EGYÉB KÉPZETES VETÜLETEK

 

A képzetes henger-, kúp- és síkvetületeken kívül még igen sok képzetes vetületet ismerünk. Közös tulajdonságuk, hogy sem a fokhálózatra, sem a vetületi egyenletekre nézve semmilyen kikötés sincsen. Ebből adódóan lehetnek közöttük mind szögtartók, mind területtartók, mind általános torzulásúak. A torzulási függvények: a fokhálózat menti torzulások, a maximális és minimális hossztorzulások, stb. emiatt csak a bármely vetületre vonatkozó legáltalánosabb képletek alapján számíthatók.

 

Részletesebben azokkal foglalkozunk, amelyek a gyakorlatban sűrűn kerülnek alkalmazásra. Ezeken túl megemlítünk néhányat, amelyek vagy elméleti szempontból nevezetesek, vagy érdekességként ismertek.

 

 

Aitoff vetülete

 

Célunk, hogy az egész Földet egy olyan ellipszis kontúrban jelenítsük meg, amelynek nagytengelye - az egyenlítő képe - kétszer akkora, mint a kistengely - a középmeridián képe, és az egyenlítő meg a középmeridián hossztartó. Arra törekszünk továbbá, hogy a kontinensek kevésbé torzuljanak, mint a korábban tanult, ugyanezen tulajdonságokkal rendelkező Apianus II. képzetes hengervetülete.

 

Kiindulásul írjuk fel a féltekét körkontúrban ábrázoló transzverzális Postel féle síkvetületet. Ehhez először adjuk meg  sinl*  és  cosl*  képletét transzverzális elhelyezés esetén. Az  N  csúccsal szemközti oldalra felírt gömbháromszögtani oldal-koszinusz tétel szerint (ld. ??? ábra):

           

Ugyancsak az oldal-koszinusz tétel átrendezéséből, melyet az  N*  csúccsal szemközti oldalra írtunk fel:

 

 

E képletek felhasználásával Postel transzverzális vetületének egyenletei:

és hasonlóan

           

A határoló meridiánok - a jobb és baloldali kontúrvonalak -  l=±90° behelyettesítésekor adódnak.

 

Hajtsunk most végre egy  -szörös merőleges affinitási transzformációt az  y  tengelyre merőlegesen és egy  -szöröset az  x  tengelyre merőlegesen, ami az  x  vetületi egyenlet  -vel, az  y  vetületi egyenlet  -vel való beszorzásával valósítható meg. Ennek hatására a félteke a kívánt alakú ellipszisre képeződik le. Ha ezen az ellipszisen az egész Földet akarjuk ábrázolni, akkor egy Wagner-transzformációt kell végrehajtanunk  m=1  és  n=1/2  mellett. Képletben:

           

           

,

végül

             ;

és

           

           

 ,

tehát

           

 

A vetületi egyenletekből látható, hogy    és  , ezért az egyenlítő és a középmeridián hossztartó.

 

A torzulásokat az alábbi parciális deriváltakból számíthatjuk:

           

           

Minthogy Postel vetülete általános torzulású volt, az erre végrehajtott merőleges affinitási transzformációk és a Wagner-transzformáció ezen nem változtatott, így Aitoff vetülete is általános torzulású.

 

A Föld képe Aitoff vetületében a ??? ábrán látható.

 

Ez az 1889-ben publikált vetület David Aitoff (!4H@&) orosz kartográfustól származik. Újabban világtérképek vetületeként alkalmazzák. Átszámozott fokhálózatú változatai (ívelt pólusvonallal) kedvező átlagos torzultságuk miatt elterjedőben vannak.

 

 

Hammer vetülete

 

Az Aitoff vetület mintájára hozzunk létre területtartó képzetes vetületet ellipszis-kontúrban. Ehhez induljunk ki a féltekét kör alakban ábrázoló transzverzális Lambert féle síkvetületből, melynek vetületi egyenletei az alábbiak:

és

 

 

(Itt  sinl*  és  cosl*  fenti képletén kívül felhasználtuk, hogy

 .)

