A TÉRKÉPÉSZET VETÜLETEI

A térképvetületek jellemzése és rendszerezése

A térképvetületek kartográfiai alaptulajdonságai

A térképészet története során az alapfelület képfelületre való lehetséges leképezései nagy számban fordultak elő az elméleti kartográfiai vizsgálatokban, és ezek közül sokat alkalmaztak a térképszerkesztésben. E vetületek egy részével ma is találkozhatunk a földrajz, a geodézia vagy a topográfia térképeinél több-kevesebb gyakorisággal, másik része inkább tudománytörténetileg érdekes. A következőkben áttekintjük ezeket a vetületeket, és összefoglaljuk a lényeges kartográfiai tulajdonságaikat. A vetületek megadása elsődlegesen a leképezés matematikai leírásán keresztül, vagyis a vetületi egyenletek segítségével történik, amit általában egységnyi méretarányra vonatkoztatva adunk meg. (Konkrét térképi síkkoordináták kiszámításához a vetületi egyenleteket osztani kell a méretarányszámmal.) Ezt a vetületek jellemzése követi az alábbi szempontok alapján:

· A leképezés alapfelülete lehet gömb vagy forgási ellipszoid.

· A leképezés képfelülete alapvetően sík, de speciális esetben előfordulhat ettől eltérő, síkba fejthető képfelület (forgáshenger-palást, forgáskúp-palást).

· A leképezés a centrális vetítéssel való előállíthatóság szerint lehet perspektív vagy nem perspektív.

Perspektívnek azokat a vetületeket nevezzük, amelyeknél a leképezés centrális geometriai vetítéssel megvalósítható. Ehhez kijelölünk egy Q vetítési középpontot, és tetszőleges alapfelületi P ponthoz a QP vetítősugár képfelülettel való P’ döféspontját rendeljük (??? ábra). A képfelületet egyrészt síknak vagy síkba fejthetőnek, másrészt forgásszimmetrikusnak írjuk elő, ezért képfelületként a síkot, a forgáshenger palástját, valamint a forgáskúp palástját szokás számításba venni. A vetítés Q középpontját – szimmetria okokból, valamint a torzulások csökkentése céljából – a képfelület forgástengelyén helyezzük el. (Sík képfelület esetén ennek normálisai közül az alapfelület középpontján áthaladót tekinthetjük forgástengelynek.)

A képfelülettől függően tehát beszélhetünk perspektív sík-, henger- és kúpvetületekről (???ábra).

Perspektív vetület esetén a leképezés eredményét befolyásolja az alap- és képfelület egymáshoz viszonyított elhelyezkedése. Ennek két aspektusa van: az alap- és a képfelület forgástengelyének viszonya, valamint hogy az alap- és képfelületnek van-e közös pontja (vagy pontjai). (Gömb alapfelület forgástengelyének a pólusokon áthaladó természetes forgástengelyt tekintjük.)

Az alap- és képfelület forgástengelyeinek viszonya szempontjából a perspektív vetület lehet (???ábra):

- normális (poláris), ha a két forgástengely egybeesik;

- transzverzális (egyenlítői, ekvatoriális), ha a két forgástengely merőleges egymásra;

- ferdetengelyű (zenitális), ha a két forgástengely hegyesszöget zár be egymással.

Az alap- és képfelület közös pontjai szempontjából a perspektív vetület lehet (???ábra):

- érintő, ha az alap- és képfelület érinti egymást;

- metsző, ha a képfelület metszi az alapfelületet;

- külső elhelyezésű (extern), ha az alap- és képfelületnek nincsen közös pontja.

A forgásszimmetria miatt a normális elhelyezésű perspektív vetületek fokhálózata több szabályosságot mutat.

Egy rögzített parallelkör pontjaihoz tartozó vetítősugár egy olyan forgáskúp palástján fut végig, melynek forgástengelye egybeesik a képfelület forgástengelyével. A parallelkörök képei síkvetület esetén koncentrikus körök, hengervetület illetve kúpvetület esetén a hengerpalást illetve kúppalást forgástengelyre merőleges síkmetszetei lesznek (???ábra). Ez utóbbiak a síkba fejtés során párhuzamos egyenesekbe illetve koncentrikus körívekbe mennek át.

Egy rögzített meridián pontjaihoz tartozó vetítősugár ennek síkjából nem lép ki, mert e sík tartalmazza a közös forgástengelyt, következésképpen a vetítési középpontot is. A meridiánok képei tehát a meridián-síkoknak a képfelülettel (síkkal, hengerpalásttal, kúppalásttal) való metszésvonalai. A meridiánok képei ezért síkvetület esetén a pólus képén áthaladó egyenesek (másként: a meridián-képek sugársort alkotnak); hengervetület illetve kúpvetület esetén a hengerpalást illetve kúppalást forgástengellyel párhuzamos síkmetszetei (vagyis az alkotói) lesznek. Ez utóbbiak a síkba fejtés során párhuzamos egyenesekbe illetve egy ponton áthaladó egyenesekbe (sugársorba) mennek át. Könnyű belátni, hogy a parallelkörök és a meridiánok görbeseregei mindenütt merőlegesen metszik egymást.

