VETÜLETTANI ALAPISMERETEK
A térkép mint matematikai leképezés
eredménye
Adjuk
meg kiindulásképpen a térkép fogalmát, speciálisan a matematikai kartográfia
szempontjából. Eszerint a térkép síkban
jeleníti meg a görbült földfelület tárgyainak, jelenségeinek és folyamatainak
– alaprajzszerű ill. egyezményes jelszerű – ábrázolásából adódó geometriai
objektumokat (pontokat, vonalakat vagy felületi idomokat), lehetőleg olymódon, hogy a síkbeli méretviszonyok (a hosszak, irányok
ill. szögek, területek nagysága) kevéssé térjenek el a földfelületi
méretviszonyoktól, és így azokra térképi mérések alapján vissza lehessen
következtetni. Mind a földfelületi pontok geodéziai helyzetének
meghatározásánál, mind az objektumok térképi (tehát síkbeli) ábrázolásánál
fontos szerepet játszanak azok a leképezések
(„térképvetületek”, röviden „vetületek”), amelyek a görbült földfelületet síkra
képezik le. Ezekkel a leképezésekkel és tulajdonságaikkal foglalkozik a vetülettan.
A
vetület mint leképezés tehát egy görbült geometriai felület (az ún. alapfelület) pontjait egy másik geometriai
felületre (az ún. képfelületre)
képezi le, vagyis az alapfelület minden pontjához hozzárendeli a képfelület egy
pontját (???ábra). A leképezés matematikai megadásához alapfeltétel, hogy mind
az alap-, mind a képfelület lehetőleg folytonos, szabályos, továbbá zárt
képlettel leírható legyen.
E
feltételek nem teljesülnek maradéktalanul sem a topográfiai földfelületre, sem
a geoidra
(a nehézségi erőtér azon szintfelületére, mely egybeesik a világóceánok közepes
szintjével, és képzeletben a kontinensek alatt is folytatódik). A szabálytalan
alakú geoid felület viszont jól közelíthető egy, a
pólusoknál kissé lapult forgási
ellipszoid felülettel, más néven szferoiddal. (Ez
egy olyan forgásfelület, amely egy ellipszisnek a kistengelye körüli
forgatásából keletkezik.) A csekély lapultság miatt a földi ellipszoid felület
csak kis mértékben különbözik a gömbfelülettől,
és mindkettő folytonos, szabályos, továbbá leírható zárt képlettel. A vetület
alapfelülete ezért (a kívánt pontosságtól függően) forgási ellipszoid felület
vagy gömbfelület.
Képfelületként
a sík mellett számításba jönnek még
az ún. síkba fejthető felületek, amelyek
lehetőleg szabályosak, és amelyeket úgy lehet síkká alakítani, hogy eközben a
felületen belüli méretviszonyok nem változnak meg (tehát a síkba fejtés során
mind a felületi görbék ívhossza, mind az egymást metsző felületi görbék
metszéspontbeli érintőinek szöge, mind pedig a felületi idomok felszíne
változatlan marad). Ilyen síkba fejthető felület pl. a forgáshenger és a
forgáskúp palástja.
Felületek
zárt képlettel többféle módon is megadhatók. Mutassuk be ezeket a sík, a
gömbfelület és a forgási ellipszoid felület példáján.
A
térbeli derékszögű x, y, z koordinátarendszerben a felületek egyszerűen leírhatók
egyenlet alakjában, ami egy háromváltozós
skalár-vektor függvény szintfelületét jelenti. A vizsgált felületeink
egyenletei ismeretesek a koordináta-geometriából. A sík egyenlete pl.:
Az R sugarú, origó-centrikus gömbfelület
egyenlete:
Az R nagy-féltengelyű, P kis-féltengelyű, origó-centrikus és z forgástengelyű forgási ellipszoid-felület egyenlete:
A
felületek x, y, z koordinátájú
pontjainak egy további megadási módja a kétváltozós
függvény-alak, amely az
egyenlet-alak speciális esetének tekinthető. A síkot most az előbbi
sík-egyenletből C¹0 esetén kifejezhető
függvény
adja meg. E megadási mód hátránya, hogy egyes felületek csak többértékű
függvénnyel írhatók le. Pl. az R
sugarú, origócentrikus gömbfelületet leíró függvény: 
.
(A ± jel
azt fejezi ki, hogy a + előjellel a gömbfelület felső felét, a – előjel pedig
az alsó felét kapjuk meg.) Hasonlóan adódik az
R nagy-féltengelyű, P
kis-féltengelyű forgási ellipszoid felület a
függvényből.
A
térképészet és a geodézia szempontjából legelőnyösebb felület-megadási mód az
ún. paraméteres alak, amelyben a
felület pontjainak x, y, z térbeli derékszögű
koordinátáit az u,v valós
paraméterek folytonos függvényeként adjuk meg:
Mind
az u,
mind a v paraméterek rögzített
értékeinél egy-egy folytonos vonalsereget kapunk, amelyek a felületet egyrétűen
fedik le (???ábra). A felület minden pontján áthalad a két vonalsereg egy-egy
(egymással nem párhuzamos) vonala. Egy vonalseregen belüli vonalak nem
metszhetik egymást.
Például
a sík paraméteres alakja:
Az R sugarú, origó-centrikus gömbfelület is
megadható paraméteres alakban (ennek részleteit ld. a következő fejezetben):
Ebből
z irányú, P/R arányú merőleges
affinitással előáll a forgási ellipszoid felület egyik lehetséges paraméteres
alakja:
A
vetülettan tehát elsősorban a geodéziában és a térképészetben előforduló földi vetületekkel foglalkozik, amelyek
a geoid felületet több-kevesebb pontossággal közelítő
forgási ellipszoid felületet vagy gömbfelületet síkra vagy síkba fejthető
felületre képezik le. A vetülettan tárgyához tartoznak továbbá az ún. gömbvetületek, amelyek a forgási
ellipszoid felületének pontjaihoz gömbfelületi pontokat rendelnek hozzá.
Az alapfelület paraméterezése. A földrajzi koordinátarendszer
Állítsuk
elő alkalmas paraméteres alakban az alapfelületként használt geometriai felületeket:
tehát a gömböt és a forgási ellipszoidot.
