III. A TÉRKÉPVETÜLETEK ALKALMAZÁSA

 

 

N) A TÉRKÉPVETÜLETEK ALKALMAZÁSA A GEODÉZIÁBAN

ÉS A NAVIGÁCIÓS HELYMEGHATÁROZÁSBAN

A navigációban és a geodéziában általában pontok helyzetét határozzuk meg a tájékozódáshoz vagy a Föld felszínén levő természetes alakzatok és mesterséges objektumok alakjának rögzítéséhez. A pontok rögzítése történhet földrajzi koordináták vagy (az alábbiakban méterben megadottnak tekintett) térképi síkkoordináták segítségével. A matematikai jelölésmóddal ellentétben a geodéziában rendszerint a középmeridián képét tekintjük  x  tengelynek, egyben ez jelöli ki a hálózati É-i irányt; erre merőleges az  y  tengely. A következőkben bemutatjuk azokat a fontosabb koordinátarendszer-kialakításokat, amelyeket a leképezésekhez kapcsolódva a geodézia és navigáció használ a fenti célokra.

 

a)      Magyarországi geodéziai koordinátarendszerek

 

a) Budapesti sztereografikus koordinátarendszer

 

A budapesti sztereografikus rendszer alapfelülete a Bessel-ellipszoidon alapuló HD1863 dátum. A kezdőmeridián a gellérthegyi felsőrendű háromszögelési ponton megy keresztül. A  F, L  ellipszoidi földrajzi koordinátákat két lépésben („kettős vetítéssel”) számítjuk át síkkoordinátákká (???ábra). Első lépésben a Gauss-féle kis hossztorzulású szögtartó gömbvetülettel kapjuk az ún. régi Gauss-simulógömbön (R = 6 378 512.966 m) a  j, l  gömbi földrajzi koordinátákat (ahol a gömbi kezdőmeridián szintén a gellérthegyi ponton halad át):

           

           

A leképezés paraméterei a hossztartó parallelkörből (ellipszoidi szélessége Fn= 46° 32' 43,410 41", gömbi szélessége jn= 46° 30' 0,000 00") határozhatók meg:

            n= 1.000 751 489 594

k= 1.003 016 135 133

Használjuk még a számolásokhoz a Bessel-ellipszoid első excentricitását:

            e= 0.081 696 683 121 57.

 

A második lépésben egy ferdetengelyű sztereografikus síkvetület adja a síkkoordinátákat (???ábra). A vetületi kezdőpont a gellérthegyi felsőrendű háromszögelési pont Gauss-gömbi képében van, melynek koordinátái:

            j0Bp = 47° 26' 21,1372"

            l0Bp = 0° 0’ 0”

(E pont Bessel ellipszoidi koordinátái Ferro-i hosszúsággal megadva:

            F0Bp = 47° 29' 09,6380"

            L0Bp = 36° 42' 53,5733".)

 

A DNy-i tájékozású síkkoordináta-rendszer tengelyei a gellérthegyi ponton átmenő meridián és a rá merőleges főkőr egyenesként megjelenő képei. A síkkoordinátákat a  j, l  földrajzi koordinátájú pontban az alábbi képletekkel számíthatjuk ki:

           

           

 

A ferdetengelyű budapesti sztereografikus síkvetület inverz vetületi egyenletei is felírhatók explicit alakban. A budapesti sztereografikus xBp, yBp  koordináták ismeretében az alábbi egyenletek adják a gömbi  j  szélességet és  l  hosszúságot:

           

           

ahol

           

 

A gömbi földrajzi koordinátákból egy iterációs eljárás felhasználásával számíthatók ki a Bessel-ellipszoidi szélességek:

           

ahol a jobboldali képletbe egy  F’-t behelyettesítve  kapjuk a javított  F”-t.  (F’ kezdőértékének a j  gömbi szélességet választva, 3-4 iterációval már kielégítő pontosság érhető el.) Az ellipszoidi hosszúság képlete:

            .

(Az inverz képletben szereplő n, k, e  konstansok a direkt képletek fenti konstansaival egyeznek meg.)

