A világtérképek vetülete – a XX. század elejére kialakult hagyományoknak megfelelõen, amelyek a torzulások mérlegelésén, az övezetes földrajzi jelenségek kihangsúlyozásán, szemléletességi és esztétikai követelményeken alapultak – többnyire képzetes hengervetület. A térképészet története folyamán igen sok képzetes hengervetület keletkezett, az ezek közötti minõsítés és válogatás a fenti szempontok alapján történik, különös tekintettel a torzulási viszonyokra.

A szélességi köröket párhuzamos egyenesként megjelenítõ képzetes hengervetületek között az ábrázolt témától függõen mind területtartó, mind általános torzulású változatok elõfordulnak, de a korábban domináns területtartó vetületekkel szemben napjainkban – a kontinensek alakjának kisebb torzulása miatt – az általános torzulású vetületek kerülnek elõtérbe. A pólust, ahol a torzulások egy része végtelen naggyá válik, a képzetes hengervetület vagy egy pontra, vagy egy egyenes szakaszra (az úgynevezett pólusvonalra) képezi le. A póluspontos változat általában szemléletesebb és esztétikusabb; a pólusvonalas változat megértése absztrakciós képességet kíván, viszont a pólusvonal környékén a torzulások csökkenthetõk.

Egy - az egész Földet mind az x, mind pedig az y tengelyre nézve szimmetrikusan ábrázoló - térkép vetületét akkor tekintjük egy bizonyos torzulás szempontjából legjobbnak, ha az adott torzulást, pontosabban torzultságot jellemzõ mérõszámnak a –85° és 85° szélességi körök közé esõ területen (azaz a pólusok környékétõl eltekintve az egész Földön) számított átlaga a lehetõ legkisebb. Esetünkben – vagyis az általános torzulású vetületek körében – az ún. teljes torzultság ² lokális mérõszámainak átlagát kell minimálissá tenni. Ezek a torzultsági mérõszámok (ld. [4]) az adott pontban fellépõ maximális a és minimális b hossztorzulás függvényei:

(Airy, James és Clarke mérõszáma [1] és [6] alapján)

(Airy eredeti mérõszáma a [1] alapján)

(Airy módosított mérõszáma [5] alapján)

(Airy-Kavrajszkij féle mérõszám [7] alapján)

(A szakirodalomban elõfordul, hogy és fenti kifejezésében is szerepel a 0.5-ös szorzó, másrészt a másik két mérõszámban a 0.5-ös szorzót néha elhagyják.)

Az a és b extremális hossztorzulásokat a fokhálózatmenti torzulásokból: a h parallelkörmenti és k meridiánmenti hossztorzulásból, valamint a fokhálózati vonalak által bezárt szögbõl számítjuk az

és képletekkel. Legyenek y=y(j ) és x=x(j ,l ) a képzetes hengervetület egyenletei; ezekbõl a fokhálózatmenti torzulások a

, és

képletekbõl számíthatók minden koordinátájú pontban (ld. [12]). (A továbbiakban tetszõleges fokban megadott x szög radiánban megadott értékét arcx -vel jelöljük.)

Az egész Földre az átlagos teljes torzultság (globális) ² mérõszámát az

felületi integrálból vont négyzetgyök adja, ahol a - 85° és 85° szélességi körök közé esõ gömböv (ld. [4]), m (T) pedig e gömböv felszíne az egység sugarúnak tekintett gömbön. Minthogy e ² a-n és b-n keresztül j -tõl és l -tól függ, az alábbi alakban írható fel:

A fenti e ² mérõszámok alapján így kapjuk az E_AJ (Airy-James-Clarke féle), az E_Ae (Airy eredeti), az E_Am (Airy módosított) és az E_AK (Airy-Kavrajszkij féle) torzultsági kritériumokat. Általános torzulású vetületeket tehát a teljes torzultság szempontjából úgy hasonlíthatunk össze, hogy valamelyik kritérium-értékét minden összehasonlítandó vetületre kiszámítjuk, és a kisebb kritérium-értékû vetületet tekintjük jobbnak. Legjobbnak ("optimálisnak") azt a vetületet nevezzük, amelynek kritérium-értéke a vizsgált vetület-halmazon belül a legkisebb (ld. [10], [4]).