Gömb alapfelület esetén a legkézenfekvőbb paraméterezés az ún. földrajzi koordináták segítségével történik (???ábra). Jelöljük ki a pólusokat, az ezeket a gömb középpontján
keresztül összekötő poláris tengelyt, az e tengelyre merőleges, a
gömbközéppontot tartalmazó síkot (az egyenlítő
síkját), valamint egy félsíkot, amelynek a határa a polártengelyre esik, és amely egy – a pólusokat összekötő –
gömbi főkörívben, az ún. kezdőmeridiánban
metszi a gömböt.
Az O
gömbközéppontból egy tetszőleges gömbfelületi P ponthoz vezető rádiuszvektornak
(egyúttal a gömbfelület normálisának) az egyenlítő síkjával bezárt j szögét földrajzi szélességnek, ennek b (=90°-j) pótszögét pólustávolságnak nevezzük, és ezek közül
bármelyik adja az egyik paramétert. A kezdőmeridián félsíkjának a gömbfelületi P pontot tartalmazó, a polártengely által határolt félsíkkal
bezárt szöge adja a másik paramétert, a l földrajzi
hosszúságot.
(A kezdőmeridiánnal nem keverendő össze a középmeridián, amely az ábrázolt terület középvonalában haladó,
többnyire kerek értékű hosszúsági kör. Ez általában a fokhálózat képének
szimmetriatengelye, így a képfelületen egyenesként jelenik meg, és rendszerint
kijelöli az egyik koordinátatengelyt vagy annak irányát.)
A
paramétervonalakat a j ill. l paraméterek rögzítésével
kapjuk. Az azonos j földrajzi szélességű (egyben azonos
pólustávolságú) pontok által meghatározott gömbi körök a szélességi körök vagy parallelkörök.
(Ezek között kitüntetett szerepet játszik a 0°-os szélességi kör, az egyenlítő, valamint határhelyzetként a |j|=90°-os szélességhez tartózó pólusok.) Az R sugarú gömbön a j szélességi kör r sugara:
,
így
az egyenlítő mint gömbi főkör sugara R.
A j földrajzi szélességet előjellel
is ellátjuk, amelyet az É-i félgömbön tekintünk pozitívnak (vagyis –90°£j£90°, és 0°£b£180°). A l földrajzi hosszúságot a K-i
féltekén tekintjük pozitívnak (vagyis -180°£l£180°). Az azonos földrajzi
hosszúságú pontok által meghatározott gömbi főkörívek (félkörök) a hosszúsági körök vagy meridiánok. A hosszúsági kör sugara a
gömbön mindig R.
A
gömb paraméteres alakja az előző fejezetben megadott módon az u=j és v=l helyettesítéssel adódik:
Forgási ellipszoid alapfelület esetén a polártengely az
ellipszoid forgástengelye lesz. A forgástengelyre merőleges, az ellipszoid
centrumát tartalmazó sík az (ellipszoidi)
egyenlítő síkja. A kezdőmeridiánt – egy fél-ellipszist – itt is egy olyan félsík metszi ki az ellipszoid-felületből, amelynek a
határa a polártengely.
Forgási
ellipszoid alapfelületen földrajzi
szélességnek az ún. geodéziai
szélességet tekintjük, amely az ellipszoidfelület
P pontbeli normálisának az egyenlítő síkjával bezárt F szöge. Ennek B (=90°-F) pótszöge az (ellipszoidi) pólustávolság. A L (ellipszoidi) földrajzi hosszúságot a gömbhöz hasonlóan, a kezdőmeridián félsíkjának a P
pontot tartalmazó félsíkkal bezárt (előjeles) szöge
segítségével definiáljuk.
Az
azonos F földrajzi szélességű (egyben azonos pólustávolságú)
pontok által alkotott paramétervonalakat nevezzük (ellipszoidi) szélességi körnek vagy parallelkörnek, amelyek előállíthatók az ellipszoidfelület
forgástengelyre merőleges körmetszeteként. Jelöljük a-val illetve b-vel a
forgási ellipszoid nagyobb illetve kisebb féltengelyét. A szélességi kör r sugarát és síkjának az egyenlítő
síkjától mért z távolságát az alábbi
képletek adják meg:
és
(Az
egyenlítő sugara tehát a.) A L paramétervonalak, vagyis az azonos földrajzi
hosszúságú pontok most egy fél-ellipszis alakú meridiánt határoznak meg, melynek az egyenlítő síkjában fekvő nagy
féltengelye a, a forgástengelyen lévő
kis féltengelye b (???ábra). A meridiánív F szélességű pontjához illeszthető simulókör
sugarát (az ún. meridiángörbületi sugarat) az
képletből
kajuk.
A F és L paraméterekkel a forgási ellipszoid az alábbi
módon írható fel paraméteres alakban:
ahol
e-vel jelöljük az ellipszoid ún. első excentricitását:
továbbá N-nel az ún. harántgörbületi sugarat, amelyet az
képlettel
definiálunk.
Az
ellipszoid fenti jellemzőit kiegészítjük még az
f-fel jelölt az ún. lapultsággal:
,
valamint
az e’-vel jelölt ún. második
excentricitással:
A térképészetben használt fontosabb
ellipszoidok adatai:
|
|
a |
b |
F |
e |
e’ |
|
Airy (1830) |
|
|
1/299,32 |
0.0816734 |
0.0819472 |
|
Everest (1830) |
|
|
1/300,80 |
0.0814729 |
0.0817447 |
|
Bessel (1841) |
|
|
1/299,15 |
0.0816969 |
0.0819709 |
|
Clarke (1866) |
|
|
1/294,98 |
0.0822719 |
0.0825517 |
|
Clarke (1880) |
|
|
1/293,465 |
0.0824833 |
0.0827653 |
|
Hayford (1924) |
|
|
1/297 |
0.0819920 |
0.0822690 |
|
Kraszovszkij (1940) |
|
|
1/298,3 |
0.0818134 |
0.0820886 |
|
IUGG’67 (1967) |
|
|
1/298,247 |
0.0818206 |
0.0820958 |
|
WGS’72 (1972) |
|
|
1/298,26 |
0.0818188 |
0.0820941 |
|
WGS’84 (1984) |
|
|
1/298.2572 |
0.0818192 |
0.0820944 |
A
forgási ellipszoid felületen definiálható továbbá a (y-vel jelölt) ún. geocentrikus szélesség, az ellipszoid
középpontjától a P ponthoz vezető rádiuszvektornak az ellipszoidi egyenlítő
síkjával bezárt szöge (???ábra). Ez csak a pólusban és az egyenlítőn egyezik
meg a geodéziai szélességgel, általában különböznek. (Gömb alapfelület esetén a
kétféle módon definiált szélesség mindenütt azonos, mivel a P ponthoz vezető
rádiuszvektor egyben merőleges a gömb felületére.) A geocentrikus szélesség az
ellipszoidi földrajzi hosszúsággal a forgási ellipszoid felület egy másik
lehetséges paraméterezését adja meg.
