(Térképek ismeretlen
vetületének meghatározása)
A
térképhasználat során gyakran szükségünk van a vetület ismeretére, mert ebből következtethetünk a térképünkön
fellépő torzulásra. A torzulások ismerete szükséges a földi méretviszonyok
térképi alapú visszakövetkeztetésére, a térképen végzett mérésekhez meg
egyenesen nélkülözhetetlen. A vetület birtokában a szelvényhez csatlakozó területekkel térképünket
korrektül kiegészíthetjük, a térkép másolásánál vagy nagyításánál objektumok
pontos helyét meghatározhatjuk. A vetületi egyenletek illetve inverzük
segítségével tudjuk a térképi pont földrajzi koordinátáit egzaktul megadni,
ezért a derékszögű koordinátákat szolgáltató térképdigitalizálás
eredménye is csak ismert vetület esetén értelmezhető maradéktalanul..
Egy
térkép vetületét akkor tekintjük
ismertnek, ha a vetületi egyenletek az összes paraméterükkel, valamint a
vetületre vonatkozó egyéb mennyiségek (segédpólus koordinátái, elforgatás
mértéke a poláris és segédpoláris tengely körül) a
szükséges pontossággal rendelkezésre állnak.
A vetületanalízis célja ismeretlen vagy
csak részben ismert vetületű térkép vetületének meghatározása. A gondosan
szerkesztett térképen a vetületet általában feltüntetik, azonban ez sem mindig
elegendő a vetületi egyenletek teljes rekonstruálásához; többnyire ilyenkor is
szükséges bizonyos adatok, paraméterek meghatározása. A térképek jelentős
részénél azonban a vetületre csak semmitmondó utalás található, esetleg az sem.
Az atlaszoknál gyakran megadják az alkalmazott vetület fajtáját, de
részletesebb specifikációk, adatok, paraméterek többnyire ott is hiányoznak.
Előfordul, hogy a rendelkezésre álló adatok alapján nem tudunk pontos
eredményre jutni; ilyenkor megelégszünk kevesebb vetületi információval, ha
azok a térképhasználathoz egyenlők.
Kis-
és közepes méretarányú térképeknél a vetületanalízis kiindulópontja a térkép fokhálózata. Ha az ábrázolt terület
elég nagy ahhoz, hogy a fokhálózati vonalak jellegét felismerhessük, akkor erre
alapozva Érdi-Krausz György [???] fejlesztett ki vetületmeghatározási
rendszert. Ennek alapelveit követve az alábbi főcsoportokat állítjuk fel:
1. A parallelkörök képei
párhuzamos egyenesek; a meridiánok képei párhuzamos egyenesek
2. A parallelkörök képei
párhuzamos egyenesek; a meridiánok képei egyéb vonalak
3. A parallelkörök képei
koncentrikus zárt körök; a meridiánok képei egy pontba összetartó egyenesek
4. A parallelkörök képei
koncentrikus zárt körök; a meridiánok képei egy pontba összefutó görbék
5. A parallelkörök képei
koncentrikus nyílt körívek; a meridiánok képei egy pontba összetartó egyenesek
6. A parallelkörök képei
körívek, a meridiánok képei egyéb vonalak
7. A parallelkörök képei
hiperbolák, a meridiánok párhuzamos egyenesek
8. A parallelkörök képei
kúpszeletek (ellipszisek, parabola és hiperbolák), a meridiánok összetartó
egyenesek
9. A paralelkörök képei
ellipszisívek, a meridiánok képei ellipszisívek
10. A parallelkörök képei
hiperbolák; a meridiánok képei ellipszisek
11. A parallelkörök képei görbe
vonalak; a meridiánok képei görbe vonalak
Ezeken
a főcsoportokon belül a vetületcsalád meghatározása és a további pontosítás már
több szempont (a fokhálózat merőlegessége, az osztásközök egyenlősége vagy
változása, a kontúrvonal alakja, a szimmetriatengelyek száma és helye, stb.)
alapján végezhető el. A pontosítás általában nem igényel mérést, legfeljebb az
osztásközök egyenlőségének vagy különbözőségének, illetve a fokhálózat
merőleges vagy nem-merőleges voltának megállapítását teszi szükségessé.