A pólusvonalas képzetes hengervetületeknek a meridiánvonalak jellegétõl független, matematikai szempontú osztályozását a vetületi egyenletek alapján végezzük, éspedig a valódi hengervetületekbõl kiindulva. Az osztályozás elsõdleges szempontja az x=x(j ,l ) vetületi egyenlet, mivel döntõen ez adja meg a vetület jellegét megszabó kontúrvonalat. (Az y=y(j ) a kontúrt csak kis mértékben befolyásolja.)

A valódi hengervetületeknél az x vetületi egyenlet csak l -tól függ, ezért a parallelkörök képei mind egyenlõ hosszúságúak: hosszuk x=arcl esetén a hossztartó egyenlítõ hosszával, (c<1) esetén pedig két hossztartó parallelkör hosszával egyenlõ. A képzetes hengervetületeknél az x vetületi egyenlet l -n kívül j -tõl is függ:

• A legegyszerûbb típusú képzetes hengervetület x vetületi egyenlete alakú, ahol c(j ) páros függvény. A parallelkörök ebben az esetben ekvidisztánsak. Ez a legelterjedtebb vetülettípus, ide sorolhatók pl. Eckert, Mollweide, Kavrajszkij vetületei, valamint Baranyi II. vetülete (ld. [12], [2]).
• Ennél bonyolultabb típus az, ahol alakú, vagyis felírható egy páros c(j ) függvény és egy páratlan f(l ) függvény szorzataként. Ezeknél a meridiánok minden parallelkört ugyanolyan arányban bontják fel részekre. A gyakorlatban használt vetületek közül Baranyi IV. vetülete tartozik ide.
• A legáltalánosabb esetben az x=x(j ,l ) tetszõleges j -ben páros, l -ban páratlan függvény. Itt a parallelköröket a meridiánok tetszõlegesen változó arányban osztják fel.

A y=y(j ) vetületi egyenlet jellege képezi a képzetes hengervetületek másodlagos osztályozási szempontját:

• A legegyszerûbb alakban y=arcj (vagyis a középmeridián hossztartó).
• A következõ lépésben bevezetve a d paramétert, kapjuk a lineáris y=d× arcj alakot. (Itt a középmeridián mentén a hossztorzulás értéke d, tehát a középmeridián ekvidisztáns.)
• y=y(j ) j -ben páratlan, nemlineáris függvény.

A legjobb képzetes hengervetületeket az x=x(j ,l ) vetületi egyenlet fenti csoportjaihoz határoztuk meg, és minden csoporton belül vizsgáltuk az y=y(j ) függvény szerint képzett alcsoportokhoz tartozó vetületeket. Az x=x(j ,l ) alkotó függvényeit, valamint az y=y(j ) függvényt j illetve l polinomjaival közelítettük, éspedig y-t j -ben páratlan kitevõs, x alkotó függvényeit pedig j -ben páros, l -ban páratlan kitevõs hatványokat tartalmazó polinomokkal. A tapasztalat szerint az egész Földet ábrázoló legjobb képzetes hengervetületeknél 3 együtthatós polinom minden függvényhez elegendõ pontosságú közelítést eredményezett, sõt a harmadik tag figyelembevételére sem mindig volt szükség.

A számításokhoz a gömbfelület –85° és 85° szélesség közötti részét 1°-os fokhálózattal bontottuk fel, majd a fokhálózati metszéspontokban kiszámoltuk a h parallelkör menti és a k meridián menti hossztorzulásokat, valamint a q térképi fokhálózati szög kotangensét, ezekbõl pedig az a és b extremális hossztorzulásokat a fentiekben megadott képletek segítségével. Végül a lokális teljes torzultság e ² =e ²(a,b) mérõszámainak a fokhálózati metszéspontokra kiszámított értékeket a kétváltozós Simpson formulával (ld. [8]) összegezve és az alapfelületi felszínnel osztva kapjuk az átlagos torzultság E_AJ, E_Ae, E_Am és E_AK kritériumok értékeit.

