ezek után pedig Apianus és Mercator—Sanson vetületének c) változata következik. A területtartó vetületek itt is a rangsor alsó felébe kényszerültek, élükön most is a Hammer-vetület b) változata áll. A póluspontos vetületek sorát a loximutális vetületek vezetik, és a további sorrend is az eredeti Airy-kritériumnál leírtak szerint alakul. Az egyetlen feltűnő különbség, hogy Lagrange szögtartó vetülete - a benne fellépő területcsökkenések hatása miatt - jóval hátrébb szorul.

Ugyanezen kritérium alapján az aszimmetrikus tartományon az Aitoff-vetület b) változata után Apianus és Mercator—Sanson vetületének c) változata jön, ezeket követi: Winkel két vetülete (az eddigi sorrendben), majd Kavrajszkij II. vetülete. A területtartó vetületek eloszlása alig különbözik az egész Földre mondottaktól. A póluspontos vetületek közül itt is a loximutális vetület (j₀=45°) vezet, mögötte jóval lemaradva jön Baranyi IV. vetülete és a szimmetrikus loximutális vetület. Az alapvetületek közül Apianus és Baranyi II. vetülete is e vizsgálat szerint kapja a legjobb sorszámot (20. ill. 21.).

Az Airy—Kavrajszkij-kritérium egész Földre vonatkozó eredményei szerint az Aitoff-vetület b) változatát követi Apianus és Mercator—Sanson vetületének c) változata, majd a két Winkel-vetület és Kavrajszkij II. vetülete. A területtartó vetületek összességükben csaknem olyan gyenge minősítést kaptak, mint az előző kritériumnál. Ezek közül most Eckert IV. (elliptikus) vetülete, Hammer vetületének b) változata, valamint Kavrajszkij vetülete került előre. A pólusvonalas vetületek itt kedvezőbb értékelést kaptak: az élen Baranyi IV. vetülete áll, utána jön a két aszimmetrikus loximutális vetület.

Ugyanezzel a kritériummal dolgozva az aszimmetrikus tartományon, az első három hely az egész Földnél kijöttekkel egyezik meg, utánuk Kavrajszkij II. vetülete (mely ebben a rangsorban kerül legelőbbre), majd - az összes eddigi vizsgálati eredménnyel szemben - Winkel vetületének j₀=40°-os változata, továbbá Apianus vetületének b) változata. A területtartó vetületek sorát most nagy előnnyel vezeti Eckert IV. vetülete, mögötte az Érdi-Krausz-vetület két változata áll. A póluspontos vetületek élére itt is Baranyi IV. vetülete került, utána az aszimmetrikus loximutális (j₀=45°), majd a szimmetrikus loximutális következik.

7.4. A globális torzulási értékelések összegezése

A hat átlagos torzulási mérőszám alapján kijött sorrendek egymástól lényeges pontokon eltérnek, de néhány általános észrevétel tehető.    A várakozásnak megfelelően a rangsorok élén többségben vannak az átszámozott fokhálózatú vetületek. Ugyanazon mérőszám alapján az egész Földre és az aszimmetrikus tartományra kiszámított sorrend sok hasonló vonást mutat; a területtartó vetületek összességükben az egész Földön, míg a póluspontos vetületek - nagyobb szóródás mellett - az aszimmetrikus tartományon kapnak valamivel kedvezőbb értékelést.

Az alapvetületek közül Winkel és a CNIIGAiK vetületei mindig a rangsor elejére, Bonne és August vetületei valamint a polikónikus vetületek (beleértve Van der Grinten vetületét) általában a rangsor végére kerültek. Érdi-Krausz vetületei nem bizonyultak jobbnak a területtartó vetületek rangsora elején állóknál.

A kiszámított viszonylag nagyszámú torzulási mérőszám lehetővé tette a statisztikai elemzést is. Felmerül az a kérdés, hogy - a képzetes vetületek körében - milyen összefüggések állnak fenn az egyes torzulási mutatók között. Normalitásvizsgálat céljából a mutatók értékeinek empírikus eloszlásfüggvényét kritériumonként Gauss-papíron ábrázoltuk. Eredményünk szerint az E értékek minden kritérium esetén jobban illeszkedtek a normális eloszláshoz, mint az E² értékek. Lineáris regressziós kapcsolatot feltételezve, kiszámítottuk az egyes    mutatók   közötti   korrelációs együtthatókat. Az egész Földre vonatkozó értékek (3. táblázat):

3. táblázat

Jordan	Jordan—Kav- rajszkij	eredeti Airy	Airy— James	módosított Airy	Airy—Kavrajszkij
1.00000	0.84315	0.67778	0.99302	0.67354	0.65592
0.84315	1.00000	0.77337	0.85918	0.78971	0.91072
0.67778	0.77337	1.00000	0.73116	0.99610	0.87281
0.99302	0.85918	0.73116	1.00000	0.72351	0.71506
0.67354	0.78971	0.99610	0.72351	1.00000	0.88331
0.65592	0.91072	0.87281	0.71506	0.88331	1.00000

Az aszimmetrikus tartományra vonatkozó értékek (4. táblázat):

4. táblázat

Jordan	Jordan—Kav- rajszkij	eredeti Airy	Airy— James	módosított Airy	Airy—Kavrajszkij
1.00000	0.85282	0.73860	0.99415	0.73546	0.70507
0.85282	1.00000	0.79923	0.86719	0.82170	0.93338
0.73860	0.79923	1.00000	0.78155	0.99377	0.87051
0.99415	0.86719	0.78155	1.00000	0.77453	0.75390
0.73546	0.82170	0.99377	0.77453	1.00000	0.88601
0.70507	0.93338	0.87051	0.75390	0.88601	1.00000

A két táblázat értékei hasonló struktúrát mutatnak: igen szoros korrelációs kapcsolat van a Jordan- és az Airy—James- kritérium  között  (vö.  a  2.5.  fejezet  végével),  valamint  

- magától értetődően - az eredeti és a módosított Airy-kritérium között. Kisebb, de még mindig 0.9 feletti érték utal a Jordan—Kavrajszkij- és az Airy—Kavrajszkij-kritériumok rokonságára (1d. ehhez is 2.5. végét). Az eredetileg hat mutatót tehát lehetséges pl. oly módon háromra csökkenteni, hogy az egymáshoz közel állók értékeit vetületenként átlagoljuk. Átlagolni természetesen csak standardizált (vagyis azonos átlagú és szórású) mutatókat célszerű, ezért ezt elvégezve, majd az átlagokat nagyság szerint sorbarendezve, új rangsorokat kapunk, amelyek azonban már pregnánsabb sajátosságokkal rendelkeznek. Átlagoljuk tehát ezen a módon:

1. a Jordan-féle és az Airy—James-kritérium értékeit;

2. a Jordan—Kavrajszkij- és az Airy—Kavrajszkij-kritérium értékeit;

3. Airy eredeti és módosított kritériumának értékeit.

Felidézve most a 3. fejezetből az alkalmazási lehetőségekről mondottakat, az ábrázolt felületdarab nagy kiterjedése (és az ezen biztosan fellépő nagy torzulások miatt) a három mutatóból a 2. értékeit tekinthetjük a legmérvadóbbaknak, de - főleg az általános torzulású vetületek között - fontos információt ad a szög- és területtorzulásokat egyensúlyozó 3. mutató. Végül az 1. mutató valamilyen módon a hossztorzulásokát tükrözi (vegyük észre, hogy a Jordan- és az Airy—James-kritériumoknak a Jordan—Kavrajszkij_-kritériummal vett korrelációja sem alacsony), ezért ennek van számunkra a legcsekélyebb gyakorlati jelentősége.

Az átszámozott fokhálózatú vetületek közül Aitoff vetületei mindhárom átlagolt mutató szerint a legjobbak: éspedig az 1. szerint az a) változat, a 2. szerint a b) változat, a 3. szerint pedig mindkettő. Az alapvetületek közül az 1. és 3. mutató szerint Winkel vetülete (j₀=50.47') a legelőnyösebb, de a 2. mutató szerint is csak a CNIIGAiK vetülete (az egész Földre nézve), illetve Winkel vetületének másik (j₀=40°) változata (az aszimmetrikus tartományra) előzi meg. A területtartó vetületek közül a 2. mutató szerint Eckert IV. vetülete, az 1. mutató szerint az aszimmetrikus tartományon ugyanez a vetület, az egész Földön pedig Kavrajszkij I. vetülete a legjobb, a 3. mutató szerint viszont a pólusvonalas Hammer vetület b) változata. A póluspontos vetületek közül az aszimmetrikus tartományon mindhárom esetben a loximutális vetület b) azaz aszimmetrikus változata (j₀=45°) adódott a legjobbnak, a 3. mutató szerint ugyanez a vetület az egész Földön is, továbbá ez utóbbi tartományon az 1. mutató szerint Mollweide vetülete, a 2. szerint Baranyi IV. vetülete. A képzetes hengervetületek között a 3. mutató alapján és a 2. mutató egész Földre vonatkozó értékéből Kavrajszkij II. vetülete, a többi aszimmetrikus tartományra Robinson vetülete, az 1. mutatóból az egész Földre pedig Kavrajszkij I. vetülete bizonyult a legkedvezőbbnek. A képzetes kúpvetületek körében a CNIIGAiK vetülete egyértelműen a legjobb.

7.5. A képzetes vetületek torzulási értékelése és a térképészeti gyakorlat

Vessük most össze eredményeinket a geokartográfiai gyakorlatban, különösen az általános földrajzi atlaszokban alkalmazott vetületekkel. Félgömbnél nagyobb terület ábrázolásakor általában az alapvetületek dominálnak [19], mégpedig egyre növekvő súllyal az általános torzulásúak. Európai atlaszokban ma Winkel vetülete a legelterjedtebb; a tengerentúl Robinson vetülete napjainkban szorítja ki Van der Grinten vetületét; a volt szocialista országokban gyakori, a CNIIGAiK vetülete; a magyar atlaszokban Baranyi vetületei váltak uralkodóvá. Átszámozott fokhálózatú világvetületet a népszerű atlaszok közül csak [88]-ban találtunk, nevezetesen Hammer vetületének a) változatát.

Eredményeink alapján - ha csak a tematika egyéb meggondolásra nem vezet - megalapozottnak látszik Winkel, a CNIIGAiK és Baranyi IV. vetületének népszerűsége; jogosan közéjük sorolható még Kavrajszkij II. (elliptikus) vetülete, és különösen a méltatlanul mellőzött loximutális vetületek. (Itt a mellőzöttséget némileg magyarázza, hogy éppen a szimmetrikus változat torzulásai előnytelenebbek, míg az aszimmetrikus változat esélyeit a szokatlansága lerontja.) Ezzel szemben feltűnően gyengének minősült Van der Grinten vetülete. Érdi-Krausz vetületének torzulási hátránya is csak aláhúzza egyéb gyengéit: az egységes méretarány hiányát és a meridiánoknak a határoló szélességeken mutatkozó törését.