Egy
újabb ellipszoidi szélesség-definícióhoz tekintsük azt a gömböt, amelynek
középpontja a földi ellipszoid centruma, sugara pedig annak fél nagytengelye
(???ábra). Ekkor az ellipszoidi pontnak a forgástengellyel párhuzamos
gömbfelületi vetületéhez vezető rádiuszvektor egyenlítősíkkal bezárt szöge a (z-val jelölt) ún. redukált szélesség. Ez a pólusban és az
egyenlítőn szintén egybeesik a geodéziai szélességgel, de másutt különböznek.
A
redukált szélesség és az ellipszoidi földrajzi hosszúság együttesen adja a
forgási ellipszoid felület előző fejezetben megadott paraméteres alakját az u=z, v=L, R=a
és P=b helyettesítéssel:
Felmerül
a kérdés, hogy milyen kapcsolat van a forgási ellipszoid paraméterei és a geoidon mérhető koordináták között. A geoid
felületen elhelyezkedő pont koordinátáit meghatározhatjuk pl. csillagászati
módszerekkel: a pont pólustávolságának a helyi függőleges és a sarkcsillag
iránya által bezárt szöget tekintjük; e szög pótszöge az ún. csillagászati (asztronómiai) szélesség
(???ábra); a hosszúság pedig a pontbeli és a kezdőmeridiáni
(pl. Greenwich-i) delelés időpontjának különbségéből
számítható. A geoidfelület
normálisa (a nehézségi erő irányát megadó függővonal) és a geoidhoz
illesztett forgási ellipszoid mint elméleti referenciafelület normálisa kis
mértékben különbözhet egymástól, ez az ún. függővonal-elhajlás, ami előidézi az
asztronómiai és a geodéziai szélesség eltérését.
Ha
gömb- és ellipszoidfelületi pontokat mint térbeli
objektum pontjait a fentiek szerint x, y,
z derékszögű koordinátákkal adjuk meg, akkor a koordinátarendszer origója
értelemszerűen a gömb illetve ellipszoid középpontjába kerül. A z
tengely a polártengellyel esik egybe, az x tengelyt pedig rendszerint a kezdőfélsík iránya jelöli ki. Az xy sík ekkor az egyenlítő síkjára esik. Az ellipszoidfelületi
pontok derékszögű koordinátáit a műholdas helymeghatározás használja.
Amint
már láttuk, a (gömbi vagy ellipszoidi) hosszúság méréséhez szükség van a kezdőmeridián kijelölésére. A geokartográfiában
és a topográfiai térképműveknél manapság általában a Greenwich-i
kezdőmeridiánt használják. Régebben - főleg Európában
- elterjedt volt a Ferro-i (ma Hierro,
Kanári-szigetek) kezdőmeridián használata, amely Greenwich-től mintegy 17°40'-re Ny-ra fekszik. K-Európa
több országában Szentpétervár mellett fekvő Pulkovo csillagdáján
áthaladó kezdőmeridiánnal dolgoztak, amely Greenwich-től mintegy 30°20'-re K-re helyezkedik el. A
magyarországi térképezéseknél a gellérthegyi meridián játszik fontos szerepet,
amelynek a ferroi
kezdőmeridiántól való eltérését a Bessel-ellipszoidon
36°42'51.69"-nek tekintették, míg a greenwichi
hosszúsága az IUGG'67-es ellipszoidon 19°2'54.856"-nek
van megállapítva.
A geodézia és a térképészet speciális
alapfelületi koordinátarendszerei
A
geodéziában az alapfelületet egy forgásfelületen értelmezhető polárkoordinátarendszer
segítségével is paraméterezhetjük. Ehhez definiáljuk az ortodróma
fogalmát. Valamely felületen a két rögzített végpontot összekötő felületi
görbeívek közül azt nevezzük geodéziai vonalnak
vagy ortodrómának,
amelyik a legrövidebb. A síkon a geodéziai vonal a két végpontot összekötő
egyenes szakasz, gömbfelület esetén pedig a két végponton áthaladó gömbi főkör
ívek közül a rövidebbik. (Bonyolultabb a helyzet a forgási ellipszoid felületénél,
mert ott a meridiánok kivételével a geodéziai vonal általában nem síkgörbe.)
Vegyük
fel most az O origót az ellipszoid
felületén, valahol a pólustól különböző pontban, valamint egy kezdőirányt,
amely rendszerint a pólus felé mutat és így egy meridián irányával esik egybe.
A tetszőleges alapfelületi P ponthoz
tartozó polártávolságot az OP ortodrómaív hossza adja, míg a polárszög - az ún. azimut - az OP
iránynak a kezdőiránnyal bezárt szöge, az óramutató járásával megegyező irányban mérve, melyet 0° és
360° közé esőnek tekintünk (???ábra). E polárkoordinátákkal
adott P pont földrajzi koordinátáinak kiszámítását első geodéziai alapfeladatnak nevezzük.
Ha a földrajzi koordinátákkal adott P
pont polárkoordinátáit számítjuk ki, akkor a második geodéziai alapfeladatot oldjuk
meg. Gömb alapfelület esetén mind az első, mind a második geodéziai alapfeladat
gömbháromszögtani összefüggésekkel oldható meg.
Gömb
alapfelület esetén értelmezhető a segédföldrajzi
koordinátarendszer. Ehhez először is ki kell jelölni a gömbön a segédpólust és ezzel együtt a segédpoláris tengelyt. A segédpólustól egyenlő gömbi
távolságra (segédpólustávolságra)
lévő pontok képezik a segédparallelköröket,
90°-os gömbi távolság esetén a segédegyenlítőt.
A segédpólustávolság pótszöge a j* segédszélesség.