Látható, hogy a E mennyiségek az integrált e ² =e ²(a,b) mennyiségeken keresztül függnek a vetületi egyenletekben szereplõ együtthatóktól. A minimális E értékeket szolgáltató együttható-értékeket a variációszámítás direkt módszerével, a “szimplex módszer” nevû közelítõ minimalizáló eljárás segítségével határoztuk meg (ld. [9], [11]).

A valódi, majd a képzetes hengervetületek x=x(j ,l ) szerint definiált osztályaiban és y=y(j ) szerinti alosztályaiban az itt következõ eredményeket kaptuk.

x=arcl esetén , a fokhálózat merõlegessége miatt ctgq =0. A variációszámítás egyszerû alkalmazásával kimutatható (ld. [5]), hogy mind a négy vizsgált kritérium szerinti legjobb valódi hengervetület meridiánban hossztartó. Az y vetületi egyenlet tehát ebben az esetben mindig y=arcj alakú, vagyis k=1.

A kritériumok értékei:

1. táblázat

(h³ k, emiatt itt E_Ae=E_Am).

x=c× arcl (c< 1) esetén két hossztartó parallelkör van (± j _n); és ctgq =0. Ekkor az E_AJ, E_Am és E_AK kritériumok szerinti legjobb hengervetület továbbra is meridiánban hossztartó (vagyis y=arcj és k=1), azonban a hossztartó parallelkörök optimális helyzete kritériumonként különbözik. Más a helyzet az E_Ae szerinti legjobb hengervetülettel. Ha itt is a meridiánban hossztartó (k=1) változattal számolunk, akkor az eredmények az alábbi táblázatban foglalhatók össze:

2. táblázat

Az E_Ae értéke azonban csökkenthetõ, ha az y-t háromparaméteres, ötödfokú polinomnak tekintjük (y=y_1× arcj +y_2× arc^3j +y_3× arc^5j ). Direkt módszerrel ekkor a következõ eredményt kapjuk:

E_Ae=0,78361 , c=0,46021 (j _n =62,60°)

y₁=0,51700 , y_2× =0,17995 , y₃=- 0,02942

A variációszámításból ismert Euler–Lagrange féle differenciálegyenlettel (ld. [9]) kimutatható, hogy az E_Ae kritérium szerinti legjobb, két parallelkörben hossztartó valódi hengervetület a normálparallelkörökön kívül meridiánban hossztartó, azok között viszont az y vetületi egyenletet az

képlet adja meg, ahol sign(j ) a földrajzi szélesség elõjelét jelenti (melyet az É-i félgömbön tekintünk pozitívnak). Ha az egész Földet akarjuk ábrázolni, akkor a q_ij (i,j=1,…,8) értékeket a 3. táblázat szerint kell megadni, és normálparallelkörnek a ± 62.8° szélesség választandó. Ekkor E_Ae=0,78267, és a valódi hengervetületek körében ez a kritérium-érték tovább már nem csökkenthetõ (ld. [5]).

3. táblázat

A Föld képe az E_Ae kritérium szerinti legjobb valódi hengervetületben az 1. ábrán látható.

Az x=c(j )× arcl vetületi egyenlettel leírt legegyszerûbb típusú képzetes hengervetületnél a

c(j ) függvényt c₁ +c_2× arc^2j +c_3× arc^4j alakú polinommal közelítjük:

(A polinom fokszámának növelése az E értékét elenyészõ, 0.01%-nál kisebb mértékben csökkentené.) Ekkor a fokhálózat menti torzulások:

ahol értéke a közelítõ y=y(j ) polinom fokszámától függ:

• y=arcj esetén ;
• y=d× arcj esetén ;
• y=y_1× arcj +y_2× arc^3j +y_3× arc^5j esetén

Meghatároztuk az optimális vetületi paramétereket y=arcj , valamint elsõ-, harmad- és ötödfokú közelítõ polinom esetében. Hasonlítsuk össze az y=arcj (4. táblázat) és y=y_1× arcj +y_2× arc^3j +y_3× arc^5j (5. táblázat) által szolgáltatott eredményeket az E kritériumok értékei alapján.