Az egyes vetületekkel kapcsolatos térképszerkesztői előítéletek nem mindig találkoznak a torzulási értékelés eredményeivel. Így Hammer és Baranyi II. vetületének elterjedtségét nem igazolják a rangsorok, és Robinson vetülete sem olyan előnyös, mint azt a körülötte folyó reklámozásból következtethetnénk. Ezzel szemben Mollweidének az utóbbi időben sokat bírált (ld. [13]) vetülete a maga kategóriájában a vártnál kedvezőbbnek bizonyult.

Szükséges még itt megjegyezni, hogy egy jól megválasztott hasonlósági transzformáció alkalmazásával az átlagos torzulás az alapvetületek között is csökkenthető lenne. Ennek a vetület területtartósága vagy a deklarált hossztartó vonalak megléte szab korlátot. Baranyi IV. vetületének kedvező megítéléséhez az is hozzájárult, hogy a vetület megszerkesztője által lehetővé tett három - geometriailag hasonló - változat közül éppen azt választottuk ki, amelynek átlagos torzulása a legkisebb [14].

IRODALOM

Könyvek, tanulmányok:

[1] Airy, G. B.: Explanation of a projection by balance of errors for maps applying to a very large extent of the Earth's surface; and comparison of this projection with other projections. In: Philosophical Magazine and Journal of Science, S.4. Vol.22. 1861.

[2] Albinus, H.-J.: Lokale und globale Aspekte bei Verzerrungsfunktionen kartographischer Netzentwürfe. In: Kartographische Nachrichten, 3/1979.

[3] Albinus, H.-J.: Anmerkungen und Kritik zur Entfernungsverzerrung. In: Kartographische Nachrichten, 5/1981.

[4] Bajcsay P.: Variációszámítás. (Műszaki matematikai gyakorlatok C/II.) Tankönyvkiadó, Budapest, 1957.

[5] Баева, Е. Ю. [Bajeva, E. Ju.]: Критерий оценки достоинства картографических проекций, используемых для составления карт мира. In: Геодезия и аэрофотосъёмка, 3/1987.

[6] Baranyi J.: A világvetületek és az alakhűség. In: Geodézia és Kartográfia, 4/1968.

[7] Baranyi J.: The problems of the representation of the globe on a plane with special reference to the preservation of the forms of the continents. In: Hungarian Cartographical Studies, Budapest, 1968.

[8] Baranyi J.: Projection problems in school atlases. In: Hungarian Cartographical Studies, Budapest, 1970.

[9] Baranyi J. - Karsay F.: World map projections with better shape-keeping properties. In: Hungarian Cartographical Studies, Budapest, 1970.

[10] Baranyi J. - Karsay F.: Alakhűbb világtérkép-vetületek. In: Geodézia és Kartográfia, 2/1971. pp. 108-114.

[11] Baranyi J. - Földi E.: Megjegyzések egy új térképvetülethez. In: Geodézia és Kartográfia, 5/1976.

[12] Baranyi J.: Szemléltető földvetületek szerkesztése. In: Geodézia és Kartográfia, 5/1985.

[13] Baranyi J.: Konstruktion anschaulicher Erdabbildungen. In: Kartographische Nachrichten, 1/1987. pp. 11-17.

[14] Baranyi J. - Györffy J.: New form-true projections in Hungarian Atlases. In: Hungarian Cartographical Studies, ICA 14th World Conference, Budapest, 1989. pp. 75-86.

[15] Baranyi J. - Györffy J.: A Föld újszerű ábrázolásai a mai magyar atlaszokban. In: Földrajzi Közlemények, 3-4/ 1990.

     [16] Behrmann, W.: Die beste bekannte flächentreue Projektion der ganzen      Erde. In:        Petermanns         Geographische
Mitteilungen 1910/2. p. 142.

[17] Beineke, D.: Untersuchung zur Robinson-Abbildung und Vorschlag einer analytischen Abbildungsvorschrift. In: Kartographische Nachrichten, 3/1991.

     [18] Berghaus, H.: Ober H. James' und Babinet's Entwurfsarten für Planigloben. In: Petermanns Geographische Mitteilungen, 1858.

[19] Bíró Z.: Vetületek előfordulási gyakorisága az atlaszkartográfiában. In: Geodézia és Kartográfia, 2/1988. pp. 133-134.

[20] Цингер, Н. Я. [Cinger, N. Ja.]: О наивыгоднейших видах конических проекций. Известия Академик Наук Т.6. No. 17., Санкт-Петербург 1913.

[21] Érdi-Krausz Gy.: Földrajzi vetületek (matematikai kartográfia). Geodéziai kézikönyv III. Budapest, 1960.

[22] Fiorini, M.: Le projezioni delle carte geographiche. Bologna, 1881.

[23] Frančula, N.: Die vorteilhaftesten Abbildungen in der Atlaskartographie. Bonn, 1971.

[24] Frančula, N., N.: Über die Verzerrungen in den kartográphischen Abbildungen. In: Kartographische Nachrichten, 6/1980.

[25] Фролов, Ю. Ш. [Frolov, Ju. S.]: Общий показатель искажений картографических проекций. In: Геодезия и аэрофотосъёмка, 5/1964.

[26] Фролов, Ю. Ш. [Frolov, Ju. S.]: Способ сравнителной оценки картографических проекций. In: Геодезия и аэрофотосъёмка, 5/1968.

[27] Grafarend, E. - Niermann, A.: Beste echte Zylinder-abbildungen. In: Kartographische Nachrichten, 3/1984.

[28] Gretschel, H.: Lehrbuch der Kartenprojektion. Weimar, 1873.

[29] Györffy, J.: Anmerkungen zur Frage der besten echten Zylinderabbildungen. Kartographische Nachrichten, 4/1990.

[30] Hajós Gy.: Bevezetés a geometriába. Tankönyvkiadó, Budapest, 1964.

[31] Hajós Gy.: Differenciálgeometria. ELTE TTK jegyzet, Tankönyvkiadó, Budapest, 1968.

[32] Hammer, E.: Über die geographisch wichtigsten Kartenprojectionen. Mahlerscher Verlag, Stuttgart, 1889.

[33] Hazay I.: Földi vetületek. Akadémiai Kiadó, Budapest, 1954.

[34] Hazay I.: Vetülettan. Tankönyvkiadó, Budapest, 1964.

[35] Herz, N.: Lehrbuch der Landkartenprojectionen. Lipcse, 1885.

[36] Heupel, A. - Schoppmeyer, J.: Zur Wahl der Kartenabbil
dungen für Hintergrundkarten im Fernsehen. In: Kartographische Nachrichten, 2/1979.

[37] Hoschek, J.: Mathematische Grundlagen der Kartographie. Bibliographisches Institut, Mannheim/Zürich, 1969.

[38] Hsu, M.-L.: The role of projections in modern map design. In: Cartographica, 2/1981.

[39] Hufnagel, H.: Die Peters-Projektion - eine neue und/oder aktuelle Abbildung der Erde? In: Allgemeine Vermessungs-Nachrichten, 6/1974.

[40] James, H.: On the geometrical Projection of two-thirds of the Sphere. In: Corps Papers of the Royal Engineers, 1858. p. 134.

[41] James, H. - Clarke, R. E.: On projections for maps applying to a very large extent of the Earth's surface. In: Philosophical Magazine and Journal of Science S.4. Vol.23. 1862.

[42] Jordan, W.: Der mittlere Verzerrungsfehler. In: Zeitschrift für Vermessungswesen, 8/1896.

[43] Kaiser, A.: Die Peters-Projektion. In: Kartographische Nachrichten, 1/1974.

[44] Karsay F.: Alkalmazott vetülettan. ELTE TTK jegyzet, Budapest, 1974.

[45] Каврайский, В. В. [Kavrajszkij, V. V.]: Избранные труды. Т. II. Издание Управления начальника Гидрографической службы ВМФ москва, 1958.

[46] Klinghammer I. - Györffy J.: Zur Wahl der Kartennetzentwürfe für thematische Weltatlanten. In: Zum Problem der thematischen Weltatlanten. Haack, Gotha, 1988.

[47] Klingatsch, A.: Zur ebenen rechtwinkligen Abbildungen der soldnerschen Koordinaten. In: Zeitschrift für Vermessungswesen, 14/1897.

[48] Kolmogorov, A. N. - Fomin, Sz. V.: A függvényelmélet és a funkcionálanalizis elemei. Budapest, 1981.

[49] Korn, G. A. – Korn, T. M.:    Matematikai kézikönyv müszakiaknak. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1975.

[50] Kósa A.: Variációszámítás. Tankönyvkiadó, Budapest, 1970.

[51] Lambert, J. H.: Beitrage zum Gebrauche der Mathematik und deren Anwendung. III. Berlin, 1772.

[52] Maling, D. H.: Coordinate systems and map projections. Pergamon Press, London, 1973.

[53] Maling, D. H.: Peters' Wunderwerk. In: Kartographische Nachrichten, 4/1974.

[54] Maurer, H.: Ebene Kugelbilder. In: Petermanns Geographische Mitteilungen, Ergänzungsheft, J. Perthes, 1935.

[55] Мещеряков, Г. А. [Mescserjakov, G. A.]: К проблеме о наивыгоднейших картографических проекций. In: Геодезия и аэрофотосъёмка, 4/1965.

[56] Мещеряков, Г. А. [Mescserjakov, G. A.]: Теоретические основы математической картографии. Изд. Недра, Москва 1968.

[57] Павлов, А. А. [Pavlov, A. A.]: Практические пособие по математической картографии. Изд. ЛУ, Ленинград 1974.

[58] Peters, A.: Wie man unsere Weltkarten der Erde ähnlicher machen kann? In: Kartographische Nachrichten, 5/1975.

[59] Peters, A.: Weltkartenverzerrungen und Weltkarten-mittelpunkte. In: Kartographische Nachrichten, 3/1978.

[60] Peters, A.: Die Winkelsche Abbildung geringster Verzerzerrung: Anmerkungen zum Gutachten von A. Heupel und J. Schoppmeyer. In: Kartographische Nachrichten, 5/1979.

[61] Peters, A.: Anmerkungen zu einer Theorie kartographischer Verzerrungen. In: Kartographische Nachrichten, 5/1981.

[62] Robinson, A. H.: A new map projection. Its development and characteristics. In: International Yearbook of Cartography, 1974.

[63] Siemon, K.: Flächenproportionales Urnbeziffern der Punkte in Kartenentwürfen. In: Mitteilungen des Reichsamts für Landesaufnahme, 1/1938.

