A VETÜLETEK ALAP- ÉS KÉPFELÜLETE

 

Az alap- és a képfelület fogalma, megadási módjai és tulajdonságai

 

A geodézia, a térinformatika és a térképészet a görbült földfelületen elhelyezkedő geometriai alakzatokat (pontokat, vonalakat vagy felületdarabokat) helyhez kötéssel azonosít és/vagy síkban ábrázol. Az ennek során megkövetelt pontosságtól függően választjuk meg a lokalizáláshoz illetve az ábrázoláshoz használt felületet. Kis terület esetén maga a földfelszín is többnyire elfogadható pontossággal közelíthető síkkal. Nagyobb terület esetén a földalak görbültsége már nem hagyható figyelmen kívül. A megkövetelt pontosságtól függően közelíthetjük a tényleges földalakot gömbbel, a sarkoknál fellépő lapultságot is figyelembe vevő forgási ellipszoiddal, vagy az elméleti földalakkal – az átlagos tengerszinttel egybeeső nehézségi szintfelülettel – a geoiddal.

 

Bármilyen felületen történjék is az alakzatok lokalizálása, a megjelenítés gyakorlatilag mindig síkban történik, legyen szó akár papírtérképről, akár képernyőtérképről. Emiatt a minden irányban görbült felületen lokalizált objektumokat az ábrázolás előtt rendszerint síkra képezik le olymódon, hogy a síkbeli méretviszonyok (hosszak, irányok ill. szögek, területek nagysága) a földfelületi méretviszonyoktól kevéssé térjenek el, és így azokra térképi mérések alapján vissza lehessen következtetni. A kiindulási – görbült – felületet alapfelületnek, a hozzárendelési (általában sík) felületet képfelületnek, a leképezést vetületnek nevezzük.

 

Előírjuk, hogy mind az alapfelület, mind a képfelület lehetőleg  folytonos, szabályos és zárt matematikai képlettel (esetleg sorral) leírható legyen (Minthogy a geoid-felületre az utóbbi két feltétel nem teljesül, így az a vetületi vizsgálatoknak közvetlenül nem képezi tárgyát.) A felületek zárt képlettel való leírása általában a derékszögű  x,y,z  koordináták közötti összefüggések megadásával történik. Ezek az összefüggések megadhatók  egyenletként,  függvény formájában vagy paraméteres alakban.

 

a) A felületek

           

egyenlete egy skalár-vektor függvény nívófelületét jelenti. A sík egyenlete pl.:

           

Az R sugarú, origó-centrikus gömb egyenlete:

           

A  z forgástengelyű, origó-centrikus forgási ellipszoid z irányú féltengelyét  b-vel, a másik (elforgatott) féltengelyét  a-val jelölve, kapjuk az

           

egyenletet.

 

b) A kétváltozós

           

függvény-alak az egyenlet-alak speciális esetének tekinthető. Hátránya, hogy egyes felületek csak többértékű függvénnyel írhatók le. A síkot ebben az esetben a

            ,

a gömbfelületet a

            ,

a forgási ellipszoidot a

           

függvény adja meg.

 

c) Az ún. paraméteres alak esetében a felület pontjainak x, y, z  koordinátáit az u,v valós paraméterek folytonos függvényeként adjuk meg:

           

A v paraméter rögzített értékeinél a felületen a folytonos u-vonalak seregét, az u paraméter rögzített értékeinél a folytonos v-vonalak seregét kapjuk. Ezek az ún. paramétervonalak a felületet egyrétűen fedik le (??? ábra). A felület minden pontján áthalad egy u- és egy vele nem párhuzamos v-vonal. Sem az u-vonalak, sem a v-vonalak nem metszhetik egymást. A sík paraméteres alakja:

A gömb paraméterezhető pl. az

           

alakban. A pólusokat a  z  tengelyen felvéve, az  u paraméter itt megfelel a közismert  j  földrajzi szélességnek,  v pedig a  l  földrajzi hosszúságnak.

 

A forgási ellipszoid egyik lehetséges paraméteres felírása:

           

(Ez előállítható az  R  sugarú gömbből  a/R-szeres hasonlósági transzformációval, majd  b/a-szoros,  z  irányú merőleges affinitással.)