A képfelületi derékszögű koordinátarendszer origóját síkvetület és kúpvetület esetén a parallelkörök közös középpontjában vesszük fel, ami megegyezik a meridián-egyenesek közös pontjával; az y-tengely negatív fele a általában a középmeridiánra vagy a kezdőmeridiánra kerül. Hengervetületeknél az origót célirányosan az egyenlítő és a középmeridián metszéspontjába helyezzük, az y-tengely itt többnyire a kezdőmeridiánnal esik egybe (???ábra).

· A vetület a fokhálózat jellege alapján lehet valódi vagy képzetes. Ezeket a tulajdonságokat a parallelkörök és a meridiánok alakja, valamint az ezek által bezárt szög merőlegessége alapján definiáljuk.

A valódi vetületek lényegében a perspektív vetületek általánosításai. Azokat a vetületeket nevezzük valódi vetületeknek, amelyeknek fokhálózata rendelkezik a perspektív vetületek fokhálózatának fenti szabályszerűségeivel. Pontosabban valódi vetületnek nevezünk egy vetületet, ha fokhálózatára teljesül az alábbi három tulajdonság:

- a parallelkörök képei vagy koncentrikus körök illetve körívek, vagy párhuzamos egyenesek;

- a meridiánok képei vagy egy ponton áthaladó, vagy párhuzamos egyenesek;

- a meridiánok és a parallelkörök képei mindenütt merőlegesen metszik egymást;

vagy pedig létezik olyan segédföldrajzi koordinátarendszer, melyben e három tulajdonság a segédparallelkörökre és a segédmeridiánokra teljesül.

Képzetesnek nevezünk egy vetületet, ha nem valódi, vagyis ha a fokhálózatra ill. a segédfokhálózatra a fenti három tulajdonság közül legalább az egyik nem teljesül.

A fentiek alapján a perspektív vetületek egyben valódi vetületek is, míg fordítva ez nem mondható el: azon valódi vetületek, amelyek nem állíthatók elő centrális vetítés útján, nem perspektívek.

· Bármely vetület lehet az alkalmazott fokhálózat-elforgatás szögétől függően transzverzális vagy ferdetengelyű, ha pedig nem történt elforgatás, akkor normális; a perspektív vetületek esetén ezek az alap- és képfelület forgástengelye által bezárt szög szerinti elhelyezéseknek felelnek meg.

· Fontos vetületi tulajdonság, hogy a (segéd-) fokhálózati vonalakon túl a nevezetes alapfelületi vonalak (ortodrómák, loxodrómák) milyen térképi vonalakra képeződnek le.

· A vetület egy további jellemzője az egész Föld vagy egy adott kisebb terület ábrázolásakor keletkező fokhálózati kontúrvonal alakja. A pólus megjelenése szempontjából beszélhetünk póluspontos vagy pólusvonalas vetületekről.

· A vetületi torzulások alapján a leképezés lehet szögtartó, területtartó vagy általános torzulású.

· A torzulási besoroláson túl jellemzik a vetületet a torzulásmentes helyek (pontok vagy vonalak).

· A torzulási besoroláson és a torzulásmentes helyeken kívül – főleg a térképszerkesztői vetületválasztásnál – jellemzik a leképezést a térkép pontjaiban fellépő különféle torzulások nagyságai és eloszlásuk az ábrázolandó területen. Itt leggyakrabban a t területi modulus és a 2w maximális szögtorzulás értékeit vizsgáljuk izovonalas ábrák segítségével. Ezek mellett érdekes lehet a parallelkör menti h és a meridián menti k hossztorzulások, valamint a maximális a és a minimális b hossztorzulások alakulása, továbbá a fokhálózati vonalak által bezárt térképi Q szögek nagysága. (A merőleges, másként ortogonális fokhálózatú vetületek közül azok tartanak számot érdeklődésre, amelyek nem szögtartók és nem normális valódi vetületek.)

· A térképi ábrázolás célja szerint a leképezés lehet geodéziai vagy földrajzi (kartográfiai).

A vetületek tulajdonságai alapvetően meghatározzák a térképészeti alkalmazásuk körét. A nagy- és közepes méretarányú (geodéziai, topográfiai) térképezéssel foglalkozó topokartográfia kialakította a saját, vetületekkel szemben támasztott követelményeit (elsősorban a mérhetőséget), és ehhez a saját vetületi repertoárját, amelyeket geodéziai vetületeknek nevezünk. Ettől lényegesen eltér a kisméretarányú (földrajzi) térképeket előállító geokartográfia követelményrendszere (a mérhetőség elé helyezve a szemléletességet és olykor esztétikai megfontolásokat), és természetesen eltér az alkalmazott – földrajzi, másként kartográfiai – vetületkészlet is. Ez utóbbin belül különböznek az általános földrajzi térképekkel és a tematikus térképekkel szemben támasztott vetületi követelmények.