Mielőtt
a főcsoportokra rátérnénk, foglalkoznunk kell röviden a fokhálózat merőlegességének kérdésével. Önmagában az ortogonális
fokhálózat kevés támpontot nyújt a vetület meghatározásához. Ilyen
tulajdonsággal rendelkezik pl. valamennyi szögtartó vetület, továbbá a normális
valódi vetületek. Vannak ezeken kívül nem szögtartó ortogonális fokhálózatú
vetületek is. Azonban ha egy vetület transzverzális vagy ferdetengelyű
elhelyezésben is megőrzi a fokhálózat merőlegességét, akkor az csak szögtartó lehet.
Az
alábbiakban áttekintjük a főcsoportokat.
1.
A parallelkörök képei párhuzamos egyenesek; a
meridiánok képei párhuzamos egyenesek: NORMÁLIS VALÓDI HENGERVETÜLET
A fokhálózat képének vonalai egymást merőlegesen metszik. A meridiánok képei a parallelköröket egyenközűen metszik.
A
meridiánok mentén fellépő osztásközök nagyságának változása utal a konkrét
hengervetületre.
a) A meridiánok képeit a
parallelkörök egyenközűen metszik - a valódi hengervetület nyilván meridiánokban hossztartó. A vetület
egyaránt lehet egyenlítőben vagy két parallelkörben hossztartó, ami az
osztásközök aránya alapján választható szét.
b) A parallelkörök távolsága az
egyenlítőtől a pólusok felé csökken – a valódi hengervetület feltehetőleg területtartó. A vetület egyaránt lehet
egyenlítőben vagy két parallelkörben hossztartó.
c) A parallelkörök távolsága az
egyenlítőtől a pólusok felé növekszik –
a valódi hengervetület valószínűleg szögtartó,
de lehet esetleg perspektív is. A pólusvonal mindkét
esetben a végtelenbe távolodik. Az azonosítás a vetületi egyenletek alapján
történhet. A vetület egyaránt lehet egyenlítőben vagy két parallelkörben
hossztartó.
2. A parallelkörök képei párhuzamos egyenesek; a meridiánok
képei egyéb vonalak: NORMÁLIS KÉPZETES HENGERVETÜLET
A
fokhálózati képének szögei változnak. A fokhálózat képe általában nem csak a középmeridiánra,
hanem az egyenlítőre is szimmetrikus (kivételt képez a loximutális vetület).
A
vetületcsoport megállapítása a meridiánok képének jellege alapján történik. A
további pontosítás egyrészt a pólus képe alapján (pólusvonal vagy póluspont),
másrészt a parallelkörök távolsága alapján lehetséges.
A leggyakoribb vetületcsoportok:
a) A meridiánok
képei körívek.
Póluspontos, a középmeridián és az egyenlítő hossztartó: Apianus I. vetülete.
Póluspontos,
az egyenlítő hossztartó, a teljes Föld képe kör alakban jelenik meg: van der Grinten
III. vetülete.
A
félgömb képe körkontúrban, hossztartó középmeridiánnal és egyenlítővel jelenik
meg, a ±90°-os hosszúságtól a térkép
széléig a meridiánok képe félkörív: Ortelius vetülete.
b) A meridiánok képei ellipszisívek.
A
póluspontos vetületek a teljes Föld képét ellipszis kontúrban jelenítik meg.
Közülük ekvidisztáns középmeridiánja van Apianus II. vetületének, míg az egyenlítő
felől a sarkok felé sűrűsödő parallelkörök a területtartó Mollweide féle vetületet valószínűsítik.
Körkontúrban ábrázolt félgömb és a sarkok felé csökkenő távolságú parallelkörök
esetén viszont transzverzális gnomonikus vetülettel van dolgunk.
A
pólusvonalas vetületek közül egyenközű középmeridián tartozik Eckert III. és Kavrajszkij II. vetületéhez (előbbiben a meridiánok érintőlegesen, az
utóbbiban töréssel csatlakoznak a pólusvonalakhoz). A parallelkörök távolsága
az egyenlítőtől a sarkok felé csökken Eckert
területtartó IV. vetületénél.
c) A meridiánok képei ellipszisívekből összetevődő ívek.
Baranyi leggyakrabban előforduló
vetületei póluspontosak. Egyenközű parallalkörök
jellemzik a II. vetületet. Ha
viszont a meridiánok távolsága a középmeridiántól a határoló meridiánok felé
csökken, akkor a IV. vetülettel van
dolgunk.
Hasonló
meridiánképei vannak a pólusvonalas Robinson féle vetületnek is.
e) A meridiánok képei szinuszívekhez csatlakozó ellipszisívek.
Póluspontja
van az Érdi-Krausz féle vetületnek.