4. táblázat

5. táblázat

Látható, hogy az E_AJ és az E_AK kritériumok tekintetében csak igen csekély, 0.01% körüli csökkenés érhetõ el az y fokszámának emelésével. Az E_Am valamivel nagyobb mértékben, 0.7%-kal csökkent. Következésképpen az E_AJ és E_AK szerinti legjobb, ekvidisztáns képzetes hengervetületet célszerû középmeridiánban hossztartónak tekinteni, sõt még az E_Am szerinti legjobb, ekvidisztáns képzetes hengervetülethez is elfogadható közelítés az y=arcj .

Igen jelentõs mértékben: 7%-kal csökkenthetõ viszont E_Ae az ötödfokú y bevezetésével, ami a középmeridián menti hossztorzulás változó voltát mutatja. A középmeridián tehát itt nem ekvidisztáns, az osztásközök az egyenlítõtõl a pólusok felé haladva a ± 71,86° szélességig fokozatosan nõnek, onnan a pólusokig kissé csökkennek.

A Föld képe az E_AK kritérium szerint legjobb, ekvidisztáns parallelkörû pólusvonalas képzetes hengervetületben a 2. ábrán látható.

Ismeretes (ld. [12]), hogy képzetes hengervetületeknél a t területi modulus az alábbi alakban számítható:

Tekintsünk most egy területtartó (t =1) képzetes hengervetületet. Ekkor fennáll a

egyenlet, ahonnan következik. Vagyis csak a j szélesség függvénye, tehát az x=x(j ,l ) vetületi egyenlet l -nak lineáris függvénye. Ebbõl adódóan a területtartó képzetes hengervetületek parallelkörei mindig ekvidisztánsak.

Az állítás fordítva természetesen nem igaz, azaz egy ekvidisztáns parallelkörû képzetes hengervetület nem feltétlenül területtartó (ld. pl. Eckert III. és V. vetületét). Ha viszont egy ekvidisztáns parallelkörû képzetes hengervetület az egész Földfelületet egy vele megegyezõ területû síkidomra képezi le, akkor a szélességi körök átszámozásával ("módosított földrajzi szélesség" bevezetésével) a vetület mindig területtartóvá alakítható. Ez a transzformáció a meridiánokat (és ezzel a kontúrvonalat) nem változtatja meg, viszont megváltozhat a parallelköröknek az egyenlítõtõl vett távolsága.

Tegyük fel, hogy egy középmeridiánban hossztartó, parallelkörökben ekvidisztáns képzetes hengervetület y=arcj és x=x(j ,l ) egyenleteit egy alkalmasan megválasztott d arányossági tényezõvel beszorozva, az egész Föld képére vonatkozó területegyenlõség már fennáll. Alkalmazzuk erre a vetületre a y (j ) szélesség-átszámozást ( y=arcy és x=x(y ,l ) ) úgy, hogy minden - az ellipszis és a j szélességi kör által határolt - gömböv 2× p × sinj felszíne legyen egyenlõ a megfelelõ térképi idom területével. Képletben ez az alábbiakat jelenti (ld. 3. ábra):

(Megjegyzendõ, hogy ebbõl a alakú egyenlet által meghatározott y (j ) implicit szélesség-átszámozási függvénybõl a y nem mindig fejezhetõ ki.) Az átszámozott

d× arcy és d× x(y ,l ) egyenletekkel meghatározott vetület már területtartó, mert (felhasználva az implicit függvény deriválására vonatkozó formulát):

=

.