 

A polgári topográfiai felmérés 1857-től, a katonai topográfiai térképezés 1927-től alkalmazta a budapesti sztereografikus rendszert. A hossztorzulásokat a ???ábra szemlélteti.

 

b) Marosvásárhelyi sztereografikus koordinátarendszer

 

A vetületi torzulások csökkentésére a Királyhágón túli területeken 1880-tól bevezették az ún. marosvásárhelyi sztereografikus rendszert. A HD1863 dátumhoz illesztett régi Gauss-simulógömbről egy új síkra vetítettek (???ábra). Ennek vetületi kezdőpontja a Marosvásárhelytől ÉNy-ra fekvő Kesztej-hegy háromszögelési pont gömbi képe (Fasching Antal számítása alapján):

j0Mvh= 46° 30’ 22.9804”

l0Mvh= + 5° 20’ 41,8290” a gellérthegyi meridiántól K-re.

(Ugyanennek a pontnak a Bessel-ellipszoidi koordinátái Ferro-i hosszúsággal:

            ΦnMvh = 46° 33' 06,4273"

ΛnMvh = 42° 03' 20,9550" .)

 

A síkkoordinátarendszer DNy-i tájékozású. A síkkoordináták képletei:

           

           

ahol

.

 

A marosvásárhelyi sztereografikus xMvh, yMvh  koordináták ismeretében az alábbi inverz vetületi egyenletek adják a gömbi  j  szélességet és  l  hosszúságot:

           

           

ahol

             ,

és

             .

 

A hossztorzulásokat a ???ábra mutatja.

 

g) Katonai sztereografikus koordinátarendszer

 

A negatív előjelű koordináták kiküszöbölése céljából 1936-ban bevezették a katonai sztereografikus koordinátarendszert az origó 500 000 m-rel D-re és 500 000 m-rel Ny-ra való eltolásával, valamint a koordinátatengelyek irányának megfordításával, ami ÉK-i tájékozást eredmények. A budapesti és a katonai sztereografikus koordináták közötti összefüggések tehát:

           

           

 

A marosvásárhelyi rendszer origóját 600 000 m-rel D-re és 600 000 m-rel Ny-ra tolták el, és a tájékozást szintén ÉK-ire változtatták. A marosvásárhelyi és a katonai sztereografikus koordináták közötti összefüggések:

           

             .

 

 

d) Ferdetengelyű szögtartó hengervetületi koordinátarendszerek

 

Az 1908-ban polgári célokra bevezetett ferdetengelyű szögtartó hengervetület alapfelületének helyzete (a Bessel-ellipszoidon alapuló HD1909 dátum) csak kis mértékben tér el a sztereografikus vetület dátumának rendszerétől. Ugyanis bevezetésekor a Gellérthegy kezdőpontban az onnan kiinduló háromszögoldalak azimutját megváltoztatták. Emiatt a hálózat helyzetének változása értelmezhető az e pont körüli 6,44’’-es az óramutató járásával megegyező irányú elforgatásaként (???ábra). A  F, L  ellipszoidi földrajzi koordinátákat e vetületben is kettős leképezésnek vetjük alá (???ábra), azaz azokat először a Gauss-féle kis hossztorzulású szögtartó gömbvetülettel képezünk le a régi Gauss-simulógömb j, l  koordinátáira. (A  L  és  l  hosszúságokat itt is a gellérthegyi kezdőmeridiántól számítjuk.) A leképezés függvényeinek képletei és paraméterei megegyeznek a sztereografikus vetületnél használtakkal.

 

A gömbi koordinátákból a síkba képezés – a korabeli országterülethez igazodva – három ferdetengelyű szögtartó hengervetülettel történik (???ábra): egy É-i (Hengervetületi Északi Rendszer, röviden HÉR), egy középső (Hengervetületi Középső Rendszer, röviden HKR) és egy D-i sávot (Hengervetületi Déli Rendszer, röviden HDR). A gellérthegyi kezdőmeridián (lK=0.0°) a térképen egyenesként jelenik meg, ez az  x  tengely. Mindhárom hengervetület vetületi kezdőpontja a kezdőmeridián képén van, az alábbi gömbi szélességeknek megfelelő pontokban:

a HÉR-ben  jK=48° 40’  2.0”;

a HKR-ben  jK=47° 06’  0.0”;

a HDR-ben  jK=45° 31’ 59.0”.