A két segédpólust összekötő gömbi főkörívek a segédmeridiánok. Ezek közül egyet
segédkezdőmeridiánnak
választva, ennek félsíkja bármely segédmeridián
félsíkjával a segédhosszúságnak
nevezett l* szöget zárja be. A
segédhosszúságot a segéd-É-i pólus felől nézve az óramutató járásával
ellentétesen irányítjuk, és nagyságára: -180°£l*£180°. (Megjegyezzük, hogy az
esetek túlnyomó többségében a segédkezdőmeridián
tartalmazza az egyik pólust, ugyanis ekkor a pólusokon és a segédpólusokon
áthaladó gömbi főkör - bimeridián
- egy-egy szakasza meridián és egyben segédmeridián
is.) A segédföldrajzi koordinátarendszer bevezetésének fő előnye abban áll,
hogy segítségükkel bizonyos rokonvetületek egységesen tárgyalhatók, és ezek
vetületi egyenletei egyszerű, egységes alakban adhatók meg.
Tetszőleges
gömbfelületi (j,l) koordinátákkal megadott pont segédföldrajzi
(j*,l*) koordinátáinak
meghatározása a második geodéziai alapfeladatra vezethető vissza, míg a
segédföldrajzi (j*,l*) koordináták ismeretében az első geodéziai
alapfeladat megoldása alapján kapjuk a (j,l) földrajzi koordinátákat, mindkét esetben
gömbháromszögtani összefüggések segítségével.
A képfelület paraméterezése
A
képfelületet (az esetleges síkbafejtés után)
paraméterezhetjük síkbeli derékszögű x, y koordinátarendszer
segítségével. Az egyik koordinátatengelynek célszerűen a fokhálózat
szimmetriatengelyét vagy egy azzal párhuzamos egyenest választjuk. Ennek
irányát szokás hálózati északi iránynak
is nevezni. A geodéziában előszeretettel tekintik a hálózati északi irányt x-tengelynek,
szemben a matematikában inkább szokásos y-tengellyel.
A
vetületek egy részénél, különösen kúppalást-képfelületnél, de általában körív
alakú parallelkör-képek esetén előnyös a síkbeli
polárkoordinátarendszer bevezetése. A
koordinátarendszer origója a körív középpontjába kerül, a polártengely
többnyire a középmeridiánnal esik egybe. (Nem-koncentrikus körívek esetében az
origó helyzete így a szélesség függvényében akár változhat is.)
A
képfelületi síkkoordinátarendszer origóját szokás vetületi kezdőpontnak nevezni.
A vetületek mint leképezések matematikai megadása
A
vetületek elnevezése (más nyelveken is) azt sugallja, mintha a vetületeknek
közvetlen köze volna a centrális vetítésnek nevezett geometriai
transzformációhoz. Valójában a manapság használatos vetület-fogalom – mint
említettük – az alapfelület pontjainak a képfelület pontjaira történő
matematikai leképezésén alapul. A vetületek között azonban sajátos helyet
foglalnak el az ún. perspektív vetületek, amelyeket az alap- és képfelület
megfelelő elhelyezése útján centrális
geometriai vetítéssel elő lehet állítani (???ábra). Ezek fontos szerepet
játszottak a vetülettan elméletének kifejlődésében, és közülük néhány ma is
használatban van. A perspektív vetületek képfelülete
egyaránt lehet sík, forgáshenger-palást vagy forgáskúp-palást. A vetületek
többségét képező nem-perspektív vetületek képfelülete
viszont általában síknak tekinthető még akkor is, ha ezeket időnként
forgáshenger-palásttal vagy forgáskúp-palásttal szemléltetik.
A vetületeket
úgy kell megadni, hogy az alapfelület pontjairól a képfelület pontjaira történő
leképezés illetve átszámítás minden ábrázolandó pontra nézve lehetséges és
egyértelmű legyen. Ez perspektív vetületek esetén általában
geometriailag is megvalósítható volna, de a nem-perspektív
vetületekre tekintettel más megoldást kell választani. A leképezéshez a "vetületi egyenleteknek" nevezett függvényeket
használjuk, amelyek a térképi x, y síkkoordinátákat
a földrajzi koordináták: a j szélesség és a l hosszúság függvényében adják meg:
és 
A
vetületi egyenletekkel mint függvényekkel szemben az alábbi követelményeket
támasztjuk:
1. Létesítsenek kölcsönösen
egyértelmű (injektív) megfeleltetést az ábrázolandó
területre vonatkozólag az alap- és a képfelület pontjai között.
2. Lehetőleg egyetlen zárt
matematikai képlettel vagy sorral leírhatók legyenek.
3. Legyenek az ábrázolandó
terület minden pontjában kétszer folytonosan differenciálhatók.
Ezeknek
a követelményeknek a gyakorlati térképkészítés vetületei nem tesznek mindig maradéktalanul
eleget.
-
A kölcsönös egyértelműség pl. nem teljesül a világtérképek két határoló
meridiánképére, amelyek az alapfelület egyetlen
meridiánjának felelnek meg. A pólus képe gyakran egy vonal, ilyenkor egyetlen
alapfelületi pontnak végtelen sok képfelületi pont felel meg.
-
Vannak olyan vetületek, amelyeknek nincsenek egységes vetületi
egyenletei, hanem –
pl. bizonyos szélességi körök által elhatárolt – övezetenként
más és más vetületi egyenlet érvényes.
-
E vetületek között vannak olyanok, ahol a vetületi egyenletek mint
függvények az elhatároló fokhálózati vonalakon nem tesznek eleget a differenciálhatósági
feltételeknek, emiatt a térképen fellépő vetületi torzulások e vonalon
ugrásszerűen változhatnak.
Bizonyos
esetekben a vetületi egyenletek inverzei
is felírhatók explicit alakban, ekkor a
és 
függvények
segítségével valamely térképi pont x, y síkkoordinátáiból
ki tudjuk számítani az alapfelületi őskép j, l földrajzi koordinátáit.
Torzulások a térképen
A
görbült földet tehát szabályos alapfelülettel modellezzük, ezt leképezzük
síkra, vagy síkba fejthető más képfelületre. A leképezés során az alapfelületi
objektumok bizonyos méretviszonyai megváltozhatnak. Ezeket a változásokat vetületi torzulásoknak nevezzük. Lássuk
be először, hogy bizonyos alapfelületi hosszak minden vetületben torzulnak.