[64] Smith, S.: New land maps of the World. In: Scottish Geographical Magazine 1909, pp. 597-600.

[65] Snyder, J. P.: Computer-assisted map projection research. USGS Survey Bulletin 1629: Alexandria, 1985.

[66] Snyder, J. P.: Map projections - A working manual. USGS Professional Paper 1395: Washington, 1987.

[67] Snyder, J. P. - Voxland, P. M.: An album of map projections. USGS Professional Paper 1453: Washington, 1989.

[68] Stegena L.: Vetülettan. Tankönyvkiadó 1988, Budapest.

[69] Соловёв, М. Д. [Szolovjov, M. D.]: Математическая картография. Изд. Недра, Москва 1969.

[70] Szőkefalvi Nagy Gy. - Gehér L. – Nagy P.: Differenciálgeometria. Budapest, 1979.

[71] Tissot, A.: Mémoire sur la réprésentation des surfaces et les projections des cartes géographiques. Párizs, 1881.

[72] Tissot, A. - Hammer, E.: Netzentwürfe geographischer Karten. Stuttgart, 1887.

[73] Tobler, W.: Numerical approaches to map projections. In: Beitrge zur theoretischen Kartographie, Bécs, 1977.

[74] Tobler, W.: Measuring the similarity of map projections. In: The American Cartographer, 2/1986.

[75] Толстова, Т. И. [Tolsztova, T. I.]: Критерий Ейри (Airy) в применении к азимутальным проекциям. In: Геодезия и аэрофотосъёмка, 6/1969.

[76] Török E.: Gépi optimum vetületek. ELTE TTK térképész szakdolgozat, Budapest, 1972.

[77] Wagner, K. H.: Kartographische Netzentwürfe. Bibliographisches Institut, Lipcse, 1949.

[78] Winkel, O.:    Beitrag zur Entwicklung schiefachsiger, speziell zylindrischer Projektionen unter Annahme der Kugelgestalt   der Erde. In: Petermanns Geographische
Mitteilungen 1913/Nov., pp. 241-245.

[79] Winkel, O.: Neue Gradnetzkombinationen. In: Petermanns Geographische Mitteilungen 1921, pp. 248-252.

[80] Young, A. E.: Some investigations in the theory of map projections. Royal Geographical Society, London, 1920.

Atlaszok:

[81] Atlas Sveta. Kartografie, Prága, 1971.

[82] Gazdasági Világatlasz. Kartográfiai Vállalat, Budapest, 1982/83.

[83] Képes Politikai és Gazdasági Világatlasz. Kartográfiai Vállalat, Budapest 1979.

[84] Képes Történelmi Atlasz. Kartográfiai Vállalat, Budapest, 1983.

[85] Nagy Világatlasz. Kartográfiai Vállalat, Budapest, 1985/86.

[86] The Edinbourgh World Atlas of Modern Geography by Bartholomew. Edinbourgh, 1963.

[87] Történelmi atlasz a középiskolák számára, Kartográfiai Vállalat, Budapest, 1984.

[88] Grande Atlante Geografico de Agostini. Novara, 1982.

FÜGGELÉK

A vizsgált képzetes vetületek számított kritérium értékei

A Jordan-kritérium értékei  a -85°j£+85° szimmetrikus tartományon

  1. 0.22920 pólusvon. Aitoff a) (j₀=73°; l₀=90°; cp=2.69; ca=0.59)

  2. 0.23374 pólusvon. Hammer a) (j₀=68°; l₀=80°; ca=0.72; cp=2.47)

  3. 0.25273 pólusvon. Mercator-Sanson a) (j₀=63°; cp=2.07; ce=2.31)

  4. 0.26050 pólusvon. Apianus II. a) (j₀=61°; cp=2.05; ce=2.6)

  5. 0.27482 Winkel (j₀=50.47°)

  6. 0.28353 CNIIGAIK polikónikus (1950)

  7. 0.31442 pólusvon. Aitoff b) (j₀=62°; l₀=69°; cp=2.20; ca=0.77)

  8. 0.31656 Kavrajszkij I.

  9. 0.31908 Eckert VI.

 10. 0.31936 Winkel (j₀=40°)

 11. 0.32810 pólusvon. Mercator-Sanson b) (j₀=40°; cp=2.10; ce=2.35)

 12. 0.33360 Eckert IV.

 13. 0.33576 pólusvon. Apianus II. b) (j₀=40°; cp=2.07; ce=2.8)

 14. 0.34425 Robinson

 15. 0.34548 pólusvon. Hammer b) (j₀=59°; l₀=80°; ca=1.0; cp=1.94)

 16. 0.34576 Eckert V.

 17. 0.35574 Mollweide

 18. 0.36025 Kavrajszkij II.

 19. 0.36098 pólusvon. Apianus II. c) (j₀=43°; cp=1.95; ce=1.55)

 20. 0.36326 pólusvon. Mercator-Sanson c) (j₀=44°; cp=1.95; ce=1.45)

 21. 0.36560 Hammer

 22. 0.40281 Baranyi IV.

 23. 0.40785 Eckert III.

 24. 0.40638 Aitoff

 25. 0.40846 Loximutális b) (j₀=45°)

 26. 0.40846 Loximutális c) (j₀=-45°)

 27. 0.41489 Érdi-Krausz (j_h=60°)

 28. 0.42038 Lagrange

 29. 0.42744 Mercator-Sanson

 30. 0.43021 Apianus II.

 31. 0.43683 Érdi-Krausz (j_h=70°)

 32. 0.45645 Loximutális (j₀=0°)

 33. 0.46642 Bonne (j₀=15°)

 34. 0.49728 Bonne (j₀=30°)

 35. 0.53003 Bonne (j₀=45°)

 36. 0.55268 Bonne (j₀=60°)

 37. 0.56227 Bonne (j₀=75°)

 38. 0.56367 Bonne (j₀=90°) - Werner

 39. 0.58228 Baranyi II.

 40. 0.60581 Területtartó polikónikus

 41. 0.63518 pólusvon. közönséges  polikónikus e) (j₀=80°; l₀=35°; cp=2; ca=1)

 42. 0.67992 pólusvon. közönséges  polikónikus a) (j₀=66°; l₀=62°; cp=2.7; ca=0.59)

 43. 0.70446 Van der Grinten

 44. 0.72236 pólusvon. közönséges  polikónikus f) (j₀=70°; l₀=50°; cp=2; ca=0.85)

 45. 0.79338 pólusvon. közönséges  polikónikus c) (j₀=68°; l₀=47°; cp=1.82; ca=0.823)

 46. 0.80936 pólusvon. közönséges  polikónikus b) (j₀=68°; l₀=46°; cp=1.75; ca=0.85)

 47. 0.89845 egyenlítőben hossztartó ortogonális polikónikus

 48. 0.97011 15°-os szélességen hossztartó ortogonális polikónikus

 49. 1.02239 közönséges  polikónikus

 50. 1.17929 pólusvon. közönséges  polikónikus d) (j₀=53°; l₀=45°; cp=2.12; ca=0.78)

 51. 1.23688 30°-os szélességen hossztartó ortogonális polikónikus

 52. 1.45755 August

A Jordan–Kavrajszkij-kritérium értékei  a -85°j£+85° szimmetrikus tartományon

  1. 0.21112 Winkel (j₀=50.47°)

  2. 0.21428 pólusvon. Aitoff b) (j₀=62°; l₀=69°; cp=2.20; ca=0.77)

  3. 0.21596 CNIIGAIK polikónikus (1950)

  4. 0.22428 pólusvon. Aitoff a) (j₀=73°; l₀=90°; cp=2.69; ca=0.59)

  5. 0.22457 Winkel (j₀=40°)

  6. 0.22975 pólusvon. Apianus II. c) (j₀=43°; cp=1.95; ce=1.55)

  7. 0.22996 pólusvon. Mercator-Sanson c) (j₀=44°; cp=1.95; ce=1.45)

  8. 0.23241 pólusvon. Apianus II. b) (j₀=40°; cp=2.07; ce=2.8)

  9. 0.23305 Robinson

 10. 0.23457 Kavrajszkij II.

 11. 0.23660 pólusvon. Mercator-Sanson b) (j₀=40°; cp=2.10; ce=2.35)

 12. 0.23980 Eckert IV.

 13. 0.24331 pólusvon. Hammer a) (j₀=68°; l₀=80°; ca=0.72; cp=2.47)

 14. 0.24755 Eckert V.

 15. 0.24787 Kavrajszkij I.

 16. 0.25065 Eckert VI.

 17. 0.25210 pólusvon. Mercator-Sanson a) (j₀=63°; cp=2.07; ce=2.31)

 18. 0.25356 pólusvon. Apianus II. a) (j₀=61°; cp=2.05; ce=2.6)

 19. 0.25731 Baranyi IV.

 20. 0.26085 Eckert III.

 21. 0.26161 Loximutális b) (j₀=45°)

 22. 0.26161 Loximutális c) (j₀=-45°)

 23. 0.26288 pólusvon. Hammer b) (j₀=59°; l₀=80°; ca=1.0; cp=1.94)

 24. 0.27131 Mollweide

 25. 0.28029 Érdi-Krausz (j_h=70°)

 26. 0.28164 Érdi-Krausz (j_h=60°)

 27. 0.28434 Loximutális (j₀=0°) 

 28. 0.28590 Apianus II.

 29. 0.29185 Hammer

 30. 0.29559 pólusvon. közönséges  polikónikus f) (j₀=70°; l₀=50°; cp=2; ca=0.85)

 31. 0.29572 pólusvon. közönséges  polikónikus a) (j₀=66°; l₀=62°; cp=2.7; ca=0.59)

 32. 0.29800 pólusvon. közönséges  polikónikus c) (j₀=68°; l₀=47°; cp=1.82; ca=0.823)

 33. 0.30224 pólusvon. közönséges  polikónikus b) (j₀=68°; l₀=46°; cp=1.75; ca=0.85)

 34. 0.30618 Aitoff

 35. 0.32553 pólusvon. közönséges  polikónikus d) (j₀=53°; l₀=45°; cp=2.12; ca=0.78)

 36. 0.33745 pólusvon. közönséges  polikónikus e) (j₀=80°; l₀=35°; cp=2; ca=1)

 37. 0.34401 Mercator-Sanson

 38. 0.34415 Bonne (j₀=15°)

 39. 0.35902 Bonne (j₀=30°)

 40. 0.36019 Baranyi II.