A gellérthegyi meridiánra e pontokban merőleges főkörök (a segédegyenlítők) szintén egyenesekre képeződnek le, ezek alkotják az  y  tengelyeket.  Mind a három rendszer DNy-i tájékozású.

Az  xH, yH hengervetületi koordinátákat az alábbi vetületi egyenletek adják (továbbra is

R = 6 378 512.966 m):

 

             

és

           

Ha ismerjük az  xH, yH hengervetületi síkkoordinátákat, akkor a gömbi j, l  földrajzi koordinátákat az alábbi inverz vetületi egyenletekből kapjuk:

 

           

és

 ,

ahol

           

és

             .

A vetület megalkotása során az előbbi képletek mellett matematikai sorokkal is megadták az  x,  y,  F,  L  koordinátákat, valamint a vetületi meridiánkonvergenciát.

E vetületben a segédegyenlítők hossztartók. Innen É és D felé távolodva a hossztorzulások (valamint a területtorzulások) nőnek (???ábra).

A HÉR, HKR és HDR rendszerű kataszteri térképek szelvényezése nem  fokhálózati vonalak, hanem a térképi síkkoordináta-vonalak mentén történt.

 

 

e) Az Egységes Országos Vetület koordinátarendszere

 

Az Egységes Országos Vetület (EOV) az 1970-es évek közepén polgári topográfiai célokra létrehozott Egységes Országos Térképrendszer (EOTR) vetülete. Alapfelülete az IUGG’67 nemzetközi ellipszoidon alapuló HD72 dátum. Az ellipszoidi földrajzi koordinátákból kettős leképezéssel jutunk az EOV síkkoordinátákhoz (???ábra). Első lépésben az alapfelületről az ún. új Gauss-simulógömbre (R=6379743m) képezünk le a Gauss-féle kis hossztorzulású szögtartó gömbvetülettel:

           

           

A leképezés paramétereit a hossztartó parallelkörből (ellipszoidi szélessége Fn= 47° 10' 0,0", gömbi szélessége jn= 47° 07' 20,05780") számíthatjuk ki:

            n= 1,000 719 704 936

k= 1.003 110 007 693

A számolásoknál használjuk az IUGG’67 ellipszoid első excentricitását:

            e= 0.081 820 567 9407.

Mind a  L ellipszoidi, mind a  l gömbi hosszúságot a Gellérthegy ponton átmenő kezdőmeridiántól számítjuk.

 

A gömbi földrajzi koordinátákból a térképi síkkoordinátákat a  0.99993  tényezővel redukált ferdetengelyű szögtartó hengervetület segítségével kapjuk (???ábra). A segédegyenlítő – a gellérthegyi meridiánra a

jK=47° 6’ 0.0”

gömbi szélességű pontban merőleges főkör – a kezdőmeridiánhoz hasonlóan egyenesre képeződik le. Ezen egymásra merőleges egyenesek képezik az ÉK-i tájékozású térképi síkkoordináta-rendszer alapját. Az origónak tekintett metszéspontjukat eltoljuk 650000 m-rel Ny-ra és 200000 m-rel D-re, így minden síkkoordináta pozitív előjelű lesz, és a magyarországi pontok  X  koordinátái 400000 m-nél kisebbek,  Y  koordinátái pedig 400000 m-nél nagyobbak. Ezek alapján a vetületi egyenletek:

           

és

             .

 

Az  X  és Y  EOV síkkoordináták ismeretében az inverz vetületi egyenletekkel kapjuk a gömbi földrajzi koordinátákat:

           

 ,

ahol

           

és

             .