Az egyes vetület-jellemzési szempontok ezért nem függetlenek egymástól. A geodéziai vetületek általában ellipszoid-alapfelületűek, szinte mindig szögtartók, a fokhálózat szempontjából pedig általában a valódi vetületekhez sorolhatók. Ezzel szemben a földrajzi vetületek kevés kivételtől eltekintve gömb alapfelületűek, túlnyomóan területtartók vagy általános torzulásúak, és a méretarány csökkenésével egyre nagyobb szerepet játszanak köztük a képzetes vetületek.

A vetületi torzulásokkal szembeni elvárások más megközelítésben is eltérnek. A topokartográfia térképein méréseket végzünk el, amelyekből a névleges méretarány segítségével valódi méretekre következtetünk vissza. Az ábrázolandó területen a torzulásoknak emiatt egy korlát alatt kell maradniuk, ami a térképi mérés hibájánál nagyobb nem lehet. A geodéziai vetületeknél ezért pl. elvárjuk, hogy a hossztorzulási modulus 1-től (vagyis a torzulásmentes állapottól) való eltérése 10^-4 –nél nagyobb ne legyen. A geokartográfia térképein méréseket kevésbé végzünk, ezért a torzulások mértékére nem adunk korlátot. Itt inkább az az elvárás, hogy a térképi méretek (hosszak, szögek, területek) arányai a megfelelő földi méretek arányaitól lehetőleg ne nagyon térjenek el. Speciális esetekben (pl. a propagandatérképeknél) az is előfordul, hogy éppen a torzulások növelése a cél.

A térképvetületek rendszerezése

A térképvetületek rendszerét a kartográfiai tulajdonságok szerint alakítjuk ki. A vetületek legelterjedtebb rendszerezésének az alapját a térképi fokhálózat jellege adja, eszerint a vetületek valódiak vagy képzetesek. E két nagy vetületi renden belül a felosztás a parallelkörök képe segítségével történik, amely lehet koncentrikus kör, körív vagy párhuzamos egyenes, esetleg egyéb vonal. Ugyanebbe a rendszerbe illesztjük be azokat a vetületeket, amelyeknél a segédfokhálózat jellegére, illetve a segédparallelkörök képére érvényesek a megfelelő tulajdonságok. Ezen osztályozás szerint tehát a valódi vetületeket felosztjuk valódi sík-, valódi henger- és valódi kúpvetületekre, a képzetes vetületeken belül pedig beszélhetünk képzetes sík-, képzetes henger-, képzetes kúpvetületekről és az egyéb képzetes vetületekről.

További alapvető csoportosítási szempontot képeznek a vetület torzulási tulajdonságai. A valódi vetületek csoportjaiban elsősorban a szögtartó, a területtartó és a meridiánban hossztartó vetületeket emeljük ki, amelyeken belül a torzulásmentes helyek elhelyezkedése szerint további differenciálás történik. A képzetes vetületek csoportjaiban a meridiánvonalak típusa alapján alakítunk ki részcsoportokat, amelyeken belül a torzulási besorolás ad további differenciálási lehetőséget. Mindkét nagy vetületi renden belül figyelembe vesszük a kontúrvonal alakját mint tulajdonságot.

A valódi vetületek körében ezeken túl megkülönböztetjük a perspektív és nem-perspektív vetületeket, a képzetes vetületeken belül pedig kiemeljük az ortogonális fokhálózatúakat.

A vetületek legrészletesebb rendszerét H. Maurer [???] dolgozta ki 1935-ben.

A térképvetületek elnevezése

A vetületek elnevezése a vetületek rendszerén belül elfoglalt helye alapján és egyéb tulajdonságai segítségével általában megadható (pl. „meridiánokban és egyenlítőben hossztartó valódi hengervetület”, vagy „a ferdetengelyű, 30° és 60° segédszélességeken hossztartó, területtartó valódi kúpvetület a 45° szélességű és 0° hosszúságú segédpólussal”). Hogy ne kelljen ezeket a hosszú neveket használni, sok vetület megjelölésére használják a vetület megalkotójának vagy első alkalmazójának a nevét, vagy más rövid elnevezést (amely esetünkben a „négyzetes hengervetület”, vagy az „Albers féle kúpvetület”, és természetesen kiegészítendő a többi paraméterrel). Az elnevezés utalhat a vetület származtatására („ortografikus vetület”) vagy valamely fontos alaptulajdonságára („loximutális vetület”).