Tételezzük
fel, hogy létezik olyan "hossztartó" vetület, amelynél a gömbnek
választott alapfelületi ívek hosszai mindig megegyeznek ezek képfelületi
megfelelőinek ívhosszával. Ha volna ilyen leképezés, annál az alapfelület
geodéziai vonalainak képe szükségszerűen a képfelület geodéziai vonala kellene
legyen. Földi vetület esetén tehát a gömb-alapfelületi ortodrómáknak
(a gömbi főkör-íveknek) a sík egyenes szakaszaira kellene leképeződniük.
Tekintsünk
most a gömb alapfelületen egy olyan gömbháromszöget, amelynek egyik csúcsa a
pólusban, a másik két csúcsa az Egyenlítőn helyezkedik el egymástól 90°-nyira.
Ennek a (szabályos) gömbháromszögnek mindhárom oldala és szöge 90°-os (???
ábra). A fentiek szerint a feltételezett "hossztartó" vetületünknek
ezt egy olyan szabályos síkháromszögre kellene leképeznie, amelynek oldalhossza
megegyezik a gömbháromszög oldalhosszával. Vegyünk most egy olyan ortodróma-ívet, amely a pólustól a gömbháromszög szemközti
oldalának egy belső pontjához vezet. Ennek alapfelületi hossza megegyezik a
gömbháromszög oldalhosszával (90°), azonban a képfelületen egy olyan egyenes
szakaszra képeződik le, amely a síkháromszögekre vonatkozó ismert tétel miatt a
háromszögünk oldalánál kisebb. Ez ellentmond a kezdeti
"hossztartósági" feltételünknek, következésképpen kimondhatjuk, hogy "hossztartó" vetület nincs.
(Hasonló gondolatmenet forgási ellipszoid alapfelület esetén is érvényes.) A
szükségszerűen fellépő hossztorzulások mellett a térképen torzulhatnak az
irányok ill. a szögek, valamint a területek is.
A
vetületek legfontosabb tulajdonságai a torzulási viszonyaikra vonatkoznak. Egy
vetület térképészeti alkalmazása előtt tudnunk kell, hogy milyen alapfelületi
objektumok torzulnak és milyen mértékben, továbbá hol helyezkednek el a
torzulásmentes helyek. A vetület torzulási tulajdonságai és a térkép bármely
pontjában fellépő torzulási viszonyok a vetületi egyenletekből levezethetők.
A térkép méretaránya
A
mindennapi életben a műszaki tervekre, helyszínrajzokra, stb. használt
méretarány-fogalom a rajzi távolságnak és a megfelelő valódi távolságnak a
hányadosa. Ettől eltér a térképi méretarány fogalma. Ehhez gondoljuk végig a
térképkészítés elvi folyamatát.
Első
lépésben a görbült földfelületet vagy egy részét síkra képezzük le. A leképezés
egy földi méretű képzeletbeli síkra történik, amelyen aztán a gyakorlati
használhatóság céljából egy arányos kicsinyítést hajtunk végre; ez eredményezi
a kézben tartható térképet (??? ábra). A térkép tehát egy vetület és egy
hasonlósági transzformáció egymás utáni alkalmazásából keletkezik. A
hasonlósági transzformáció arányát nevezzük a
térkép (névleges v. elméleti) méretarányának. Vagyis képletben:
A
térkép méretaránya tehát egyetlen, az adott térképre jellemző szám (arány).
Viszont a térképi hossznak a megfelelő alapfelületi valódi hosszhoz való aránya
- ahogyan a köztudatban a méretarány fogalma él - a vetületi torzulások miatt
attól függ, hogy a vizsgált vonal, amelynek a hosszáról itt szó van, a térkép
melyik részén helyezkedik el. Ha van a térképünknek hossztartó vonala, akkor az
e mentén vett ívek térképi és valódi hosszának aránya megegyezik a térkép
névleges méretarányával. Azt a vonalat, amely mentén nem lép fel torzulás, izodeformációs
vonalnak hívjuk. Izodeformációs övnek azon térképi pontok összességét
nevezzük, ahol a névleges méretarány gyakorlati szempontból használható a
térkép és a valóság közötti hossz-átszámításhoz. Ennek kiterjedése egy adott
vetület esetén természetesen függ az elvárt pontosságtól, melynek fokozásával
az izodeformációs öv keskenyebbé válik.
A térkép vázának grafikus előállítása adott
vetületben
A
vetületi egyenletek és a névleges méretarány ismeretében az ábrázolandó terület
adott vetületben való (legalább is vázlatos) megjelenítésére több gyakorlati
módszer szolgál:
-
Az ismert koordinátájú, ábrázolandó alapfelületi pontok koordinátáit a
vetületi egyenletek és a méretarány segítségével képfelületi koordinátákká
alakítjuk át, és ez alapján a pontot a képsíkon elhelyezzük: ez az ún. koordináta-módszer. Ezen az elven
dolgoznak a számítógépes megjelenítő eszközök: a képernyő, a rajzgép, a
nyomtató.
-
Az alapfelületi pontokat összekötő geodéziai vonalak hosszát a
hossztorzulási arány segítségével képfelületi távolságra számítjuk át, az
alapfelületi szögeket pedig az irányredukciókkal korrigáljuk. Az így kapott
távolságok és szögek segítségével és a méretarány figyelembevételével a
pontokat a térképre rajzeszközzel felvisszük. Ezt nevezzük redukciós módszernek, amely főleg a geodéziában használatos.
-
A görbeseregek módszerénél az
alapfelületen felveszünk két, egymást metsző görbesereget (például valamilyen
kerek fokértékű hosszúsági és szélességi köröket), majd a képfelületen –
koordináta-módszer, esetleg a redukciós módszer segítségével –megjelenítjük e
görbesereg képét, vagy legalábbis ezek metszéspontjait. Végül interpolációval
határozzuk meg a köztük lévő ábrázolandó pontok helyét. Az újonnan szerkesztett
kis méretarányú térképek többnyire így készülnek.
Nevezetes alapfelületi vonalak
A
térképhasználó gyakran találkozik az alapfelület nevezetes vonalfajtáival és
felületi idomaival. Az alábbiakban áttekintjük ezeket és főbb tulajdonságaikat.
A vetülettanban – a paramétervonalakkal együtt – az alapfelületi vonalak három
fajtája: az ortodróma, a gömbi (ellipszoidi) körív és
a loxodróma
játszik központi szerepet.