 

 Az EOV-ben két segédparallelkör torzulásmentes, melyek között a hossz- és a területtorzulás 1-nél kisebb, az ezeken kívüli területeken 1-nél nagyobb; az ország területén fellépő legnagyobb hossztorzulás az egységtől csak 10-4 nagyságrendben tér el (???ábra).

 

Az EOTR kataszteri és topográfiai térképek szelvényezése szintén a síkkoordináta-vonalak mentén történik.

 

 

b)     Nemzetközi geodéziai és topográfiai koordinátarendszerek

 

a) A Gauss-Krüger vetület koordinátarendszere

 

Bontsuk fel a Kraszovszkij ellipszoid alapfelületet a dátumválasztótól kiindulva összesen 60 db 6°-os ellipszoidi kétszögekre (ún. zónákra), és minden ilyen kétszöget képezzünk le a Gauss-Krüger vetülettel. E zónákat K-i irányba haladva sorszámozzuk, így A Greenwich-i meridiántól K felé kezdődik a 31. zóna. Magyarország területe a 33. és 34. zónára esik, e kettőt a 18° hosszúsági kör választja el (???ábra). Minden zónának önálló síkkoordináta-rendszere van. A középmeridián és az egyenlítő egymásra merőleges egyenesekre képeződik le. Az egyenlítő képe lesz az  Y  tengely, a középmeridián képét pedig – a negatív Y  koordináták kiküszöbölése céljából – 500000 m-rel Ny felé eltolva kapjuk az  X  tengelyt.

 

Minden zónát az egyenlítőtől É-ra és D-re kiindulva 4°-os sávokra bontanak fel. Egy ilyen 4°x6°-os foktrapézt 1:1000000 méretarányú térképszelvényen ábrázolnak, és az ABC betűivel jelölik meg, szükség esetén az északi félgömbön az N, a déli félgömbön az S kezdőbetűvel kiegészítve. Magyarország így a 33-as zóna a 33-L és 33-M, valamint a 34-es zóna 34-L és 34-M jelű szelvényeire esik (???ábra).

 

L0-lal jelölve a zóna középmeridiánját, a F, L ellipszoidi koordinátákból az alábbi vetületi egyenletekkel kapjuk a térképi síkkoordinátákat:

           

           

ahol az

           

integrál numerikusan kiszámítható, vagy közelíthető az alábbi sorral:

                       

(Kraszovszkij ellipszoid esetén  a=6 378 245  és  e2=0.0066934275). A többi  Ai  (i=1,2,…,6) együttható a  F  szélesség függvényében:

           

           

           

           

           

             ,

ahol

            .

Az általában ötjegyű  YGK  koordináta elé még odaírják a zóna sorszámának második számjegyét, ez az ún. vezérszám. A magyarországi pontok Gauss-Krüger Y  koordinátái tehát vagy 3-as vagy 4-es számjeggyel kezdődnek attól függően, hogy a pont a 33-as vagy a 34-es zónában fekszik.

 

Az  YGK , XGK  Gauss-Krüger koordinátákból kiszámíthatók az ellipszoidi földrajzi koordináták, amihez az  YGK , XGK  pontból a középmeridián képére bocsátott merőleges T talppontjához tartozó FT  „talpponti szélességből” indulunk ki (???ábra). Ez megkapható az

           

nemlineáris egyenlet megoldásából, vagy pedig az

           

sorból, ahol

           

és

           

(Kraszovszkij ellipszoid esetén  b=6 356 863 m).

 

A  F, L  földrajzi koordináták most az

           

           

inverz vetületi egyenletekből adódnak, ahol

           

           

           

           

           

           

és

            .

 

Megjegyezzük, hogy az  YGK  koordináta első számjegye a vezérszám, így azt a számolásnál nem kell figyelembe venni.

 

A torzulásmentes középmeridiántól távolodva a hossz- és területtorzulások nőnek. Egy 6°-os zónán belül a torzulás legnagyobb az egyenlítő és a határoló meridiánok találkozásánál (lmax»1.0013), ezért geodéziai célokra 2°-os (lmax»1.00015) és 3°-os (lmax»1.00034) zónákat is használnak. Magyarország területén a 18°-os szegélymeridiánon fellépő legnagyobb hossztorzulás: lmax»1.00068).