(Ha a parallelkörökben ekvidisztáns képzetes hengervetületben a középmeridián nem hossztartó, akkor elõször vezessük be a z =z ( j ) módosított szélességet a

képlet segítségével. Az átszámozott y=y(z ) a z -ra nézve hossztartó; most már alkalmazhatunk egy újabb, y (z ) átszámozást y=y(z ) -ra a fenti y (j ) átszámozás mintájára. A két egymás utáni átszámozás és az esetleges d-szeres hasonlósági transzformáció együttes alkalmazásával tehát területtartó vetülethez jutunk.)

A fenti gondolatmenetet követve, készítsünk a szélességi körök átszámozásával területtartó képzetes hengervetületet pl. az E_Am kritérium szerinti legjobb képzetes hengervetületbõl, melynek parallelkörei ekvidisztánsak, középmeridiánját pedig hossztartónak tekintjük. Elõször is határozzuk meg a hasonlósági transzformáció d konstansának értékét, melynek négyzete a gömb felszínének és a teljes Föld képét megadó síkidom területének hányadosa:

A y (j ) szélesség-átszámozási függvényt meghatározó egyenletet az egyenlítõ által határolt gömböveknek ugyanakkora területû síkidomra való leképezése adja:

vagyis

A 4. ábrán az E_AK kritérium szerinti legjobb, ekvidisztáns parallelkörû pólusvonalas képzetes hengervetületbõl származtatott területtartó vetület látható.

Az x=c(j )× f(l ) vetületi egyenlettel leírt képzetes hengervetületnél a c(j ) függvényt c₁+c_2× arc^2j +c_3× arc^4j alakú polinommal, az f(l ) függvényt a arcl +f_1× arc^3l polinommal közelítjük:

Ebben a vetületosztályban az ekvidisztáns vetületekhez képest az E kritériumok értéke csak szerény mértékben csökkenthetõ tovább. Általánosan elmondható, hogy itt a meridiánban hossztartó közelítést már nem tekintjük elég pontosnak, az y vetületi egyenletet harmad- vagy ötödfokú polinommal közelítjük: y=y_1× arcj +y_2× arc^3j (+y_3× arc^5j ) . A fokhálózat menti torzulások:

Az egyes kritériumok szerinti legjobb képzetes hengervetületek paramétereit az alábbi táblázat tartalmazza:

6. táblázat

A parallelkörök mentén az osztásközök a középmeridiántól távolodva kissé növekednek, a határoló meridiánnál mintegy 13–14%-kal nagyobbak, mint a középmeridiánnál. Ez ellentétben van a Baranyi IV. vetületénél tapasztalható osztásköz-csökkenéssel.

Az E_AJ kritérium szerinti legjobb pólusvonalas képzetes hengervetület ugyanolyan arányban felosztott parallelkörökkel az 5. ábrán látható.

A legjobb képzetes hengervetületeknél megengedjük a parallelkörök tetszõleges arányban való felosztását. Ezek vetületi egyenletét j -ben páros, l -ban páratlan kitevõs polinommal közelítjük:

Ekkor

Kiszámítottuk ebben a vetületosztályban is a legkisebb átlagos hibát eredményezõ vetületi együtthatókat y=arcj , majd elsõ-, harmad- és ötödfokú közelítõ polinom választása esetén. Hasonlítsuk össze itt is az y=arcj (7. táblázat) és y=y_1× arcj +y_2× arc^3j +y_3× arc^5j (8. táblázat) által szolgáltatott eredményeket az E kritériumok értékei alapján.

7. táblázat

8. táblázat

Az E értékek az V. vetületosztályhoz képest több %-kal tovább csökkentek. Az E_AJ és E_AK kritérium-értékek fokszámának növelésével érdemben nem javultak, viszont E_AJ és E_AK 8.táblázatban szereplõ értékei lényegesen kedvezõbbek, mint a 7. táblázat-beliek. Ezért - hasonlóan a III. osztály vetületeihez - az E_AJ és E_AK szerinti legjobb képzetes hengervetületet meridiánban hossztartó vetületnek tekintjük.