 

Ismételjük meg Aitoff eljárását a transzverzális Lambert féle síkvetületre: hajtsunk végre egy  -szörös merőleges affinitási transzformációt az  y  tengelyre merőlegesen és egy  -szöröset az  x  tengelyre merőlegesen, valamint egy Wagner-transzformációt  m=1  és  n=1/2  értékekkel. Az eredmények - Hammer vetületének egyenletei - képletben:

           

           

és

           

           

Hammer vetülete az egész Földet ellipszis kontúrban ábrázolja, éspedig – mivel mind a fenti  x  és  y  irányú merőleges affinitások együttes hatása, mind a Wagner transzformáció a területtartást megőrzi – a kapott vetület területtartó.

 

A torzulások részletesebb meghatározásához szükségünk lehet a parciális deriváltakra:

           

           

 

A Föld képe Hammer vetületében a ???. ábrán látható.

 

??? Hammer német térképész ezt a vetületet 1892-ben publikálta. Területtartó világtérképek vetületeként napjainkban igen kedvelt. Átszámozott változatban (ívelt pólusvonallal) is használják.

 

Pécsi Albert földrajztudós 1930-ban a Föld legfontosabb termőterületeinek ábrázolására olyan ferdetengelyű Hammer féle vetületet használt, amelynél a vetületi kezdőpont a Greenwich-i meridián 30°-os szélességén helyezkedik el. A segédegyenlítő (és ezzel az előnyös torzulású zóna) beállítása következtében a kedvező adottságú mezőgazdasági területek összességükben kevéssé torzulnak. Pécsi ezt a vetületet a „termelés térképvetületének” nevezte.

 

A Bartholomew cég atlaszában használt ferdetengelyű Hammer féle vetület vetületi kezdőpontja a 45° É-i szélességre, Ny-Európába kerül („Nordic” vetület). A kontinensek alakjának deformációja itt jóval enyhébb, mint a normális elhelyezés esetén. A Föld képe e vetületben a ??? ábrán látható.

 

 

Winkel vetülete

 

Készítsük el egy meridiánban és a  j0  szélességi körön hossztartó valódi hengervetületnek és Aitoff vetületének a keverékét, külön átlagolva az  x  és az  y  vetületi egyenleteket. Ekkor

           

           

 

A vetület pólusvonalas; a pólusvonal egyenes, hossza a valódi hengervetület hossztartó parallelköre hosszának a fele. Az egyenlítő ekvidisztáns, hossza a hossztartó egyenlítő és a hossztartó parallelkör hosszának átlaga, tehát itt hosszrövidülés lép fel. A középmeridián hossztartó. A  j0  szélességet Winkel 50° 28’-ben adta meg. Később a  j0=40°  választás terjedt el.

 

A torzulások kiszámítása az alábbi parciális deriváltakon át lehetséges.

           

           

Winkel vetülete általános torzulású. Az átlagos torzultsága a gyakorlatban használt vetületek között a legkisebb, a kontinensek alakjai csak csekély mértékben deformálódnak.

 

A Föld képe Winkel vetületében (a  j0=40°) a ??? ábrán látható.

 

Oswald Winkel "Tripel"-nek nevezett vetületét 1921-ben hozta nyilvánosságra. Az európai geokartográfia, de kivált a német nyelvterület egyik legkedveltebb vetülete világtérképek számára. Iskolai térképekhez is használják.

 

 

Littrow vetülete

 

A parallelkörök képei ellipszisek, a meridiánok képei hiperbolák. (Az ilyen fokhálózattal rendelkező vetületek összességét "von der Mühl vetületcsaládnak" nevezik.) A parallelköröket ábrázoló ellipszisek és a meridiánokat ábrázoló hiperbolák közös fókuszú görbeseregek, ennél fogva a fokhálózat ortogonális.

 

A vetületi egyenletek:

 

A félteke képe a teljes sík; a fél egyenlítő a két fókuszpontot összekötő egyenes szakaszra, a ±90°-os határoló meridiánok az ennek folytatásában elhelyezkedő két félegyenesre képeződnek le. A torzulások a parciális deriváltakból következnek:

           

           

           

           

Ezekből kiszámítható, hogy ctgq =0 (azaz  q =90°), továbbá  h=k;  következésképpen a vetület szögtartó. A meridiánok a pólusok felé haladva széttartanak, emiatt a területtorzulások a magasabb szélességeken rohamosan nőnek.

 

A K-i félteke nagy részének képe Littrow vetületében a ??? ábrán látható.

 

Joseph Johann Littrow osztrák csillagász 1833-ban mutatta be vetületét. Gyakorlati jelentősége csekély, a XX. században a vetületek csoportosításának elméleti kérdései irányították rá a figyelmet.