 

 

b) Az UTM vetület koordinátarendszere

 

Az alapfelület  6°-os ellipszoidi kétszögekre (zónákra) való bontása után minden zónának a 80° D-i szélességtől a 84° É-i szélességig terjedő területe UTM vetületben kerül ábrázolásra. A zónák sorszámozása a Gauss-Krüger rendszerhez hasonlóan 1-től 60-ig történik. Minden zóna 8°-os foktrapézokra bomlik (az utolsó övezet a 72° és a 84° É-i szélesség között 12°-os). Egy ilyen foktrapézt 4 db 1:1000000 méretarányú térképszelvényen ábrázolnak. Ezeket a zónasorszám után álló nagybetűvel (angol ABC) jelölik C-től X-ig (az I és az O betű kimarad). A D-i pólusnak a 80° D-i szélességig terjedő területe UPS síkvetületben van ábrázolva, ennek két félkör alakú részét A-val és B-vel jelölik. Az É-i sarok környékének térképe a 84° É-i szélességtől hasonlóan UPS (Universal Polar Stereographic) vetületű, és ennek két felét Y-nal és Z-vel jelölik. Magyarország területe a 33T, 33U, 34T, és 34U jelű 8°x6°-os foktrapézra esik (???ábra).

 

A függőleges koordinátatengely itt is el van tolva 500000 m-rel Ny-ra (???ábra). A Hayford ellipszoidi, vagy újabban a WGS’84 koordinátákból közvetlenül megkapjuk az UTM síkkoordinátákat (Universal Transverse Mercator Grid) a Gauss-Krüger koordináták 0.9996-tal való beszorzásával és az eltolások figyelembevételével:

           

           

(WGS’84 ellipszoid esetén a képletekben  a=6 378 137  és  e2=0.00669438006.)

 

Az inverz vetületi egyenletek az  YUTM , XUTM síkkoordinátákból adják az ellipszoidi koordinátákat úgy, hogy a Gauss-Krüger vetületekre vonatkozó egyenletekbe az

           

           

helyettesítéseket végezzük el. (WGS’84 alapfelület esetén b=6 356 752,3142 m.)

 

A 6°-os  UTM zóna középmeridiánján a legkisebb a hossztorzulási modulus (lmin»0.9996), az egyenlítő és a határoló meridián találkozásánál pedig a legnagyobb (lmax»1.001). Magyarország területén a 18°-os szegélymeridiánon fellépő legnagyobb hossznagyobbodás: lmax»1.00028.

 

 

c)      Katonai azonosító (jelentő) rendszerek

 

E rendszerek bármely földrajzi helyhez hozzárendelnek egy kódot, amely segítségével a földrajzi helyet – elsősorban katonai vagy navigációs célból – nagy pontossággal azonosítani lehet.

 

a) Az MGRS keresőhálózat

 

Az MGRS (Military Grid Reference System) keresőhálózat egyrészt az UTM zónarendszerére épülő 8°x6°-os foktrapéz-felosztáson, másrészt az UTM síkkoordináta-rendszeren alapul, és segítségével vagy egy 100 km x 100 km-es térképi négyzetet, vagy ezen belül egy térképi pontot lehet megjelölni. Egy 6°-os UTM zóna mintegy 667 km széles. Az UTM 500000 m-es Y  koordinátavonala a középmeridiánnal esik egybe, ettől K-re és Ny-ra 4-4 db 100000 m széles oszlop az egész zónát tartalmazza. A zónát a  0 m-es UTM  X  koordinátájú egyenlítővel párhuzamosan is felbontják 100000 m-es sorokra az  X  koordinátavonalak mentén, tekintet nélkül a foktrapéz- felosztásra. Az oszlopok és a sorok együttesen egy 100 km x 100 km-es négyzethálót hoznak létre.