A 6. ábra mutatja a Föld képét az E_Am kritérium szerinti, a 7. ábra az E_AK kritérium szerinti legjobb pólusvonalas képzetes hengervetületben. Az egyenlítõ mentén az osztásközök a középmeridiántól távolodva kissé növekszenek, a pólusvonalnál viszont erõsen csökkennek. Hasonló osztásköz-struktúra mutatkozik a többi kritérium szerinti legjobb pólusvonalas képzetes hengervetületeknél is.

A négy különbözõ átlagos teljes torzultsági kritérium (E_AJ , E_Ae , E_Am és E_AK) segítségével folytatott vizsgálat eredményei lehetõséget adnak általános következtetések levonására, de a kapott térképek kritériumonként lényeges különbségeket mutatnak. A korábbi vizsgálatok (ld. [4], [5]) eredményeivel egybecsengõen megállapítható, hogy leginkább az E_Am és E_AK kritérium szerinti legjobb vetületek állnak összhangban a szemlélettel, az esztétikai érzékkel és a hagyományokkal, míg ez legkevésbé az E_AJ kritérium szerinti legjobb vetületekre mondható el. Ez is alátámasztja azt a megállapítást, hogy az utóbbi kritérium nagy kiterjedésû területek ábrázolásának torzulási vizsgálatára nem igazán alkalmas.

A legjobb pólusvonalas képzetes hengervetületek átlagos teljes torzultsága lényegesen kisebb, mint a valódi hengervetületeké.

A legjobb pólusvonalas képzetes hengervetületek parallelkörei a fentiekben leírt módon változó felosztásúak. Az x vetületi egyenlethez négy együtthatót választva, az optimális vetületeknek kielégítõen pontos közelítését kapjuk.

A legjobb pólusvonalas képzetes hengervetületekre az E_AJ és E_AK kritérium esetében a meridiánban hossztartó (y=arcj ) változat már elegendõen pontos közelítést ad, viszont elsõsorban az E_Ae kritériumnál (és kisebb mértékben az E_Am kritériumnál) az y fokszámának növelésével az átlagos torzultság még számottevõen csökkenthetõ.

[7] 7 " & D " 6 F 8 4 6 ,ñ % .ñ % .:ñ 3 2 $ D " > > Z , ñ H D J * Z ñ ' E I % ; K ,ñ ; @ F 8 & " ñ 1958.

[9] Kósa A.: Variációszámítás. Tankönyvkiadó, Budapest 1970.

[12] Stegena L.: Vetülettan. Tankönyvkiadó, Budapest 1988.

The minimum mean overall error projections were prepared in some groups of pseudocylindrical projections with pole lines. These groups were formed on the grounds of the mapping equation x=x(j ,l ):

• x=c× arcl (cylindrical projection);
• x=c(j )× arcl , where c(j ) is even function (i.e. the parallels are equidistant)
• x=c(j )× f(l ) , where c(j ) is even function, f(l ) is odd function (i.e. the meridians divide all parallels into the same proportions)
• x=x(j ,l ) even function of j and odd function of l (i.e. the meridians space parallels into arbitrary proportions);

In all groups subgroups were formed on the grounds of the mapping equation y=y(j ):

• y=arcj (i.e. scale is true along the central meridian);
• y=d@ arcj (i.e. the central meridian is equidistant);
• y=y(j ) is odd function.

The constituent functions of the mapping equations were approximated by polynomials, and their coefficients giving minimal values of the studied mean overall error criteria (original Airy, Airy-Kavrayskiy, etc.) were computed by the multidimensional downhill simplex method.

The results of the examination:

• The different error criteria effected diverse projections; the projections derived from the criteria of Airy-Kavrayskiy and modified one of Airy correspond most of all to the geographical approach, aesthetic sense and cartographical traditions.
• The error in general significantly decreases in order of the above groups according to the mapping equation x=x(j ,l ), especially between the groups of cylindrical projections and pseudocylindrical ones with equidistant parallels, and by the last group (with into arbitrary proportions spaced parallels). Conversely, the error can be only decreased slightly by stepping up the grade of the polynomials approximating mapping equation y=y(j ).
• Both the best pseudocylindrical pojections with equidistant parallels and with arbitrarily spaced parallels are substantially more favourable from the point of view of the mean error than the traditional pseudocylindrical projections, and therefore they can be definitely recommended for representing the whole Earth.