 41. 0.37653 Bonne (j₀=45°)

 42. 0.39011 Bonne (j₀=60°)

 43. 0.39239 Területtartó polikónikus

 44. 0.39654 Bonne (j₀=75°)

 45. 0.39754 Bonne (j₀=90°) - Werner

 46. 0.40845 Van der Grinten

 47. 0.42699 Lagrange

 48. 0.50537 egyenlítőben hossztartó ortogonális polikónikus

 49. 0.52420 15°-os szélességen hossztartó ortogonális polikónikus

 50. 0.54520 közönséges  polikónikus

 51. 0.59123 30°-os szélességen hossztartó ortogonális polikónikus

 52. 0.75960 August

Az Airy-féle eredeti kritérium értékei  a -85°j£+85° szimmetrikus tartományon

  1. 0.66477 pólusvon. Aitoff a) (j₀=73°; l₀=90°; cp=2.69; ca=0.59)

  2. 0.71968 pólusvon. Aitoff b) (j₀=62°; l₀=69°; cp=2.20; ca=0.77)

  3. 0.77877 Winkel (j₀=50.47°)

  4. 0.78267 pólusvon. Apianus II. a) (j₀=61°; cp=2.05; ce=2.6)

  5. 0.78830 CNIIGAIK polikónikus (1950)

  6. 0.80634 pólusvon. Apianus II. c) (j₀=43°; cp=1.95; ce=1.55)

  7. 0.81071 pólusvon. Mercator-Sanson c) (j₀=44°; cp=1.95; ce=1.45)

  8. 0.81489 pólusvon. Mercator-Sanson a) (j₀=63°; cp=2.07; ce=2.31)

  9. 0.81665 Winkel (j₀=40°)

 10. 0.85801 Kavrajszkij II.

 11. 0.86403 pólusvon. Apianus II. b) (j₀=40°; cp=2.07; ce=2.8)

 12. 0.90309 pólusvon. Mercator-Sanson b) (j₀=40°; cp=2.10; ce=2.35)

 13. 0.95269 Eckert V.

 14. 0.97981 Eckert III.

 15. 1.02673 Loximutális b) (j₀=45°)

 16. 1.02673 Loximutális c) (j₀=-45°)

 17. 1.08144 Loximutális (j₀=0°)

 18. 1.09077 Robinson

 19. 1.09987 Baranyi IV.

 20. 1.16833 Lagrange

 21. 1.23342 Apianus II.

 22. 1.24139 pólusvon. Hammer a) (j₀=68°; l₀=80°; ca=0.72; cp=2.47)

 23. 1.33535 Baranyi II.

 24. 1.38333 Aitoff

 25. 1.57422 pólusvon. Hammer b) (j₀=59°; l₀=80°; ca=1.0; cp=1.94)

 26. 1.61481 pólusvon. közönséges  polikónikus f) (j₀=70°; l₀=50°; cp=2; ca=0.85)

 27. 1.68297 pólusvon. közönséges  polikónikus a) (j₀=66°; l₀=62°; cp=2.7; ca=0.59)

 28. 1.69536 Érdi-Krausz (j_h=70°)

 29. 1.71971 pólusvon. közönséges  polikónikus e) (j₀=80°; l₀=35°; cp=2; ca=1)

 30. 1.73911 Kavrajszkij I.

 31. 1.74777 Eckert VI.

 32. 1.76930 Hammer

 33. 1.80094 pólusvon. közönséges  polikónikus c) (j₀=68°; l₀=47°; cp=1.82; ca=0.823)

 34. 1.80260 Érdi-Krausz (j_h=60°)

 35. 1.82234 pólusvon. közönséges  polikónikus b) (j₀=68°; l₀=46°; cp=1.75; ca=0.85)

 36. 1.89711 Mollweide

 37. 2.06336 Eckert IV.

 38. 2.17774 közönséges  polikónikus

 39. 2.18673 egyenlítőben hossztartó ortogonális polikónikus

 40. 2.24338 15°-os szélességen hossztartó ortogonális polikónikus

 41. 2.37519 Mercator-Sanson

 42. 2.50371 Bonne (j₀=15°)

 43. 2.53650 pólusvon. közönséges  polikónikus d) (j₀=53°; l₀=45°; cp=2.12; ca=0.78)

 44. 2.74149 Bonne (j₀=30°)

 45. 2.89842 Van der Grinten

 46. 2.97283 Bonne (j₀=45°)

 47. 3.11610 30°-os szélességen hossztartó ortogonális polikónikus

 48. 3.11912 Bonne (j₀=60°)

 49. 3.17626 Bonne (j₀=75°)

 50. 3.18428 Bonne (j₀=90°) - Werner

 51. 6.49015 Területtartó polikónikus

 52. 7.00470 August

  Az Airy-féle módosított kritérium értékei  a -85°j£+85° szimmetrikus tartományon

  1. 0.59140 pólusvon. Aitoff b) (j₀=62°; l₀=69°; cp=2.20; ca=0.77)

  2. 0.64520 pólusvon. Apianus II. c) (j₀=43°; cp=1.95; ce=1.55)

  3. 0.65088 pólusvon. Mercator-Sanson c) (j₀=44°; cp=1.95; ce=1.45)

  4. 0.68791 Winkel (j₀=50.47°)

  5. 0.69023 Winkel (j₀=40°)

  6. 0.69750 CNIIGAIK polikónikus (1950)

  7. 0.70690 pólusvon. Aitoff a) (j₀=73°; l₀=90°; cp=2.69; ca=0.59)

  8. 0.71968 pólusvon. Apianus II. b) (j₀=40°; cp=2.07; ce=2.8)

  9. 0.77526 Loximutális b) (j₀=45°)

 10. 0.79359 pólusvon. Mercator-Sanson b) (j₀=40°; cp=2.10; ce=2.35)

 11. 0.79441 Eckert III.

 12. 0.81886 pólusvon. Apianus II. a) (j₀=61°; cp=2.05; ce=2.6)

 13. 0.83258 Eckert V.

 14. 0.85306 pólusvon. Mercator-Sanson a) (j₀=63°; cp=2.07; ce=2.31)

 15. 0.85900 Kavrajszkij II.

 16. 0.86689 Robinson

 17. 0.86763 Baranyi IV.

 18. 0.87696 Loximutális (j₀=0°)

 19. 0.92608 Loximutális c) (j₀=-45°)

 20. 1.08024 Baranyi II.

 21. 1.13813 pólusvon. Hammer a) (j₀=68°; l₀=80°; ca=0.72; cp=2.47)

 22. 1.23342 Apianus II.

 23. 1.28596 pólusvon. Hammer b) (j₀=59°; l₀=80°; ca=1.0; cp=1.94)

 24. 1.35429 Érdi-Krausz (j_h=70°)

 25. 1.38333 Aitoff

 26. 1.40315 Kavrajszkij I.

 27. 1.42120 Eckert VI.

 28. 1.42700 Érdi-Krausz (j_h=60°)

 29. 1.55152 Mollweide

 30. 1.55905 Eckert IV.

 31. 1.63230 pólusvon. közönséges  polikónikus f) (j₀=70°; l₀=50°; cp=2; ca=0.85)

 32. 1.64411 Lagrange

 33. 1.67147 pólusvon. közönséges  polikónikus e) (j₀=80 fok; l₀=35 fok; cp=2; ca=1)

 34. 1.74802 pólusvon. közönséges  polikónikus a) (j₀=66°; l₀=62°; cp=2.7; ca=0.59)

 35. 1.76930 Hammer

 36. 1.83534 pólusvon. közönséges  polikónikus c) (j₀=68°; l₀=47°; cp=1.82; ca=0.823)

 37. 1.85575 pólusvon. közönséges  polikónikus b) (j₀=68°; l₀=46°; cp=1.75; ca=0.85)

 38. 2.22035 Bonne (j₀=15°)

 39. 2.24341 egyenlitőben hossztartó ortogonális polikónikus

 40. 2.25049 közönséges  polikónikus

 41. 2.25520 Van der Grinten

 42. 2.30474 15°-os szélességen hossztartó ortogonális polikónikus

 43. 2.37519 Mercator-Sanson

 44. 2.45792 Bonne (j₀=30°)

 45. 2.58278 pólusvon. közönséges  polikónikus d) (j₀=53°; l₀=45°; cp=2.12; ca=0.78)

 46. 2.70963 Bonne (j₀=45°)

 47. 2.87163 Bonne (j₀=60°)

 48. 2.93517 Bonne (j₀=75°)

 49. 2.94410 Bonne (j₀=90°) - Werner

 50. 3.21605 30°-os szélességen hossztartó ortogonális polikónikus

 51. 6.32917 August

 52. 6.74645 Területtartó polikónikus

Az Airy–James-kritérium értékei  a -85°j£+85° szimmetrikus tartományon

  1. 0.27401 pólusvon. Aitoff a) (j₀=73°; l₀=90°; cp=2.69; ca=0.59)

  2. 0.30810 pólusvon. Mercator-Sanson a) (j₀=63°; cp=2.07; ce=2.31)

  3. 0.31090 pólusvon. Apianus II. a) (j₀=61°; cp=2.05; ce=2.6)

  4. 0.32079 pólusvon. Hammer a) (j₀=68°; l₀=80°; ca=0.72; cp=2.47)

  5. 0.32714 Winkel (j₀=50.47°)

  6. 0.33726 CNIIGAIK polikónikus (1950)

  7. 0.34673 pólusvon. Aitoff b) (j₀=62°; l₀=69°; cp=2.20; ca=0.77)

  8. 0.36625 Winkel (j₀=40°)

  9. 0.38140 pólusvon. Mercator-Sanson b) (j₀=40°; cp=2.10; ce=2.35)

 10. 0.38206 pólusvon. Apianus II. b) (j₀=40°; cp=2.07; ce=2.8)

 11. 0.39384 pólusvon. Apianus II. c) (j₀=43°; cp=1.95; ce=1.55)

 12. 0.39576 pólusvon. Mercator-Sanson c) (j₀=44°; cp=1.95; ce=1.45)

 13. 0.39652 Robinson

 14. 0.39760 Kavrajszkij I.

 15. 0.39986 Eckert V.

 16. 0.40130 Eckert VI.

 17. 0.40548 Eckert IV.

 18. 0.41037 Kavrajszkij II.

 19. 0.41974 pólusvon. Hammer b) (j₀=59°; l₀=80°; ca=1.0; cp=1.94)

 20. 0.42038 Lagrange

 21. 0.44174 Mollweide

 22. 0.44823 Baranyi IV.

 23. 0.44895 Eckert III.

 24. 0.45616 Loximutális b) (j₀=45°)

 25. 0.45616 Loximutális c) (j₀=-45°)

 26. 0.46225 Hammer

 27. 0.48857 Érdi-Krausz (j_h=60°)

 28. 0.50029 Aitoff

 29. 0.50129 Apianus II.