Gömb
alapfelület esetén minden 180°-nál nem nagyobb középponti szöghöz tartozó
főkörív ortodróma, így a (segéd-)meridiánok és a
(segéd-)egyenlítő is. A gömbi ortodróma ívhosszát a
radiánban megadott középponti szögnek az R
sugárral való szorzata adja. A Dj szélességkülönséghez
tartozó meridiánív mint speciális ortodróma
s
hossza így:
A
forgásfelületek (így a gömb- és a forgási ellipszoid-felületek) ortodrómáinak fontos tulajdonságát fogalmazza meg a Clairaut-tétel. Eszerint
a forgásfelület parallelköre és a geodéziai vonal által bezárt szög
koszinuszának és a parallelkör sugarának a szorzata – a geodéziai vonal mentén
haladva – nem változik. A minden parallelkört merőlegesen metsző felületi
görbék – a meridiánok – esetén ez a szorzat zérus, emiatt a meridiánok
geodéziai vonalak. Jelölje r az ortodróma pontjának a forgástengelytől mért távolságát
(másként a ponton áthaladó parallelkör sugarát), továbbá jelölje a az azimutot,
vagyis az ortodrómának a ponton áthaladó meridiánnal
bezárt szögét; ekkor Clairaut tétele képletben az
alábbi alakot ölti:
A
forgási ellipszoid alapfelületen is megtalálhatók az ellipszisív alakú
meridiánok mint speciális ortodrómák, míg az összes
többi ortodróma térgörbe. A F1 és F2 szélességek közötti meridiánívhosszat az ellipszisív simulókör-sugarának (az M meridiángörbületi
sugárnak) a földrajzi szélesség szerinti integráljaként kapjuk:
A parallelkörök mind gömbön, mind forgási ellipszoidon a poláris tengelyre nézve forgásszimmetrikus körök, amelyek gömb alapfelület esetén (az egyelítőt kivéve) gömbi kiskörök. E j szélességű parallelkörön egy Dl hosszúságkülönbséghez tartozó ív s hossza:
.
A gömbfelületen a parallelkörök mellett további felületi kiskörök is felvehetők. Egy ilyen kiskörön az ívhosszat – alkalmasan felvett segédföldrajzi koordinátarendszerben – az
képlet adja.
Forgási ellipszoid alapfelület F szélességű parallelkörén a DL hosszúságkülönbséghez tartozó s ívhossz a parallelkör
képlettel megadott sugarának a DL hosszúságkülönbséggel való beszorzásából adódik, vagyis:
Az egyenlítő, mint speciális a sugarú parallelkör mentén ez
-vá egyszerűsödik.
A F szélességű parallelkör síkjának az egyenlítő síkjától mért z távolsága:
Loxodrómának azokat az alapfelületi vonalakat nevezzük, amelyeknek minden pontjában az a azimut állandó. A meridiánok az a=0° és a=180° azimuthoz tartozó speciális loxodrómák, a parallelkörök pedig az a=90° és a=270° azimuthoz tartozó speciális loxodrómák. A többi loxodróma olyan alapfelületi csavarvonal, amely az egyik pólusból a másik pólusba vezet. Írjuk fel gömb alapfelületre egy ilyen loxodróma egyenletét az egyértékűség miatt l=l(j) alakban. Ehhez változtassuk meg kismértékben a j,l koordinátájú pont koordinátáit, Dj,Dl-val. A kezdő- és a végponton átmenő paramétervonalak egy kis idomot határolnak, melynek „oldalai” közelítőleg R×arcDj és R×arcDl×cosj hosszúságúak. Az idom átellenes csúcsait kössük össze egy Ds hosszúságú loxodróma-ívvel (???ábra). A kicsiny idom „oldalai” és "átlója" közelítőleg síkban lévőnek tekinthetők, amelyben
; ezt egyszerűsítve és
átrendezve: 
Ha
most a loxodrómát kis darabokra bontjuk, akkor az
összegzés, majd a minden határon túli finomítás után az integrálás az alábbi
eredményre vezet:
;
innen
A C integrációs konstans megadható, ha a loxodróma pl. a j0 ,l0 koordinátájú ponton halad
át, ekkor az egyenlet az alábbi alakú:
Egyenletünk
szerint minden j-hez egyetlen l tartozik, és j®±90° esetén l®±¥. Egy l-hoz viszont (a¹90° esetén) végtelen sok j is tartozhat.
A j1,l1 és j2,l2 koordinátájú pontokon áthaladó loxodróma
azimutja:
Az a azimuthoz
tartozó loxodróma j1 és j2 szélességek közé eső darabjának ívhossza szintén az
iménti ábra alapján adható meg, ugyanis:
, ahonnan 
A loxodróma-ívet kis részekre felosztva, a képletet az egyes
részekre alkalmazva összegzünk, ami a minden határon túli finomítás után
integrálásba megy át:
innen
,
vagyis a loxodróma-ív hossza az íven fellépő szélességmegváltozás lineáris függvénye.
Nevezetes alapfelületi idomok
A térgeometriából ismert, hogy egy gömbfelületet egy sík két gömbsüvegre bont fel. Két párhuzamos
síkkal elmetszve a gömbfelületet, a két gömbsüveg között egy gömbövet kapunk. A j1 és j2 (j1£j2) szélességek
közé eső gömböv F felszíne:
(j1 =-90° vagy j2 =+90° esetén
ugyanez a képlet megadja az egy parallelkör által határolt gömbsüveg
felszínét.)
A forgási ellipszoidon az egyenlítő (F0 =0°) és F szélességi kör közé eső ellipszoid-öv F felszíne:
Ugyanez sor alakjában felírva:
A F -be 90°-ot
helyettesítve kapjuk a fél-ellipszoid felszínét, ennek kétszereséből pedig az Fe
ellipszoidi felszínt:
A fentiek alapján a F1 és F2 szélességi körök
közé eső ellipszoid-öv F felszíne:
illetve ugyanez sor-alakban:
Kössük össze a gömbfelület egyik átmérőjének végpontjait két gömbi
főkörívvel (félkörrel); ezek a gömbfelületet két gömbkétszögre bontják. A l1 és l2 meridián által
közrezárt gömbkétszög a teljes gömbfelszín (4×R2×p) arányos része,
F
felszíne tehát:
A forgási ellipszoidon is kijelölhető a határoló L1 és L2 meridiánokkal egy
ellipszoidi kétszög (zóna); ennek F felszíne a forgási ellipszoid teljes
felszínének arányos része:
A térképészetben jelentős szerepet játszik a j1 és j2 (j1£j2) parallelkör,
valamint a l1 és l2 (l1£l2) meridián által
határolt felületi idom, az ún. foktrapéz
vagy földrajzi négyszög. Ennek F
felszíne gömb alapfelületen:
Forgási ellipszoid alapfelületen a F1 és F2 (F1£F2) parallelkör,
valamint a L1 és L2 (L1£L2) meridián által
határolt foktrapéz felszíne:
A gömbháromszög olyan
gömbfelületi idom, amelyet három gömbi főkörív határol. A gömbháromszögnek
három oldala és három szöge van. Ha a gömbháromszög szögeit a, b és g jelöli, akkor a gömbháromszög F felszíne:
.