Több
póluspont jelenik meg a Goode féle vetületen.
f) A meridiánok képei az egyenlítőnél megtörő egyenesek.
Póluspontos
az ekvidisztáns középmeridiánú Donis féle vetület, valamint a területtartó Collignon féle vetület.
Pólusvonalas
Eckert I. és Eckert területtartó II.
vetülete.
3. A
parallelkörök képei koncentrikus zárt körök; a meridiánok képei egy pontba
összetartó egyenesek: NORMÁLIS VALÓDI SÍKVETÜLET
A fokhálózat képének vonalai egymást merőlegesen metszik. A meridiánok képei által bezárt szögek megegyeznek a meridiánok által az alapfelületen bezárt szöggel („azimutálisság”).
A
meridiánok mentén fellépő osztásközök nagyságának változása utal a konkrét
síkvetületre.
a) A meridiánok képeit a
parallelkörök egyenközűen metszik - a valódi síkvetület nyilván meridiánokban hossztartó (Postel féle vetület).
b) A parallelkörök távolsága a
pólustól távolodva csökken –feltehetőleg területtartó
(Lambert féle) vetület.
c) A parallelkörök távolsága a
pólustól távolodva gyorsan csökken és félgömbnél nagyobb terület nem is
ábrázolható – ortografikus síkvetület.
d) A parallelkörök távolsága a
pólustól távolodva növekszik –valószínűleg szögtartó
(sztereografikus) síkvetület.
e) A parallelkörök távolsága a
pólustól távolodva gyorsan növekszik és már félgömbnyi terület sem ábrázolható
– feltehetőleg gnomonikus
síkvetület.
4. A parallelkörök képei koncentrikus zárt körök; a
meridiánok képei egy pontba összefutó görbék: NORMÁLIS KÉPZETES SÍKVETÜLET
A meridiánok képeinek
pólusbeli érintői által bezárt szögek megegyeznek a meridiánok által az
alapfelületen bezárt szöggel („azimutálisság”). A
parallelkörök távolsága lehet állandó vagy a pólustól távolodva csökkenő.
5. A parallelkörök képei koncentrikus nyílt körívek; a
meridiánok képei egy pontba összetartó egyenesek: NORMÁLIS VALÓDI KÚPVETÜLET
A fokhálózat képének
vonalai egymást merőlegesen metszik. A meridiánok képei és a meridiánok által
bezárt szögek n aránya állandó (0<n<1).
A
meridiánok mentén fellépő osztásközök nagyságának változása utal a konkrét
kúpvetületre.
a) A meridiánok képeit a
parallelkörök egyenközűen metszik - a valódi kúpvetület nyilván meridiánokban hossztartó. Lehet egy (Ptolemaios féle)
vagy két (de l’Isle
féle) hossztartó parallelköre.
A
hossztartó parallelkör(ök) meghatározása a
sugárhajlás és a parallelkörök sugara ismeretében lehetséges.
b) A parallelkörök távolsága a
hossztartó parallelkör(ök)től
távolodva csökken –feltehetőleg területtartó
kúpvetület.
Póluspontos
az egy parallelkörben hossztartó Lambert
féle kúpvetület.
Pólusvonal
esetén lehetséges egy vagy két hossztartó parallelkörös változata (utóbbi az Albers féle
vetület).
A hossztartó parallelkör(ök) meghatározása a sugárhajlás és a parallelkörök sugara ismeretében lehetséges.
c) A parallelkörök távolsága a
hossztartó parallelkör(ök)től
távolodva nő – feltehetőleg szögtartó, esetleg
perspektív kúpvetület.
A
szögtartó kúpvetületnek lehet egy vagy két parallelkörben hossztartó változata
(utóbbi a Lambert-Gauss féle
vetület).
A
hossztartó parallelkör(ök) meghatározása a
sugárhajlás és a parallelkörök sugara ismeretében lehetséges.
6. A parallelkörök képei körívek, a meridiánok képei egyéb
vonalak: KÉPZETES KÚPVETÜLET
a)
A parallelkörök képei koncentrikus körívek, a meridiánok egyéb vonalak (nem
összetartó egyenesek): Igazi képzetes
kúpvetületek
Póluspontos,
a középmeridián és a parallelkörök hossztartók: Bonne féle vetület
b)
A parallelkörök képei nem-koncentrikus
körívek, melyek sugarát az r=ctgφ képlet adja meg; a meridiánok képei egyéb
vonalak (nem körívek): Polikónikus
vetület
A polikónikus vetület középmeridiánban ekvidisztáns
változata lehet területtartó, ortogonális (derékszögű fokhálózatú),
parallelkörökben hossztartó (egyszerű
vagy közönséges) polikónikus
vetület. Egyenes meridiánképek, melyekből kettő ekvidisztáns: módosított
polikónikus vetület. A középmeridiánon az
osztásközök az egyenlítőtől a sarkok felé növekednek: szögtartó polikónikus vetület.