 30. 0.50378 Loximutális (j₀=0°)

 31. 0.50522 Érdi-Krausz (j_h=70°)

 32. 0.55425 Mercator-Sanson

 33. 0.57144 Bonne (j₀=15°)

 34. 0.60419 Bonne (j₀=30°)

 35. 0.60961 Baranyi II.

 36. 0.64008 Bonne (j₀=45°)

 37. 0.66584 Bonne (j₀=60°)

 38. 0.67717 Bonne (j₀=75°)

 39. 0.67886 Bonne (j₀=90°) - Werner

 40. 0.69828 pólusvon. közönséges  polikónikus e) (j₀=80°; l₀=35°; cp=2; ca=1)

 41. 0.70940 Van der Grinten

 42. 0.71212 Területtartó polikónikus

 43. 0.71493 pólusvon. közönséges  polikónikus a) (j₀=66°; l₀=62°; cp=2.7; ca=0.59)

 44. 0.76155 pólusvon. közönséges  polikónikus f) (j₀=70°; l₀=50°; cp=2; ca=0.85)

 45. 0.83042 pólusvon. közönséges  polikónikus c) (j₀=68°; l₀=47°; cp=1.82; ca=0.823)

 46. 0.84643 pólusvon. közönséges  polikónikus b) (j₀=68°; l₀=46°; cp=1.75; ca=0.85)

 47. 0.97229 egyenlítőben hossztartó ortogonális polikónikus

 48. 1.03799 15°-os szélességen hossztartó ortogonális polikónikus

 49. 1.08568 közönséges  polikónikus

 50. 1.20670 pólusvon. közönséges  polikónikus d) (j₀=53°; l₀=45°; cp=2.12; ca=0.78)

 51. 1.28904 30°-os szélességen hossztartó ortogonális polikónikus

 52. 1.45755 August

Az Airy–Kavrajszkij-kritérium értékei  a -85°j£+85° szimmetrikus tartományon

  1. 0.23566 pólusvon. Aitoff b) (j₀=62°; l₀=69°; cp=2.20; ca=0.77)

  2. 0.24878 pólusvon. Apianus II. c) (j₀=43°; cp=1.95; ce=1.55)

  3. 0.24950 pólusvon. Mercator-Sanson c) (j₀=44°; cp=1.95; ce=1.45)

  4. 0.25954 Winkel (j₀=50.47°)

  5. 0.26012 Winkel (j₀=40°)

  6. 0.26051 Kavrajszkij II.

  7. 0.26420 CNIIGAIK polikónikus (1950)

  8. 0.26772 pólusvon. Apianus II. b) (j₀=40°; cp=2.07; ce=2.8)

  9. 0.27411 pólusvon. Aitoff a) (j₀=73°; l₀=90°; cp=2.69; ca=0.59)

 10. 0.27780 Robinson

 11. 0.28412 pólusvon. Mercator-Sanson b) (j₀=40°; cp=2.10; ce=2.35)

 12. 0.28528 Eckert III.

 13. 0.28748 Baranyi IV.

 14. 0.29705 Eckert V.

 15. 0.29730 Loximutális b) (j₀=45°)

 16. 0.29730 Loximutális c) (j₀=-45°)

 17. 0.30748 Loximutális (j₀=0°)

 18. 0.31658 pólusvon. Apianus II. a) (j₀=61°; cp=2.05; ce=2.6)

 19. 0.31883 pólusvon. közönséges  polikónikus d) (j₀=53°; l₀=45°; cp=2.12; ca=0.78)

 20. 0.32281 pólusvon. Mercator-Sanson a) (j₀=63°; cp=2.07; ce=2.31)

 21. 0.32290 pólusvon. közönséges  polikónikus f) (j₀=70°; l₀=50°; cp=2; ca=0.85)

 22. 0.32447 Apianus II.

 23. 0.32590 pólusvon. közönséges  polikónikus c) (j₀=68°; l₀=47°; cp=1.82; ca=0.823)

 24. 0.32852 pólusvon. közönséges  polikónikus b) (j₀=68°; l₀=46°; cp=1.75; ca=0.85)

 25. 0.33075 pólusvon. közönséges  polikónikus a) (j₀=66°; l₀=62°; cp=2.7; ca=0.59)

 26. 0.33223 Eckert IV.

 27. 0.33728 pólusvon. Hammer b) (j₀=59°; l₀=80°; ca=1.0; cp=1.94)

 28. 0.34539 Kavrajszkij I.

 29. 0.34933 Eckert VI.

 30. 0.35199 Érdi-Krausz (j_h=70°)

 31. 0.35743 pólusvon. Hammer a) (j₀=68°; l₀=80°; ca=0.72; cp=2.47)

 32. 0.35861 Baranyi II.

 33. 0.35932 Érdi-Krausz (j_h=60°)

 34. 0.36678 Aitoff

 35. 0.37740 Mollweide

 36. 0.39719 pólusvon. közönséges  polikónikus e) (j₀=80°; l₀=35°; cp=2; ca=1)

 37. 0.40709 Hammer

 38. 0.40790 Van der Grinten

 39. 0.42699 Lagrange

 40. 0.46731 Mercator-Sanson

 41. 0.47756 Bonne (j₀=15°)

 42. 0.49715 Bonne (j₀=30°)

 43. 0.52051 Bonne (j₀=45°)

 44. 0.53784 közönséges  polikónikus

 45. 0.53890 Bonne (j₀=60°)

 46. 0.54189 egyenlítőben hossztartó ortogonális polikónikus

 47. 0.54454 Területtartó polikónikus

 48. 0.54652 15°-os szélességen hossztartó ortogonális polikónikus

 49. 0.54769 Bonne (j₀=75°)

 50. 0.54907 Bonne (j₀=90°) - Werner

 51. 0.58489 30°-os szélességen hossztartó ortogonális polikónikus

 52. 0.75960 August

A Jordan-kritérium értékei  a -60°j£+85° aszimmetrikus tartományon

  1. 0.21369 pólusvon. Aitoff a) (j₀=73°; l₀=90°; cp=2.69; ca=0.59)

  2. 0.22276 pólusvon. Hammer a) (j₀=68°; l₀=80°; ca=0.72; cp=2.47)

  3. 0.23004 Winkel (j₀=50.47°)

  4. 0.23168 pólusvon. Mercator-Sanson a) (j₀=63°; cp=2.07; ce=2.31)

  5. 0.23464 pólusvon. Apianus II. a) (j₀=61°; cp=2.05; ce=2.6)

  6. 0.23971 CNIIGAIK polikónikus (1950)

  7. 0.24721 pólusvon. Aitoff b) (j₀=62°; l₀=69°; cp=2.20; ca=0.77)

  8. 0.25884 Loximutális b) (j₀=45°)

  9. 0.25905 Winkel (j₀=40°)

 10. 0.26657 Eckert IV.

 11. 0.26688 pólusvon. Apianus II. b) (j₀=40°; cp=2.07; ce=2.8)

 12. 0.26877 pólusvon. Mercator-Sanson b) (j₀=40°; cp=2.10; ce=2.35)

 13. 0.27147 Robinson

 14. 0.27499 Kavrajszkij I.

 15. 0.27750 pólusvon. Apianus II. c) (j₀=43°; cp=1.95; ce=1.55)

 16. 0.27918 pólusvon. Mercator-Sanson c) (j₀=44°; cp=1.95; ce=1.45)

 17. 0.27978 Eckert VI.

 18. 0.28068 Eckert V.

 19. 0.28887 Kavrajszkij II.

 20. 0.30643 Mollweide

 21. 0.31179 pólusvon. Hammer b) (j₀=59°; l₀=80°; ca=1.0; cp=1.94)

 22. 0.31337 Baranyi IV.

 23. 0.31668 Eckert III.

 24. 0.33402 Érdi-Krausz (j₀=60°)

 25. 0.33984 Hammer

 26. 0.35018 Érdi-Krausz (j₀=70°)

 27. 0.36163 Loximutális (j₀=0°)

 28. 0.36164 Apianus II.

 29. 0.37521 Loximutális c) (j₀=-45°)

 30. 0.37864 Lagrange

 31. 0.39599 Aitoff

 32. 0.42196 Mercator-Sanson

 33. 0.42762 Bonne (j₀=15°)

 34. 0.45863 Bonne (j₀=30°)

 35. 0.47243 Baranyi II.

 36. 0.49418 Bonne (j₀=45°)

 37. 0.51916 Bonne (j₀=60°)

 38. 0.52978 Bonne (j₀=75°)

 39. 0.53134 Bonne (j₀=90°) - Werner

 40. 0.55958 Van der Grinten

 41. 0.62469 Területtartó polikónikus

 42. 0.62991 pólusvon. közönséges  polikónikus e) (j₀=80 fok; l₀=35 fok; cp=2; ca=1)

 43. 0.69618 pólusvon. közönséges  polikónikus a) (j₀=66°; l₀=62°; cp=2.7; ca=0.59)

 44. 0.73172 pólusvon. közönséges  polikónikus f) (j₀=70°; l₀=50°; cp=2; ca=0.85)

 45. 0.80848 pólusvon. közönséges  polikónikus c) (j₀=68°; l₀=47°; cp=1.82; ca=0.823)

 46. 0.82435 pólusvon. közönséges  polikónikus b) (j₀=68°; l₀=46°; cp=1.75; ca=0.85)

 47. 0.92750 egyenlitőben hossztartó ortogonális polikónikus

 48. 1.00189 15°-os szélességen hossztartó ortogonális polikónikus

 49. 1.05673 közönséges  polikónikus

 50. 1.20044 pólusvon. közönséges  polikónikus d) (j₀=53°; l₀=45°; cp=2.12; ca=0.78)

 51. 1.27846 30°-os szélességen hossztartó ortogonális polikónikus

 52. 1.36497 August

A Jordan–Kavrajszkij-kritérium értékei  a -60°j£+85° aszimmetrikus tartományon

  1. 0.17969 pólusvon. Aitoff b) (j₀=62°; l₀=69°; cp=2.20; ca=0.77)

  2. 0.18666 Winkel (j₀=50.47°)

  3. 0.18883 pólusvon. Apianus II. c) (j₀=43°; cp=1.95; ce=1.55)

  4. 0.18967 pólusvon. Mercator-Sanson c) (j₀=44°; cp=1.95; ce=1.45)

  5. 0.19218 Winkel (j₀=40°)

  6. 0.19289 CNIIGAIK polikónikus (1950)

  7. 0.19566 Kavrajszkij II.

  8. 0.19570 Robinson

  9. 0.19628 pólusvon. Apianus II. b) (j₀=40°; cp=2.07; ce=2.8)

 10. 0.20028 Loximutális b) (j₀=45°)

 11. 0.20289 Eckert IV.