A gömháromszög felszíne negatív nem lehet, így a+b+g ³180°. Az e=a+b+g –180° mennyiséget gömbi szögfölöslegnek nevezzük. Ennek felhasználásával:
.
A gömbháromszögek
tulajdonságai. Gömbháromszögtani összefüggések
Ha
eltekintünk az elfajuló (egy pontra vagy egy főkörívre zsugorodó)
gömbháromszögektől, akkor a gömbháromszög szögeinek összege 180°-nál nagyobb. Másrészt
a konvex gömbháromszög szögeinek összege 540°-nál kisebb.
A síkháromszögek sok tulajdonsága a gömbháromszögekre is átvihető.
Így pl. két oldal összege nagyobb a harmadik oldalnál. A gömbháromszögben
nagyobb oldallal szemben nagyobb szög, egyenlő oldalakkal szemben egyenlő szög
helyezkedik el. Ezek alapján az általános gömbháromszögek mellett beszélhetünk
az egyenlő szárú (szimmetrikus) és az egyenlő oldalú (szabályos) gömbháromszögekről.
A gömbháromszögekre vonatkozó tulajdonságok egy részénél előnyös,
ha egységsugarú gömbön vizsgáljuk ezeket. Ekkor a gömbháromszög oldalai
megadhatók a hozzájuk tartozó középponti szögekkel. A továbbiakban tehát a gömbháromszög oldalait is szögekkel adjuk
meg. Az általános gömbháromszögek oldalai és szögei közül három tetszőleges
adat független, a többi adat az alábbi összefüggésekkel határozható meg.
A gömbháromszög szögeire és a velük szemközti oldalak arányaira vonatkozik
az ún. gömbháromszögtani szinusztétel:
A
gömbháromszög oldalai és egyik szöge között teremti meg a kapcsolatot az ún. gömbháromszögtani oldal-koszinusztétel, pl. az a szögre és a
vele szemközti a oldalra felírva:
A
gömbháromszög szögei és egyik oldala közötti összefüggést az ún. gömbháromszögtani szög-koszinusztétel adja meg, pl. az a oldalra és a vele szemközti a szögre felírva:
Ha adott a három oldal, vagy két oldal és a közbezárt szög, akkor
az oldal-koszinusztétellel; ha a három szög, vagy egy oldal és a rajta fekvő
két szög, akkor a szög-koszinusztétellel lehet elindulni a megoldásban.
A fenti tételek kombinálásával minden ismeretlen adat
kiszámítható, de ezeken túlmenően gyakran jól hasznosítható az ún. második alapforma is, amely két oldal, a
közbezárt szög és valamelyik másik szög között létesít összefüggést:
(A baloldalon szereplő oldalak kiválasztása és sorrendje szerint
összesen 6 alakja írható fel.) Mint látható, az a oldal és az a szög ebből egyértelműen
kifejezhető, azonban a b oldal és a g szög
kiszámítása másodfokú egyenletre vezet.
A gömb alapfelületen végzett térképészeti számításokban gyakran
használnak olyan gömbháromszögeket, amelyeknek egyik csúcsa a pólusban van.
Ezeket szokás polárgömbháromszögnek
nevezni. Ide kapcsolódik egy további fogalom, a meridiánkonvergencia.
A meridiánok a pólus felé összetartanak, ennek mértékét fejezi ki a valódi alapfelületi meridiánkonvergencia.
Vegyünk két pontot (P1 és P2) az alapfelületen, aztán
kössük össze ezeket egymással és a pólussal ortodrómaívek
segítségével. A két pontbeli azimut különbségének
180° feletti része a g-val jelölt valódi alapfelületi meridiánkonvergencia.
Képletben:
Gömb alapfelület esetén a P1,
a P2 és pólus által
meghatározott polárgömbháromszög szögeire (???ábra)
teljesül, hogy
ahol Dl a két pont
hosszúságkülönbsége és e a gömbi
szögfölösleg. Átrendezve az egyenletet:
Innen kapjuk a g valódi gömbi meridiánkonvergencia
és az e gömbi szögfölösleg
közötti összefüggést:
.
A m vetületi
meridiánkonvergencia a térképen a hálózati északi
irány és a meridián által kijelölt földrajzi északi irány eltérése.
Pontosabban: az a szög (???ábra), amelyet a térképi P' ponton áthaladó meridiánkép érintője a
képfelületi derékszögű koordinátarendszer hálózati északi irányt kijelölő
tengelyével bezár, és amelyet az óramutató járásával ellentétesen irányítunk. A
vetületi meridiánkonvergenciának a vetületek
geodéziai alkalmazásánál van szerepe.
Átszámítás a földrajzi és a segédföldrajzi
koordináták között
A
fokhálózat átvitelét egy segédföldrajzi fokhálózatba elforgatási transzformációnak nevezzük, mert a gömbközéppont körüli
elforgatásokkal valósítható meg. A transzformáció végrehajtásához szükség van a
P pont (j,l) földrajzi koordinátái és (j*,l*) segédföldrajzi
koordinátái közötti átszámítás képleteire. Ehhez alapértelmezésben tekintsük adottnak az N* segédpólust az
eredeti földrajzi koordinátarendszerbeli
j0,l0 koordinátákkal, és haladjon át a
segéd-kezdőmeridián pl. az N északi póluson. (Ellenkező irányítás esetén a
segédhosszúságok 180°-kal megváltoznak, míg a segédszélességek változatlanok
maradnak.)
aa)
Legyen először ismert (j,l), és keressük
(j*,l*)-ot. A P(j,l) pont az N és az N* ponttal egy
gömbháromszöget alkot (???ábra), amelynek oldalai sorra: 90°-j0 , 90°-j* és 90°-j, az N*-nál lévő szöge
a l* segédhosszúság, N-nél lévő szöge pedig a
hosszúságkülönbség.