c)
A parallelkörök képei nem-koncentrikus
körívek, melyek sugara más képletből számítható; a meridiánok képei egyéb
vonalak: Pszeudopolikónikus
vetület.
ca)
A meridiánok képei körívek: Lagrange vetületcsalád.
caa)
A fokhálózati vonalak egymást derékszögben
metszik: szögtartó módon a teljes Földet ábrázolja Lagrange vetülete; kisebb területet ábrázol a transzverzális és ferdetengelyű sztereografikus vetület; nem
szögtartó van der Grinten
II. vetülete.
cab)
A fokhálózati vonalak nem alkotnak derékszögű hálózatot: körkontúrban félgömböt
ábrázol Nicolosi
vetülete; körkontúrban az egész Földet ábrázolja van der Grinten I. vetülete; két
egymáshoz töréssel csatlakozó (félkörnél nagyobb) körív által határolt idomban
az egész Földet ábrázolja van der Grinten IV. vetülete.
cb)
A meridiánok képei egyéb vonalak (nem körívek):
Az
egész Földet ábrázolja pólusvonallal, hossztartó középmeridiánnal a CNIIGAiK (1950) polikónikus
vetülete.
7. A parallelkörök képei hiperbolák, a meridiánok párhuzamos egyenesek: transzverzális gnomonikus
vetület.
8. A parallelkörök képei kúpszeletek
(ellipszisek, parabola és hiperbolák), a meridiánok összetartó egyenesek:
ferdetengelyű gnomonikus vetület.
9. A paralelkörök képei ellipszisívek, a
meridiánok képei ellipszisívek
a)
A meridiánok és az egyenlítő képét alkotó ellipszisívek centruma megegyezik,
legfeljebb félgömbnyi területet ábrázol a
ferdetengelyű ortografikus vetület.
b) Az ábrázolt terület
egy tórusz
külső felületének perspektív képén jelenik meg pólusvonallal
az Armadillo vetületnél.
10. A parallelkörök képei hiperbolák; a
meridiánok képei ellipszisek: von der Mühl vetületcsalád
A
fokhálózati vonalak közös fókuszpontú,
egymást merőlegesen metsző görbesereget alkotnak a Littrow féle vetületnél.
11. A parallelkörök képei görbe vonalak; a meridiánok képei
görbe vonalak.
a)
A középmeridián képe egyenes és szimmetriatengely, az egyenlítő képe egyenes és
szimmetriatengely, a többi fokhálózati vonal képe nem azonosítható jellegű
görbe vonal
aa)
A pólus képe pont: a Földet ellipszis kontúrban ábrázolja Aitoff vetülete (ekvidisztáns egyenlítővel) és Hammer területtartó vetülete (melynek egyenlítőjén az osztásközök a
középmeridiántól távolodva csökkennek); sugárirányban azonosan változnak a
torzulások a transzverzális
síkvetületeknél, a középmeridiánra merőleges irányban azonosan változnak a
torzulások a transzverzális hengervetületeknél.
ab)
A pólus képe egyenes vonal Winkel vetületénél.
ac)
A pólus képe konkáv görbe vonal Aitoff és Hammer
átszámozott fokhálózatú változatainál (előbbi vetületben az egyenlítő
egyenközű, utóbbinál az osztásközök a középmeridiántól távolodva csökkennek).
b)
A középmeridián képe egyenes és szimmetriatengely, de nincs több
szimmetriatengely; a többi fokhálózati vonal képe nem azonosítható jellegű
görbe vonal: sugárirányban azonosan változnak a torzulások a ferdetengelyű síkvetületnél és a ferdetengelyű kúpvetületnél; a középmeridiánra merőleges irányban
azonosan változnak a torzulások a ferdetengelyű
hengervetületnél.
c)
Az egyenlítő képe a pólusban megtörő egyenes és lokálisan szimmetriatengely, a
középmeridián lokálisan szimmetriatengely; a többi fokhálózati vonal képe nem
azonosítható jellegű görbe vonal a transzverzális
kúpvetületeknél.
d)
Megjegyezzük, hogy - igen ritkán - előfordul olyan térkép, melynek fokhálózata
nem szimmetrikus. Ilyen képet ad pl. Chamberlain trimetrikus
vetülete, azonban az e vetületben ábrázolt terület rendszerint nem elég nagy
ahhoz, hogy a fokhálózat aszimmetriája szembetűnő legyen.