 

A forgási ellipszoid felület méreteit a féltengelyek  a  és  b  hossza egyértelműen meghatározza. A felület lapultsága miatt  a>b,  a lapultság mértékét az

           

mérőszám, az ún. lapultság, vagy az

           

ún. első excentricitás adja meg. E két mérőszám kapcsolatát az

           

egyenlet adja meg. Fordítva az

           

egyenlet megoldásából:

           

amelynél – tekintve, hogy a lapultság értéke 1-nél nagyobb nem lehet – csak a  „–” előjel jó. Vagyis

           

 

Szokás még definiálni az  e’ ún. második excentricitást:

           

 

Képfelület a síkon kívül lehet ún. síkbafejthető felület is, amely a rajta lévő felületi görbék ívhosszának megváltozása nélkül síkká transzformálható. Ilyen pl. a forgáskúp palástja, vagy a forgáshenger palástja. Az ívhosszak változása egyébként maga után vonja a felület többi belső méretviszonyának – így a felületi szögeknek és területeknek – a síkbafejtés során bekövetkező változatlanságát is.

 

Magától a leképezéstől elvárjuk, hogy

A leképezési függvényeket vetületi egyenleteknek hívják.

 

Paraméterek az alap- és a képfelületen

 

Az alapfelület paraméterezése – a földrajzi koordinátarendszer

 

Mind a gömb-, mind a forgási ellipszoid-felületi pontokat meg lehet adni térbeli derékszögű koordinátákkal. Ekkor a koordinátarendszer origóját célszerűen az alapfelületi alakzat középpontjában vesszük fel; a  z  tengely a polártengellyel esik egybe, az  x  tengelyt pedig rendszerint a kezdőfélsík iránya jelöli ki. Az  egyenlítő síkja ekkor az xy síkra esik. Alkalmazásuk akkor előnyös, ha alapfelületi és alapfelületen kívüli pontok kapcsolata kerül előtérbe (pl. a GPS működése során). Hátrányuk, hogy egy pont koordinátáiról nem ismerhető fel közvetlenül, hogy az alapfelületen van-e, illetve a derékszögű koordináták kis megváltozása is az alapfelület elhagyásához vezethet.

 

A gömb- és a forgási ellipszoid alapfelület szokásos paraméterezése mégis a földrajzi koordinátarendszer. Ez az alakzat középpontjában felvett origójú térbeli polárkoordináta-rendszeren alapul, melynek polártengelye kijelöli az (É-i) pólust (???ábra).

 

A földrajzi szélesség

 

Gömb alapfelület esetén vegyünk fel egy tetszőleges alapfelületi P pontot. Az origótól a P-hez vezető rádiuszvektornak a polártengellyel bezárt b szöge (a pólustávolság), illetve ennek pótszöge, a rádiuszvektornak a polártengelyre merőleges síkkal bezárt szöge a  j(=90°-b) földrajzi szélesség adja az egyik paramétert. (Megjegyezzük, hogy e rádiuszvektor egyben merőlegesen metszi az alapfelületet.) A koordinátarendszer kezdő-félsíkja (melynek határa a polártengelyre esik) a gömbfelületen kijelöli a kezdőmeridiánt. Most az alapfelületi P pontot tartalmazó, a polártengely által határolt félsíknak a kezdő-félsíkkal bezárt szöge adja a másik paramétert, a l  földrajzi hosszúságot. (A harmadik polárkoordináta, a rádiuszvektor R hossza, amely megegyezik a gömb sugarával, minden P pontra azonos, így ez a P pont megadásánál figyelmen kívül hagyható.)

 

Az egyik paraméter rögzítésével és a másik változtatásával jutunk a gömbfelület paramétervonalaihoz. Az azonos földrajzi szélességű (vagy azonos pólustávolságú) pontok által meghatározott gömbi körök a szélességi körök vagy parallelkörök. (Ezek között kitüntetett szerepet játszik a 0°-os szélességi kör, az egyenlítő.) A j földrajzi szélességet előjellel látjuk el, amelyet az É-i félgömbön tekintünk pozitívnak (vagyis –90°£j£90°, és 0°£b£180°). Az R sugarú gömbön a j szélességi kör r sugara:

az egyenlítő sugara így R. A l földrajzi hosszúságot a K-i féltekén tekintjük pozitívnak (vagyis -180°£l£180°). Az azonos földrajzi hosszúságú pontok által meghatározott gömbi főkörívek (félkörök) a hosszúsági körök vagy meridiánok. A hosszúsági kör sugara mindig R.

 

A kezdőmeridiánnal nem keverendő össze a középmeridián, amely az ábrázolt terület középvonalában haladó, többnyire kerek értékű hosszúsági kör. Ez általában a térképi fokhálózat szimmetriatengelye, így a képfelületen egyenesként jelenik meg.