(Megjegyzendő, hogy Dl és l* az ellentétes irányítás
miatt ellenkező előjelűek.)
Írjuk
fel az oldal-koszinusztételt az N pólussal szemközti oldalra:
.
Innen
kapjuk, hogy
Ha
a P pont valamelyik segédpólussal egybeesik, vagyis
,
akkor
a l* segédhosszúság ott nincs
értelmezve, tehát l*-nak
bármilyen érték tulajdonítható. Ha pedig a P pont az N* és az
N pontok által meghatározott bimeridiánra esik, vagyis
, 
vagy 
,
akkor
vagy 
attól
függően, hogy P a bimeridián melyik részén
helyezkedik el.
Ha
ezen esetek közül egyik sem áll fenn, és a segédpólus mindkét eredeti pólustól
különbözik, vagyis
,
akkor
felírható az oldal-koszinusz tétel az N* ponttal szemközti oldalra, amiből
kifejezhető a
l* segédhosszúság:
.
és
ezzel megkaptuk a P pont segédföldrajzi koordinátáit.
Speciálisan
ha az N* segédpólus az egyenlítőn
helyezkedik el (vagyis j0=0°, ???ábra), akkor 
,
továbbá
a szinusz-tételből
,
és az
oldal-koszinusztételből
.
ab)
A fenti fokhálózat-transzformáció fordítottja
a segédföldrajzi (j*,l*) koordinátákból a (j,l) földrajzi koordináták
kiszámítása. Az iménti jelölések mellett tekintsük ismét az N pólus, az N*(j0,l0) segédpólus és a P(j*,l*) pont által meghatározott
gömbháromszöget.
Az
N* segédpólussal szemközti oldalra felírt oldal-koszinusztétel:
Innen
kifejezhető a j szélesség:
Elmondható
itt is, hogy ha a P pont valamelyik pólussal egybeesik, vagyis
,
akkor
a Dl
hosszúságkülönbség ott nincs értelmezve, tehát Dl-nak bármilyen értéket tulajdoníthatunk.
Ha viszont a P pont az N* és az N
pontok által meghatározott bimeridiánra esik,
vagyis
, 
vagy 
,
akkor
vagy 
attól
függően, hogy P a bimeridián melyik részén
helyezkedik el.
Ha
ezen esetek közül egyik sem áll fenn, és a segédpólus mindkét eredeti pólustól
különbözik, vagyis
,
akkor
itt is felírható az oldal-koszinusz tétel az N ponttal szemközti oldalra,
amiből kifejezhető a Dl hosszúságkülönbség:
,
és
ebből kapjuk a l hosszúságot:
.
Ha
a földrajzi és segédföldrajzi koordináták közötti átszámítások a segédegyenlítő
környékének pontjait érintik, akkor az átszámítások másik típusa kerül
előtérbe. Itt nem az N* segédpólus koordinátái, hanem a segédegyenlítő és a segéd-kezdőmeridián K metszéspontjának (jK,lK) koordinátái vannak megadva, és pl. a segédszélesség növekedésének
iránya. (Megjegyezzük, hogy ilyen számításokat általában csak a K középponttal meghatározott félgömbön
belül szoktunk végezni, ezért a továbbiakban megadott képletek csak a K-tól 90°-nál nem nagyobb gömbi
távolságú pontokra érvényesek.) A segéd-kezdőmeridián most kivételesen nem az N
északi póluson, hanem a K ponton
halad át, tehát az egyenlítőre esik; így ennek K-ból kiinduló negyedkörnyi íve
kijelöli az N* segédpólust (???ábra). A P, N és N* csúcspontok által meghatározott
gömbháromszög oldalai sorra jK, 90°-j*
és 90°-j, az N csúcsnál lévő
szöge 180°-Dl, a l* segédhosszúság pedig az egyenlítőnek az N*P
segédmeridiánnal bezárt (előjeles) szöge.
ba)
A (j*,l*) segédföldrajzi
koordináták kiszámításához írjuk fel az N csúccsal szemközti oldalra az oldal-koszinusz-tételt:
Innen
kapjuk, hogy
.
Másrészt
írjuk fel az N és N* csúcsokra vonatkozó szinusztételt:
.
Innen
a műveletek végrehajtása után kifejezhető l*:
.
Gyakrabban
használt az a képlet, amelyet tgl*-ból
kaphatunk. Írjuk fel ehhez az N* csúccsal szemközti oldalra az
oldal-koszinusztételt:
Innen
fejezzük ki cosl*-ot,
és sinj*-ba
helyettesítsük be a fent nyert kifejezést. Összevonások és egyszerűsítés után:
Ezt
felhasználva:
.
Végigosztva cosj -vel, és elvégezve az
egyszerűsítést:
,
és így
ebben a változatban is megkaptuk a P pont segédföldrajzi koordinátáit.
Ha
itt az N* segédpólus az egyenlítőre
esik, akkor a K vetületi kezdőpontot nem
a pólusban, hanem az egyenlítő és a (segédegyenlítővel egybeeső) középmeridián
metszéspontjában célszerű felvenni (???ábra). Ekkor az oldal-koszinusztételből:
és
a műveletek elvégzése után:
.
A
másik oldal-koszinusztételből:
,
és
innen:
.
bb)
Hátra van még itt is a segédföldrajzi (j*,l*) koordinátákból a (j,l) földrajzi koordináták
kiszámításának módja. Induljunk ki ismét az N pólus, a K(jK,lK) vetületi kezdőpont által
kijelölt N*(j0,l0) segédpólus és a P(j*,l*) pont által meghatározott
gömbháromszögből. Írjuk fel az N*
csúccsal szemközti oldalra az oldal-koszinusztételt:
Ebből
következik, hogy:
A
szinusztételből ismét
.
A
műveletek elvégzése után:
A
tgDl –ból
származtatandó képlethez írjuk fel az oldal-koszinusztételt az N csúccsal
szemközti oldalra:
,
Innen
fejezzük ki cosDl -t, és sinj -be helyettesítsük be az imént
kapott kifejezést. Összevonva és egyszerűsítve:
Ezt
felhasználva:
.
Végigosztva cosj* -gal, majd elvégezve az egyszerűsítést:
,
végül
ebből jön a l hosszúság:
.