 

A 6°-os UTM zónákat hármasával összevonják és a zónánként 8 db 100000 m-es oszlopot együttesen jelölik, éspedig az angol ABC nagybetűivel Ny-ról K felé, A-tól Z-ig (az I és az O betű itt is kimarad). Az egyes zónákban az egyenlítőtől É-ra és D-re elhelyezkedő 100-100 db 100000 m-es sorok jelölése szintén az angol ABC betűivel történik. A páratlan sorszámú zónákban a sorokat az egyenlítőtől mindkét irányba kiindulva – 5-ször ismétlődően – A-tól V-ig jelölik (az I és az O itt is kimarad). A páros sorszámú zónákban a sorok jelölése az egyenlítőtől mindkét irányba kiindulva:  FGHJ…UVABCDE (az I és az O itt is kimarad), és mindez a pólusig 5-ször ismétlődik.

Az MGRS azonosító három részből áll:

-          a 8°x6°-os foktrapéz azonosítója (zónasorszám+övezeti betűjel, pl. 34T);

-          a 100 km x 100 km-es négyzet azonosítója (oszlop betűjele + sor betűjele, pl. CT);

-          a négyzeten belül a m-re kerekített UTM síkkoordináták utolsó öt számjegye (Y koordináta + X koordináta, összesen 10 számjegy, pl. 34T CT 54053 59662).

 

Az MGRS azonosítóból helyreállítható a pont UTM síkkoordinátája, mert a 100 km x 100 km-es négyzet azonosítójából megállapítható a bal alsó sarok 100000 m-re kerek Y és X UTM koordinátája, amihez hozzáadandó az utolsó 5-5 számjegy.

 

Magyarország területe a 31-33-as összevont zónák K-i szélén a W, X és Y jelű oszlopokban, valamint a 34-36-os összevont zónák Ny-i szélén a B, C, D, E és F jelű oszlopokban helyezkedik el.

 

b) A GEOREF keresőhálózat

 

A GEOREF (World Geographic Reference System) keresőháló a földrajzi fokhálózat segítségével bontja fel a Föld felületét mind kisebb foktrapézokra, ami alapján földi területeket lehet megjelölni. Az elsődleges felbontás 24 db 15°-os kétszögre történik, amelyeket a dátumválasztó vonaltól K felé indulva az angol ABC nagybetűivel jelöljük A-tól Z-ig (az I és az O betű kimarad). Minden ilyen kétszöget 15°-onként felvett szélességi körökkel tovább bontunk foktrapézokra, ilyen módon keletkezik a földnek egy 15°x15°-os felbontása ún. mezőkre (???ábra). A 12 db 15°-os övezetet D-ről É felé haladva A-tól M-ig az angol ABC nagybetűivel jelöljük (az I és az O betű kimarad). A két betű együttesen azonosítja a 15°x15°-os mezőt. Magyarország a PK jelű mezőben fekszik.

 

A 15°x15°-os mezők tovább bomlanak 1°x1°-os almezőkre, melyek kétbetűs azonosítójából az első betű Ny-K-i irányban adja meg az 1°-os oszlopot (A-tól Q-ig, I és O kimarad), a második pedig D-ről É felé haladva adja meg az 1°-os sort (szintén A-tól Q-ig, I és O kimarad). Budapest pl. a PK jelű mező EC jelű almezőjében található.

 

Az 1°x1°-os almezők még kisebb, 1’x1’-es almezőkre bonthatók, amelyeket a DNy-i sarokpont földrajzi hosszúságának és szélességének perceivel azonosítunk. Eszerint a (47° 26’ 22” É, 19° 15’ 43” K) földrajzi koordinátákkal meghatározott „Liszt Ferenc Airport 2” 1’x1’-es almezejét 15 26 –tal jelöljük. Az almező teljes azonosítója tehát: PK EC 15 26.

 

A földi hely megadása tovább pontosítható, ha az almezőket tizedpercekkel vagy századpercekkel adjuk meg. Előbbi esetben az azonosító három-három számjegyet, utóbbi esetben négy-négy számjegyet tartalmaz.

 

A GEOREF keresőhálót az Egyesült Államok légiereje számára fejlesztették ki, a léginavigáció használja.