 12. 0.20622 pólusvon. Mercator-Sanson b) (j₀=40°; cp=2.10; ce=2.35)

 13. 0.21287 Baranyi IV.

 14. 0.21661 Eckert V.

 15. 0.21908 pólusvon. Aitoff a) (j₀=73°; l₀=90°; cp=2.69; ca=0.59)

 16. 0.21948 Eckert III.

 17. 0.22588 Kavrajszkij I.

 18. 0.23036 Eckert VI.

 19. 0.23708 pólusvon. Hammer a) (j₀=68°; l₀=80°; ca=0.72; cp=2.47)

 20. 0.23754 Loximutális (j₀=0°)

 21. 0.23883 Loximutális c) (j₀=-45°)

 22. 0.24024 Érdi-Krausz (j₀=70°)

 23. 0.24088 Érdi-Krausz (j₀=60°)

 24. 0.24336 Mollweide

 25. 0.24534 pólusvon. Apianus II. a) (j₀=61°; cp=2.05; ce=2.6)

 26. 0.24576 Apianus II.

 27. 0.24587 pólusvon. Mercator-Sanson a) (j₀=63°; cp=2.07; ce=2.31)

 28. 0.24822 pólusvon. Hammer b) (j₀=59°; l₀=80°; ca=1.0; cp=1.94)

 29. 0.27599 Hammer

 30. 0.28672 pólusvon. közönséges  polikónikus f) (j₀=70°; l₀=50°; cp=2; ca=0.85)

 31. 0.29037 Aitoff

 32. 0.29175 pólusvon. közönséges  polikónikus c) (j₀=68°; l₀=47°; cp=1.82; ca=0.823)

 33. 0.29526 pólusvon. közönséges  polikónikus a) (j₀=66°; l₀=62°; cp=2.7; ca=0.59)

 34. 0.29531 pólusvon. közönséges  polikónikus b) (j₀=68°; l₀=46°; cp=1.75; ca=0.85)

 35. 0.30926 Baranyi II.

 36. 0.31013 pólusvon. közönséges  polikónikus d) (j₀=53°; l₀=45°; cp=2.12; ca=0.78)

 37. 0.32082 Mercator-Sanson

 38. 0.32363 Bonne (j₀=15°)

 39. 0.32463 pólusvon. közönséges  polikónikus e) (j₀=80 fok; l₀=35 fok; cp=2; ca=1)

 40. 0.33866 Bonne (j₀=30°)

 41. 0.34298 Van der Grinten

 42. 0.35761 Bonne (j₀=45°)

 43. 0.37253 Bonne (j₀=60°)

 44. 0.37961 Bonne (j₀=75°)

 45. 0.38072 Bonne (j₀=90°) - Werner

 46. 0.40344 Területtartó polikónikus

 47. 0.42027 Lagrange

 48. 0.51714 egyenlitőben hossztartó ortogonális polikónikus

 49. 0.53747 15°-os szélességen hossztartó ortogonális polikónikus

 50. 0.56288 közönséges  polikónikus

 51. 0.60879 30°-os szélességen hossztartó ortogonális polikónikus

 52. 0.72678 August

Az Airy-féle eredeti kritérium értékei  a -60°j£+85° aszimmetrikus tartományon

  1. 0.58586 pólusvon. Aitoff b) (j₀=62°; l₀=69°; cp=2.20; ca=0.77)

  2. 0.63839 pólusvon. Apianus II. c) (j₀=43°; cp=1.95; ce=1.55)

  3. 0.64142 pólusvon. Aitoff a) (j₀=73°; l₀=90°; cp=2.69; ca=0.59)

  4. 0.64320 pólusvon. Mercator-Sanson c) (j₀=44°; cp=1.95; ce=1.45)

  5. 0.68602 Winkel (j₀=50.47°)

  6. 0.68994 Winkel (j₀=40°)

  7. 0.69030 Kavrajszkij II.

  8. 0.69605 CNIIGAIK polikónikus (1950)

  9. 0.71628 pólusvon. Apianus II. b) (j₀=40°; cp=2.07; ce=2.8)

 10. 0.73483 pólusvon. Apianus II. a) (j₀=61°; cp=2.05; ce=2.6)

 11. 0.77309 Eckert III.

 12. 0.77445 Loximutális b) (j₀=45°)

 13. 0.78173 pólusvon. Mercator-Sanson a) (j₀=63°; cp=2.07; ce=2.31)

 14. 0.79169 pólusvon. Mercator-Sanson b) (j₀=40°; cp=2.10; ce=2.35)

 15. 0.82391 Eckert V.

 16. 0.86335 Robinson

 17. 0.86454 Baranyi IV.

 18. 0.87696 Loximutális (j₀=0°)

 19. 0.92541 Loximutális c) (j₀=-45°)

 20. 0.92786 Lagrange

 21. 1.02321 Apianus II.

 22. 1.08024 Baranyi II.

 23. 1.12360 pólusvon. Hammer a) (j₀=68°; l₀=80°; ca=0.72; cp=2.47)

 24. 1.26152 Aitoff

 25. 1.28596 pólusvon. Hammer b) (j₀=59°; l₀=80°; ca=1.0; cp=1.94)

 26. 1.35429 Érdi-Krausz (j_H=70°)

 27. 1.40315 Kavrajszkij I.

 28. 1.42120 Eckert VI.

 29. 1.42700 Érdi-Krausz (j_H=60°)

 30. 1.55152 Mollweide

 31. 1.55905 Eckert IV.

 32. 1.60895 Hammer

 33. 1.63199 pólusvon. közönséges  polikónikus f) (j₀=70°; l₀=50°; cp=2; ca=0.85)

 34. 1.67147 pólusvon. közönséges  polikónikus e) (j₀=80 fok; l₀=35 fok; cp=2; ca=1)

 35. 1.72384 pólusvon. közönséges  polikónikus a) (j₀=66°; l₀=62°; cp=2.7; ca=0.59)

 36. 1.83476 pólusvon. közönséges  polikónikus c) (j₀=68°; l₀=47°; cp=1.82; ca=0.823)

 37. 1.85546 pólusvon. közönséges  polikónikus b) (j₀=68°; l₀=46°; cp=1.75; ca=0.85)

 38. 2.18015 Mercator-Sanson

 39. 2.22035 Bonne (j₀=15°)

 40. 2.23559 egyenlitőben hossztartó ortogonális polikónikus

 41. 2.25049 közönséges  polikónikus

 42. 2.25520 Van der Grinten

 43. 2.29945 15°-os szélességen hossztartó ortogonális polikónikus

 44. 2.45792 Bonne (j₀=30°)

 45. 2.58185 pólusvon. közönséges  polikónikus d) (j₀=53°; l₀=45°; cp=2.12; ca=0.78)

 46. 2.70963 Bonne (j₀=45°)

 47. 2.87163 Bonne (j₀=60°)

 48. 2.93517 Bonne (j₀=75°)

 49. 2.94410 Bonne (j₀=90°) - Werner

 50. 3.21478 30°-os szélességen hossztartó ortogonális polikónikus

 51. 6.32917 August

 52. 6.71013 Területtartó polikónikus

Az Airy-féle módosított kritérium értékei  a -60°j£+85° aszimmetrikus tartományon

  1. 0.59140 pólusvon. Aitoff b) (j₀=62°; l₀=69°; cp=2.20; ca=0.77)

  2. 0.64520 pólusvon. Apianus II. c) (j₀=43°; cp=1.95; ce=1.55)

  3. 0.65088 pólusvon. Mercator-Sanson c) (j₀=44°; cp=1.95; ce=1.45)

  4. 0.68791 Winkel (j₀=50.47°)

  5. 0.69023 Winkel (j₀=40°)

  6. 0.69162 Kavrajszkij II.

  7. 0.69750 CNIIGAIK polikónikus (1950)

  8. 0.70690 pólusvon. Aitoff a) (j₀=73°; l₀=90°; cp=2.69; ca=0.59)

  9. 0.71968 pólusvon. Apianus II. b) (j₀=40°; cp=2.07; ce=2.8)

 10. 0.77526 Loximutális b) (j₀=45°)

 11. 0.79359 pólusvon. Mercator-Sanson b) (j₀=40°; cp=2.10; ce=2.35)

 12. 0.79441 Eckert III.

 13. 0.81886 pólusvon. Apianus II. a) (j₀=61°; cp=2.05; ce=2.6)

 14. 0.83258 Eckert V.

 15. 0.85306 pólusvon. Mercator-Sanson a) (j₀=63°; cp=2.07; ce=2.31)

 16. 0.86689 Robinson

 17. 0.86763 Baranyi IV.

 18. 0.87696 Loximutális (j₀=0°)

 19. 0.92608 Loximutális c) (j₀=-45°)

 20. 1.02321 Apianus II.

 21. 1.08024 Baranyi II.

 22. 1.13813 pólusvon. Hammer a) (j₀=68°; l₀=80°; ca=0.72; cp=2.47)

 23. 1.26152 Aitoff

 24. 1.28596 pólusvon. Hammer b) (j₀=59°; l₀=80°; ca=1.0; cp=1.94)

 25. 1.35429 Érdi-Krausz (j_H=70°)

 26. 1.40315 Kavrajszkij I.

 27. 1.42120 Eckert VI.

 28. 1.42700 Érdi-Krausz (j_H=60°)

 29. 1.55152 Mollweide

 30. 1.55905 Eckert IV.