Az átlagos torzultságok szerinti legjobb vetületeket határoztuk meg a pólusvonalas képzetes hengervetületek alábbi csoportjaira, melyeket a vetületi egyenletek alapján alakítottunk ki:

• x=c× arcl (valódi hengervetület);
• x=c(j )× arcl , ahol c(j ) páros függvény (a szélességi körök ekvidisztánsak);
• x=c(j )× f(l ) , ahol c(j ) páros, f(l ) páratlan függvény (a meridiánok minden szélességi kört ugyanolyan arányban osztják fel);
• x=x(j ,l ) j -ben páros, l -ban páratlan függvény (a meridiánok a szélességi köröket tetszõlegesen változó arányban osztják fel);

Minden egyes csoporton belül alcsoportokat képeztünk az y=y(j ) vetületi egyenlet alapján:

• y=arcj (vagyis a középmeridián hossztartó);
• y=d@ arcj (vagyis a középmeridián ekvidisztáns);
• y=y(j ) j -ben páratlan függvény.

A vetületi egyenletek alkotó függvényeit polinomokkal közelítettük, és a többváltozós szimplex módszer nevû minimalizáló eljárással határoztuk meg azokat az együttható értékeket, amelyek a vizsgált átlagos teljes torzultsági hiba-kritériumokra (eredeti Airy, Airy-Kavrajszkij, stb.) a minimális értékeket adták.

A vizsgálatok eredményei:

• A különbözõ torzultsági kritériumok eltérõ vetületeket eredményeztek; a földrajzi szemlélettel, az esztétikai érzékkel és a térképészeti hagyományokkal az Airy- Kavrajszkij és a módosított Airy kritériumból származó vetületek állnak összhangban.
• Az x vetületi egyenlet szerinti csoportok sorrendjében a hiba általában jelentõsen csökken, különösen a valódi és az ekvidisztáns képzetes hengervetületek között, valamint az utolsó (a változó arányban felosztott parallelkörû) csoportnál. Az y vetületi egyenleteket közelítõ polinomok fokszámának növelésével a hiba többnyire csak kis mértékben csökkenthetõ tovább.
• Mind az ekvidisztáns parallelkörû, mind a változóan felosztott parallelkörû legjobb képzetes hengervetületek az átlagos torzultság szempontjából lényegesen kedvezõbbek, mint a hagyományos képzetes hengervetületek, ezért a teljes Föld ábrázolására hangsúlyozottan javasolhatók.

1. ábra: A Föld az Airy eredeti kritériuma szerinti legjobb, ± 62.60°-on hossztartó valódi hengervetületben

 

2. ábra: A Föld az Airy-Kavrajszkij kritérium szerinti legjobb, ekvidisztáns parallelkörû pólusvonalas képzetes hengervetületben

 

3. ábra: Gömböv terület-egyenlõ leképezése a megfelelõ térképi idomra a szélességek átszámozása során

 

4. ábra: A Föld területtartó képzetes hengervetületben, amely az Airy-Kavrajszkij kritérium szerinti legjobb, ekvidisztáns parallelkörû képzetes hengervetületbõl származik a szélességek átszámozásával

 

5. ábra: A Föld az Airy-James-Clarke kritérium szerinti legjobb, pólusvonalas képzetes hengervetületben, melynek parallelköreit a meridiánok ugyanolyan arányban osztják fel

 

6. ábra: A Föld az Airy módosított kritériuma szerinti legjobb, pólusvonalas képzetes hengervetületben

 

7. ábra: A Föld az Airy-Kavrajszkij kritérium szerinti legjobb, pólusvonalas képzetes hengervetületben