A névleges méretarány megállapítása
Gyakran
szükségünk van a névleges méretarány kiszámítására vagy ellenőrzésére. Ez
legegyszerűbben a hossztartó vonalak
mentén történhet meg. Két jól azonosítható pont közötti térképi ív hosszát kell
ilyenkor a számított alapfelületi hosszal osztani.
Hossztartó
vonal híján kereshetünk állandó
hossztorzulású vonalat. Ekkor az eljárás a hossztartó vonalnál mondottakhoz
hasonlóan történik, azzal a kiegészítéssel, hogy a nevezőben szereplő
alapfelületi vonal hosszát beszorozzuk a hossztorzulási tényezővel. Torzulásmentes pont környékén
kiválasztott két pont képfelületi és alapfelületi távolságának hányadosa
közelítőleg szintén a névleges méretarányt adja meg.
Számolást
is igényel a vetületi függvények (vetületi egyenletek, sugárfüggvény)
felhasználása. Ismert síkvetület vagy kúpvetület esetén célszerű a sugárirányú
távolságot osztani a sugárfüggvényből kiszámított mennyiséggel. Ismert
hengervetületnél az Egyenlítő és valamelyik szélességi kör térképi távolsága
osztandó az y vetületi egyenletből a
megfelelő szélesség behelyettesítésével kapott értékkel. Általánosabban,
bármely pontnak az egyik tengelytől vett távolságát osztva azzal a
mennyiséggel, amelyet a megfelelő vetületi egyenletből kapunk a pont
koordinátáinak behelyettesítésével, a névleges méretarányt kapjuk meg.
(Megjegyzendő, hogy itt a vetületi függvényeknek mindig a földsugárral
beszorzott alakját kell használni.)
Vetületi információk fokhálózattal
rendelkező térképen
Tételezzük
fel, hogy a térkép több, elszórtan elhelyezkedő pontjában - melyek lehetőleg
mind a középmeridián környékéről, mind attól távolabbról származnak - a
fokhálózat alapján közelítőleg meghatároztuk a torzulási ellipszis adatait és
az ebből kiszámítható torzulási mennyiségeket. Ezekből szintén
következtethetünk a vetület milyenségére.
Ha
a torzulási ellipszisek mindenütt körök, akkor szögtartó vetületet, ha a
féltengelyek egymás reciprokai, akkor területtartó
vetületet feltételezhetünk. Ha egy vonal mentén a torzulási ellipszis
rádiuszvektorai egységnyiek, akkor a vonal valószínűleg hossztartó.
Ha
a torzulási ellipszis tengelyei minden pontban párhuzamosak, akkor nyilván
valódi hengervetülettel van dolgunk, és a tengelyirányok a (segéd-) fokhálózati
vonalak irányát jelölik ki. Ha a tengelyek mind egy pont irányába mutatnak,
akkor vagy valódi sík-, vagy kúpvetületről van szó; e tengelyirányok a (segéd-)
meridiánok irányát adják meg. Az egységnyi féltengelyek nyilván a (segéd-) normálparallelkör helyét jelzik.
Ha
a tengelyirányok egybeesnek a fokhálózati vonalak irányával, akkor ortogonális
fokhálózatú vetülettel van dolgunk.
Vetületi információk fokhálózat nélküli
térképen
Ha
a térképen nincs fokhálózat, akkor a torzulási ellipszisek a szokásos módon nem
szerkeszthetők fel. Ebben az esetben keresnünk kell a térképen olyan pontokat,
amelyek egy adott ponttól mint középponttól egyenlő alapfelületi távolságra
helyezkednek el. (Ilyen pontok lehetnek települések, vagy más, a síkrajz
alapján jól azonosítható helyek.) Most e pontokon keresztül vonalat húzunk,
amely elvileg egy - az adott középpontra vonatkoztatott - közelítő torzulási
ellipszist ad meg. Ha több ilyen közelítő ellipszist elkészítünk a térkép
különböző pontjában, akkor a fentiekhez hasonló következtetéseket vonhatunk le.
Vigyázzunk azonban: e közelítő torzulási ellipszisek méretei csak akkor
hasonlíthatók össze, ha a különböző középpontokhoz tartozó alapfelületi távolságok
ugyanakkorák.