 31. 1.60895 Hammer

 32. 1.63230 pólusvon. közönséges  polikónikus f) (j₀=70°; l₀=50°; cp=2; ca=0.85)

 33. 1.64411 Lagrange

 34. 1.67147 pólusvon. közönséges  polikónikus e) (j₀=80 fok; l₀=35 fok; cp=2; ca=1)

 35. 1.74802 pólusvon. közönséges  polikónikus a) (j₀=66°; l₀=62°; cp=2.7; ca=0.59)

 36. 1.83534 pólusvon. közönséges  polikónikus c) (j₀=68°; l₀=47°; cp=1.82; ca=0.823)

 37. 1.85575 pólusvon. közönséges  polikónikus b) (j₀=68°; l₀=46°; cp=1.75; ca=0.85)

 38. 2.18015 Mercator-Sanson

 39. 2.22035 Bonne (j₀=15°)

 40. 2.24341 egyenlitőben hossztartó ortogonális polikónikus

 41. 2.25049 közönséges  polikónikus

 42. 2.25520 Van der Grinten

 43. 2.30474 15°-os szélességen hossztartó ortogonális polikónikus

 44. 2.45792 Bonne (j₀=30°)

 45. 2.58278 pólusvon. közönséges  polikónikus d) (j₀=53°; l₀=45°; cp=2.12; ca=0.78)

 46. 2.70963 Bonne (j₀=45°)

 47. 2.87163 Bonne (j₀=60°)

 48. 2.93517 Bonne (j₀=75°)

 49. 2.94410 Bonne (j₀=90°) - Werner

 50. 3.21605 30°-os szélességen hossztartó ortogonális polikónikus

 51. 6.32917 August

 52. 6.74645 Területtartó polikónikus

Airy–James-kritérium értékei  a -60°j£+85° aszimmetrikus tartományon

  1. 0.25844 pólusvon. Aitoff a) (j₀=73°; l₀=90°; cp=2.69; ca=0.59)

  2. 0.27812 pólusvon. Aitoff b) (j₀=62°; l₀=69°; cp=2.20; ca=0.77)

  3. 0.28144 Winkel (j₀=50.47°)

  4. 0.28389 pólusvon. Apianus II. a) (j₀=61°; cp=2.05; ce=2.6)

  5. 0.28674 pólusvon. Mercator-Sanson a) (j₀=63°; cp=2.07; ce=2.31)

  6. 0.29283 CNIIGAIK polikónikus (1950)

  7. 0.30409 Winkel (j₀=40°)

  8. 0.30727 pólusvon. Apianus II. c) (j₀=43°; cp=1.95; ce=1.55)

  9. 0.30799 pólusvon. Hammer a) (j₀=68°; l₀=80°; ca=0.72; cp=2.47)

 10. 0.30884 pólusvon. Mercator-Sanson c) (j₀=44°; cp=1.95; ce=1.45)

 11. 0.30884 Loximutális b) (j₀=45°)

 12. 0.31008 pólusvon. Apianus II. b) (j₀=40°; cp=2.07; ce=2.8)

 13. 0.31794 Robinson

 14. 0.32116 pólusvon. Mercator-Sanson b) (j₀=40°; cp=2.10; ce=2.35)

 15. 0.32487 Kavrajszkij II.

 16. 0.33124 Eckert IV.

 17. 0.33195 Eckert V.

 18. 0.35181 Eckert III.

 19. 0.35244 Kavrajszkij I.

 20. 0.35386 Baranyi IV.

 21. 0.35893 Eckert VI.

 22. 0.37864 Lagrange

 23. 0.38436 pólusvon. Hammer b) (j₀=59°; l₀=80°; ca=1.0; cp=1.94)

 24. 0.38685 Mollweide

 25. 0.40267 Érdi-Krausz (j_h=60°)

 26. 0.40495 Loximutális (j₀=0°)

 27. 0.41471 Érdi-Krausz (j_h=70°)

 28. 0.41475 Apianus II.

 29. 0.41825 Loximutális c) (j₀=-45°)

 30. 0.43285 Hammer

 31. 0.46705 Aitoff

 32. 0.49566 Baranyi II.

 33. 0.52301 Mercator-Sanson

 34. 0.52903 Bonne (j₀=15°)

 35. 0.56189 Bonne (j₀=30°)

 36. 0.56474 Van der Grinten

 37. 0.60074 Bonne (j₀=45°)

 38. 0.62909 Bonne (j₀=60°)

 39. 0.64162 Bonne (j₀=75°)

 40. 0.64350 Bonne (j₀=90°) - Werner

 41. 0.68935 pólusvon. közönséges  polikónikus e) (j₀=80 fok; l₀=35 fok; cp=2; ca=1)

 42. 0.73069 pólusvon. közönséges  polikónikus a) (j₀=66°; l₀=62°; cp=2.7; ca=0.59)

 43. 0.73364 Területtartó polikónikus

 44. 0.76946 pólusvon. közönséges  polikónikus f) (j₀=70°; l₀=50°; cp=2; ca=0.85)

 45. 0.84482 pólusvon. közönséges  polikónikus c) (j₀=68°; l₀=47°; cp=1.82; ca=0.823)

 46. 0.86073 pólusvon. közönséges  polikónikus b) (j₀=68°; l₀=46°; cp=1.75; ca=0.85)

 47. 1.00248 egyenlitőben hossztartó ortogonális polikónikus

 48. 1.07089 15°-os szélességen hossztartó ortogonális polikónikus

 49. 1.12198 közönséges  polikónikus

 50. 1.22652 pólusvon. közönséges  polikónikus d) (j₀=53°; l₀=45°; cp=2.12; ca=0.78)

 51. 1.33164 30°-os szélességen hossztartó ortogonális polikónikus

 52. 1.36497 August

Az Airy–Kavrajszkij-kritérium értékei  a -60°j£+85° azimmetrikus tartományon

  1. 0.20512 pólusvon. Aitoff b) (j₀=62°; l₀=69°; cp=2.20; ca=0.77)

  2. 0.21206 pólusvon. Apianus II. c) (j₀=43°; cp=1.95; ce=1.55)

  3. 0.21386 pólusvon. Mercator-Sanson c) (j₀=44°; cp=1.95; ce=1.45)

  4. 0.22177 Kavrajszkij II.

  5. 0.23029 Winkel (j_h=40°)

  6. 0.23417 pólusvon. Apianus II. b) (j₀=40°; cp=2.07; ce=2.8)

  7. 0.23718 Winkel (j_h=50.47°)

  8. 0.23872 Robinson

  9. 0.24320 CNIIGAIK polikónikus (1950)

 10. 0.24504 Eckert III.

 11. 0.24508 Baranyi IV.

 12. 0.24778 Loximutális b) (j₀=45°)

 13. 0.25760 pólusvon. Mercator-Sanson b) (j₀=40°; cp=2.10; ce=2.35)

 14. 0.26398 Loximutális (j₀=0°)

 15. 0.26956 Eckert V.

 16. 0.27035 pólusvon. Aitoff a) (j₀=73°; l₀=90°; cp=2.69; ca=0.59)

 17. 0.27318 Loximutális c) (j₀=-45°)

 18. 0.28233 Eckert IV.

 19. 0.28552 Apianus II.

 20. 0.30226 pólusvon. közönséges  polikónikus d) (j₀=53°; l₀=45°; cp=2.12; ca=0.78)

 21. 0.31003 pólusvon. Apianus II. a) (j₀=61°; cp=2.05; ce=2.6)

 22. 0.31047 Érdi-Krausz (j_h=70°)

 23. 0.31066 Baranyi II.

 24. 0.31363 pólusvon. közönséges  polikónikus f) (j₀=70°; l₀=50°; cp=2; ca=0.85)

 25. 0.31524 Érdi-Krausz (j_h=60°)

 26. 0.31569 Kavrajszkij I.

 27. 0.31831 pólusvon. Hammer b) (j₀=59°; l₀=80°; ca=1.0; cp=1.94)

 28. 0.31842 pólusvon. Mercator-Sanson a) (j₀=63°; cp=2.07; ce=2.31)

 29. 0.32000 pólusvon. közönséges  polikónikus c) (j₀=68°; l₀=47°; cp=1.82; ca=0.823)

 30. 0.32199 Eckert VI.

 31. 0.32201 pólusvon. közönséges  polikónikus b) (j₀=68°; l₀=46°; cp=1.75; ca=0.85)

 32. 0.33190 pólusvon. közönséges  polikónikus a) (j₀=66°; l₀=62°; cp=2.7; ca=0.59)

 33. 0.33940 Mollweide

 34. 0.34315 Van der Grinten

 35. 0.34700 Aitoff

 36. 0.34711 pólusvon. Hammer a) (j₀=68°; l₀=80°; ca=0.72; cp=2.47)

 37. 0.38235 pólusvon. közönséges  polikónikus e) (j₀=80 fok; l₀=35 fok; cp=2; ca=1)

 38. 0.38535 Hammer

 39. 0.42027 Lagrange

 40. 0.44613 Mercator-Sanson

 41. 0.44985 Bonne (j₀=15°)

 42. 0.46967 Bonne (j₀=30°)

 43. 0.49495 Bonne (j₀=45°)

 44. 0.51514 Bonne (j₀=60°)

 45. 0.52484 Bonne (j₀=75°)

 46. 0.52636 Bonne (j₀=90°) - Werner

 47. 0.54882 egyenlitőben hossztartó ortogonális polikónikus

 48. 0.55494 közönséges  polikónikus

 49. 0.55532 15°-os szélességen hossztartó ortogonális polikónikus

 50. 0.55979 Területtartó polikónikus

 51. 0.59915 30°-os szélességen hossztartó ortogonális polikónikus

 52. 0.72678 August

KANDIDÁTUSI ÉRTEKEZÉS TÉZISEI

I. A kitűzött kutatási feladat

Értekezésem a geokartográfiai ábrázolás vetület-optimalizálási alapkérdéseivel és a Föld félgömbnyi vagy annál nagyobb kiterjedésű részének optimális ábrázolásával foglalkozik.

A gömbről vagy forgási ellipszoidról síkra való leképezésnél szükségszerűen fellépnek vetületi torzulások: a hosszak, szögek és/vagy területek, valamint egyéb földfelületi jellemzők torzulásai. E torzulások a térképhasználatot mind a mérés, mind a szemléltetés tekintetében zavarják. A térképhasználat jellegétől illetve a tematikától függően más és más torzulás lehet kritikus. Optimális torzulásúnak akkor nevezhetünk egy vetületet, ha e kritikus torzulások a lehető legkisebbek.

A geokartográfiai térképek vetületének kiválasztásánál alapvető törekvés az ábrázolás témájára nézve leghátrányosabb torzulások kiküszöbölése illetve lehetőség szerinti csökkentése. A kiválasztásban szerepet játszik még az ábrázolandó tartomány alakja és nagysága, továbbá elhelyezkedése a Földön, a térképlap megszabott alakja és nagysága, végül előírás vagy hagyományok, sőt a megcsontosodott térképszerkesztői gyakorlat.

A szakszerű vetületválasztás menete három lépésben foglalható össze:

- a szükséges vetületi jelleg és a torzulási kívánalmak meghatározása;

- torzulási optimalizálás: olyan vetület kiválasztása, melynél a kritikus torzulások mértéke és eloszlása a lehető legelőnyösebb;

- fokhálózat—elforgatási transzformáció: az ábrázolandó terület áthelyezése a vetületi hálózat torzulási tekintetben legkedvezőbb részére.

Közülük az értekezésben a torzulási optimalizálással foglalkoztam, ismertnek tételezve fel és részben felhasználva a másik két jobban kutatott és feltárt téma alapvető eredményeit.

A torzulási optimalizálás elméletének első gondolatai több mint száz éves múltra tekintenek vissza. A számításigényesség miatt azonban az elképzelések nem kerültek be a kartográfiai gyakorlatba, ami gátlólag hatott vissza az elmélet további fejlődésére. A számítástechnika segítségével lehetővé válik a torzulások tömeges kvantitatív kiértékelése és ezek alapján a vetületek torzulási szempontú rangsorolása, az optimális vetület kiválasztása. Az elméleti eredmények térképszerkesztői alkalmazása is könnyebbé válik, amennyiben a számítógép megkönnyíti a korábbiaknál bonyolultabb vetületek használatát, és képernyős vagy rajzgépes megjelenítéssel meggyorsítja a lehetséges alternatívák áttekintését. Ez a fejlődés és az ezredvég globális szemléletének (katonai, gazdasági) igénye tűzte ismét napirendre a vetület—optimalizálás elméleti és gyakorlati kérdéseinek vizsgálatát.

Az értekezés célkitűzése az eddigiek alapján kettős: egyrészt az elméleti háttér, a vetület—optimalizálás alapkérdéseinek tisztázása, másrészt a Föld félgömbnyi vagy nagyobb részének ábrázolására optimális torzulású vetületek meghatározása. Vizsgálataimnak részletesebben az alábbi céljai voltak:

- összefoglalni és rendszerezni a torzulás lokális és globális jellemzésének módszereit;

- rámutatni a torzulási mérőszámok tulajdonságaira és az ezek közötti összefüggésekre, továbbá utalni e módszerek gyakorlati alkalmazhatóságára;

- meghatározni az optimális valódi sík— és hengervetületeket félgömbnyi vagy nagyobb ábrázolandó területet magába foglaló gömbsüvegek és gömbövek esetére;

- a gyakorlatban alkalmazott képzetes vetületeket rangsorolni a teljes torzulásuk alapján.

II. A vizsgálati módszerek

A vetület torzulási optimalizálásának alapkérdése a következőképpen tehető fel: ha ugyanazt a területet több különböző vetületben ábrázoljuk, hogyan dönthető el egyértelmű módon, hogy torzulási vonatkozásban melyik a jobb?

Mescsarjakov nyomán haladva a következő módon adható szabatos válasz:

- ki kell jelölni a számunkra lényeges, vagyis a tematika szempontjából különösen hátrányos torzulást (pl. hossz—, szög—, terület—, stb.);

- ennek a torzulásnak a nagyságát meg kell határozni az ábrázolt terület minél több pontjára;

- ezeket a torzulási mennyiségeket ki kell értékelni, melyre két módszer ismeretes:

a) minimax eljárás esetén azt a vetületet tekintjük legjobbnak, melynél a torzulási mennyiségek maximuma minimális; többnyire nagyméretarányú, közvetlen mérésekre is használt térképeknél használják;

b) variációs eljárás esetén azt a vetületet tekintjük legjobbnak, melynél a torzulási mennyiségek átlaga minimális; főleg a Föld jelentős részét ábrázoló és ezért nagyobb torzulásokkal terhelt, kisméretarányú térképeknél használatos.

Értekezésem fő módszere a kitűzött kutatási feladatnak megfelelően a variációs eljárás, amelynek értelmező megfogalmazása az alábbi módon adható meg. Az ábrázolandó T tartomány minden egyes pontjában kiszámítjuk az e² ún. lokális torzulási mérőszámot (mely tükrözi a minimalizálandó torzulás nagyságát); ezeknek a T tartományon vett integrálja osztva a T tartomány m(T) nagyságával adja az E² ún. átlagos vagy globális torzulási mérőszámot:

Optimális torzulásúnak azt a vetületet tekintjük, melynél E² minimálisnak adódik. Ha az összes elméletileg létező vetület közül választjuk ki a minimumot, akkor kapjuk az ún. ideális vetületet; ha egy körülhatárolt vetületcsoportból választjuk ki a minimumot, akkor kapjuk az ún. legjobb térképészeti vetületet. A bonyolult ideális vetület helyett a valódi henger- és síkvetületek körében a legjobb térképészeti vetületet határoztuk meg.

A hengervetületek esetén megoldandó variációs feladat:

Az alapfüggvény tehát nem függ az y=y(j) vetületi egyenlettől, csak j-től és y'-től.

A síkvetületek esetén a variációs feladat az alábbi:

(ahol b_max az ábrázolandó gömbsüveg maximális pólustávolsága).

Ez az alapfüggvény tehát b—n kívül a q=q(b) sugárfüggvénytől és ennek q' deriváltjától is függ.

A fenti variációs feladatok megoldását szolgáltató optimális hengervetületek y=y(j) vetületi egyenleteit, a síkvetületek sugárfüggvényeit a megszokotthoz hasonló polinom alakban állítottuk elő direkt módszerrel, ahol az együtthatókra vonatkozó nemlineáris egyenletrendszereket az általánosított Newton—Raphson módszer alapján oldottuk meg. Egy síkvetület esetében a Runge—Kutta eljárásból származó értékekhez illesztettünk polinomot.

A képzetes vetületeknél más megközelítést alkalmaztunk: Frančula nyomán a variációs feladat megoldása helyett az ismert vetületekre kiszámított globális torzulási mérőszámokat hasonlítottuk össze és ezek alapján rangsoroltuk őket, majd a különböző kritériumokból adódó rangsorokat statisztikailag vizsgáltuk.

A T tartomány rendszerint foktrapéz volt, a torzulási sajátosságokra és a gyakorlatra tekintettel speciálisan:

- valódi hengervetület esetében olyan gömböv, melynek határoló segédszélessége ±40°, ±60° és ±85°;

- valódi síkvetület esetében olyan gömbsüveg, melynek határoló segédpólustávolsága 90°, 108° vagy 126°;

- képzetes vetületek esetében olyan gömböv, melyet vagy a ±85° szélességek, vagy a —60° és +85⁰ szélességek határolnak.

III. A tudományos eredmények összefoglalása

1. Összefüggéseket mutattam ki a hossztorzulási és teljes torzulási mérőszámok körében. Ezek alapján a lokális torzulási mérőszámokat — a korábbi szakirodalomból ismert felsorolásokon túllépve — a vetületi torzulásokhoz illő rendszerbe foglaltam, és ehhez a szükséges pontokon új mérőszámokat vezettem be. Ilyenek a 7., 8., 9., 16., 18., 19. és 20. ábrán bemutatott mérőszámok. Megállapítottam, hogy az Airy-féle mérőszám módosított változata a teljes torzulási mérőszámok tulajdonságainak felderítésénél fontos szerepet játszik. A lokális torzulási értékek eloszlását jól szemlélteti a nomogramos ábrázolás.

2. Az általam kidolgozott rendszer egyben a globális torzulási mérőszámok rendszerbe foglalását is megadja. Ezt egészítik ki a globális teljes torzulás kritériumainak tulajdonságai, és mellékesen az ortodróma hossztorzulási viszonyával kapcsolatos néhány képlet.

3. Megállapítottam, hogy világtérképek esetén az Airy—Kavrajszkij- és a módosított (esetleg az eredeti) Airy- kritérium alkalmazandó. Az Airy—James-kritérium csak a vetület izodeformációs övénél használható. A globális alaktorzulások minimalizálásánál a Kavrajszkij-tipusú ortogonalizált mérőszámot ajánlom.

4. Az optimális hengervetületek két alaptípusát mutattam ki:

- a minimális átlagos hossztorzulásúaknál: a meridiánmenti hossztorzulás az egyenlítőnél a legnagyobb, innen a sarkok felé haladva egyre erősebben csökken, vagyis a szélességi körök a sarkok felé haladva sűrűsödnek;

- a minimális átlagos teljes torzulásúaknál: az optimum többnyire a meridiánban hossztartó vetület.

5. Az optimális síkvetületeket is két alaptípusba soroltam:

- a minimális átlagos hossztorzulásúaknál: a vetületi kezdőpont torzulásmentes, innen kifelé haladva csökken a meridián menti hossztorzulás (vagyis hasonlóan pl. a Lambert féle síkvetülethez a szélességi körök kifelé haladva sűrűsödnek), de a területnagyobbodás kifelé haladva nő;

- a minimális átlagos teljes torzulásúaknál: a vetületi kezdőpontban hosszrövidülés és területcsökkenés lép fel, innen kifelé haladva fokozatosan nő mind a területtorzulás, mind a meridián menti hossztorzulás (vagyis hasonlóan pl. a sztereografikus síkvetülethez, a szélességi körök kifelé haladva ritkulnak), a meridián menti hossztorzulás a határoló parallelkörön veszi fel az egységet.

6. A képzetes vetületek összesen 52 változatának vizsgálata alapján az alábbi következtetéseket vontam le:

- a rangsorok elején többnyire általános torzulású vetületek állnak;

- a rangsorok elején többnyire átszámozott fokhálózatú vetületek állnak;

- a tematikából adódó egyéb szempont híján a legjobbnak Aitoff átszámozott vetületei, Winkel vetületei és a CNIIGAiK50 polikónikus vetület bizonyultak. Kedvező értékelést kapott Baranyi IV. vetülete is.

IV. Az értekezés témaköréből publikált munkáim

- Klinghammer I. — Györffy J.: "Matematikai statisztikai módszerek térképészek számára."

ELTE TTK segédkönyv, Budapest 1973. 96 o.

- Stegena L. — Györffy J.: "Vetülettan."

ELTE TTK jegyzet. Tankönyvkiadó, Budapest 1975. 82 o.

- Klinghammer I. — Györffy J.: "Zur Wahl der Kartennetzentwürfe für thematische Weltatlanten."

In: Zum Problem der thematischen Weltatlanten, Gotha 1988. 90.100. o.

- Csillag F. — Draskovits Zs. — Györffy J. — Klinghammer I. --- Mélykúti G. — Nyíry G. — Pergel I. — Siklósi M. (szerk.: Klinghammer I.): "Digitális térképi adatok átviteli szabványa."                       In: Studia Cartologica 11. kötet, Budapest 1989. 52 o.

- Baranyi J. — Györffy J.: "New Form—True Projections in Hungarian Atlases."                                    In: Hungarian Cartographical Studies, Budapest 1989. 75.-85.o.

- Györffy J.: "Anmerkungen zur Frage der besten echten Zylinderabbildungen."

In: Kartographische Nachrichten (Kirschbaum Verlag Bonn) XL. évf. 1990/4.sz. 140.-146.o.

- Baranyi J. — Györffy J.: "A Föld újszerű ábrázolásai a mai magyar atlaszokban."

In: Földrajzi Közlemények (Földrajzi Társaság, Bp.) CXIV. OUCXVIII.) kötet 199013-4.sz. 109-117.o.

- Draskovits Zs. — Györffy J. — Pergel I.: "Digital Map Standards and CAD—CAM Standards."

In: CAMP'91 Conference Proceedings, Budapest 1991. 342.-348.o.

- Györffy J.: "CAD—Cartography and Map Projections."

In: CAMP'93 Conference Proceedings, Budapest 1993. 233.-237.o.