 

Forgási ellipszoid alapfelület esetén a földrajzi szélességet többféle meggondolás alapján is lehet értelmezni, amelyek mind a gömbi földrajzi szélesség általánosításai. A térbeli polárkoordinátarendszer segítségével kapott definíció szerint a  Y geocentrikus szélesség az origóból az ellipszoidfelületi P ponthoz vezető rádiuszvektornak a polártengelyre merőleges síkkal bezárt szöge (???ábra). Ettől különbözik a forgási ellipszoid fenti paraméteres alakján alapuló j  redukált szélesség, amely a P pontból az ellipszoid-felületre alkalmazott  z  irányú a/b-szeres merőleges affinitással kapott (gömbfelületi) P’ pont gömbi szélessége (???ábra). Végül az ellipszoidi  F geodéziai szélességet az ellipszoidfelület P pontbeli normálisának a polártengelyre merőleges síkkal bezárt szögével definiáljuk (???ábra). Könnyű belátni, hogy gömbfelületi (a=b)  P  pont esetén mind a geocentrikus, mind a redukált, mind pedig a geodéziai szélesség ugyanazzal a j  gömbi szélességgel egyezik meg.

 

Ezen lehetőségek közül ellipszoidi földrajzi szélességnek azt célszerű tekinteni, amely a fizikai földfelszínen legalábbis közelítőleg mérhető. Ha a geoid valamely P pontjában a geoid normálisa (a nehézségi erő irányát megadó függővonal) és a Sarkcsillag irányára merőleges sík (az egyenlítő síkja) által bezárt FA szöget (az ún. csillagászati vagy asztronómiai szélességet) csillagászati eszközökkel lemérjük, akkor az a  F geodéziai szélességgel  közelítőleg meg fog egyezni. Ebből a megfontolásból az ellipszoidi földrajzi szélességet a F geodéziai szélességgel definiáljuk. Ennek pótszöge a  B geodéziai pólustávolság:  B=90°–F. A közelítés hibáját egyrészt a szabálytalan geoidfelület merőlegesének az ellipszoid-felületi merőlegestől való eltérése (az ún. függővonal-elhajlás), másrészt az ellipszoid forgástengelyének a Sarkcsillag irányával bezárt szögkülönbsége adja.

 

Az azonos F földrajzi szélességű pontok itt is egy szélességi kör vagy parallelkör mentén helyezkednek el, melyek előállíthatók az ellipszoidfelület forgástengelyre merőleges körmetszeteként. A továbbiakban szükségünk lesz a paramétervonalak geometriai jellemzőire.

 

A  F földrajzi szélességű parallelkör  r  sugarának és az egyenlítőtől való  z  távolságának meghatározásához tekintsük a forgási ellipszoid egy – a forgástengelyt tartalmazó – síkmetszetét (???ábra), amely egy ellipszis (ún. bimeridián). Írjuk fel a tengelyek által alkotott  r,z  koordinátarendszerben a bimeridián kanonikus egyenletét:

           

Innen pl. a felső ív által megadott függvény:

                 és        

Másrészt a függvény  r -beli deriváltja megegyezik a függvénygörbe (r,z) pontbeli érintőjének iránytangensével. Az érintő az  r tengellyel bezárt szöge  –(90°–F), ezért

           

Tehát

           

Négyzetreemelés után innen  r  kifejezhető:

           

(Az egyenlítő sugara tehát a.)

 

r képletét behelyettesítve az ellipszis kanonikus egyenletébe,  z kifejezhető:

           

Vagyis

           

 

Most már meghatározhatók az egyes ellipszoidi szélességek közötti összefüggések. A ???ábrából:

           

A forgási ellipszoidból  a/b-szeres merőleges affinitással  a sugarú gömböt kapunk, eközben a geocentrikus szélesség egyik szögszárát képező rádiuszvektor a redukált (gömbi) szélesség szárába megy át, vagyis

           

A két utóbbi egyenlőségből

           

következik.

 

Egy síkgörbe simulókörének azt a kört nevezzük, amelynek a P0 közös pontban mind az első deriváltja (tehát a P0 pontbeli érintő iránytangense), mind a második deriváltja megegyezik a görbéével. (Egy kör bármely pontbeli simulóköre természetesen sajátmagával esik egybe.)

 

Vizsgáljuk az ellipszoidfelületi P ponton áthaladó összes – a forgási ellipszoid síkmetszeteként keletkező – felületi görbe P pontbeli simulókörének sugarát, az ún. görbületi sugarat. Meusnier ismert tétele szerint: ha arányba állítjuk a P ponton átmenő (F szélességű) parallekör  r sugarát (a „ferdemetszet” görbületi sugarát), valamint a meridiánra merőleges sík ellipszoidfelülettel alkotott metszésvonalának (a „normálmetszetnek”) a P pontbeli görbületi sugarát – az N(F) ún. harántgörbületi sugarat, eredményként a két sík által bezárt szög (esetünkben az ???ábráról leolvashatóan a F szélesség) cosinus-át kapjuk:

           

Innen  r ismeretében az  N(F) kifejezhető:

           

Az  ???ábrán az  r  befogójú és  F szögű derékszögű háromszög átfogója éppen

           

Innen

           

Az  N(F) a  z képletébe is behozható:

           

 

A földrajzi hosszúság

 

Az ellipszoidi  L  földrajzi hosszúságot – az ellipszoid centrumából mint origóból kiinduló és az ellipszoidfelület forgástengelyével egybeeső polártengelyű térbeli polárkoordináta-rendszerből kiindulva – a gömbhöz hasonlóan, a P pontot tartalmazó félsíknak a kezdő félsíkkal alkotott (előjeles) szög segítségével definiáljuk. A fizikai földfelszínen a hosszúság szintén mérhető csillagászati eszközökkel, éspedig a pontbeli és a Greenwich-i delelés időpontjának különbségéből: 1 óra eltérés megfelel 15° hosszúságkülönbségnek. Az azonos  L földrajzi hosszúságú pontok egy fél-ellipszis alakú meridiánt határoznak meg, melynek féltengelyei a és b.

 

Írjuk fel az (r,z) síkban az origó-centrikus meridián-ellipszis egy adott  r0,z0  koordinátájú pontjában a simulókör sugarát a  F0 szélesség függvényében (??? ábra). A meridián-ívet pl. a

           

függvény alakban adjuk meg. Az (egyelőre ismeretlen)  r  sugarú, (u,v) középpontú simulókör szintén függvény alakban:

           

A fenti definíció az alábbi három egyenlethez vezet:

            1.)      (az  r0,z0  pont a két alakzat közös pontja)

            2.)     (az  r0,z0  pontban a két alakzat érintője közös)

            3.)      (az  r0,z0  pontban a második deriváltak egyenlők)

A 2.) egyenletből  r0–u kifejezhető:

           

Ezt behelyettesítjük a 3.) egyenletbe, majd ebből kifejezzük  r -t:

           

Végül az

           

helyettesítéssel kapjuk, hogy

           

(Itt felhasználtuk a

           

azonosságot.)

A meridián-ellipszis görbületi sugara tehát a szélesség változásával pontról pontra változik. Ezt a függvényt nevezzük meridiángörbületi sugárnak, amelyet szokásosan  M(F)-vel jelölünk:

           

A földi ellipszoidok lapultsága miatt a meridiángörbületi sugár legkisebb az egyenlítőnél, legnagyobb a pólusnál.

 

A földrajzi hosszúság kezdőfélsíkját illetve az általa kimetszett kezdőmeridiánt a felmérés kiterjedésétől függően nem csak globálisan, hanem helyileg is rögzíthetik. A geokartográfiában és a topográfiai térképműveknél általában Greenwich-i kezdőmeridiánt használnak. Régebben - főleg Európában - elterjedt volt a Ferro-i (Kanári-szigetek) kezdőmeridián használata, amely a Greenwich-itől mintegy 17°40'-re Ny-ra fekszik. K-Európa több országában Pulkovo-i kezdőmeridiánnal dolgoztak, amely Greenwich-től mintegy 30°20'-re K-re helyezkedik el. A magyarországi térképezéseknél a gellérthegyi meridián játszik fontos szerepet, amelynek  a ferroi kezdőmeridiántól való eltérését a Bessel-ellipszoidon 36°42'51.69"-nek tekintették, míg a greenwichi hosszúsága az IUGG'67-es ellipszoidon 19°2'54.856"-nek van megállapítva.

 

Átszámítás derékszögű és földrajzi koordináták között

 

A forgási ellipszoid paraméteres alakját a  F földrajzi szélesség és a  L földrajzi hosszúság mint paraméterek segítségével a

           

képletek adják, amelyek a  F, L földrajzi koordinátákkal megadott pontok térbeli derékszögű koordinátáinak meghatározására szolgálnak. Amennyiben a térbeli derékszögű koordinátákból kell a földrajzi koordinátákat kiszámítani, akkor a  z képletéből kifejezzük  F-t:

           

majd az  x vagy az  y képletéből a  F segítségével  L-t.

 

Vegyük most a  F, L  földrajzi koordinátákon kívül még az ellipszoid feletti  h magasságot is figyelembe. A ???ábráról leolvasható, hogy

           

Ezekből a képletekből tehát kiszámíthatók a  földrajzi koordinátákkal és az ellipszoid feletti  h magassággal megadott pont térbeli derékszögű koordinátái.

 

Az  x, y, z  térbeli derékszögű koordináták ismeretében először felírjuk az

           

összefüggést és kifejezzük belőle  h-t, amelyet a  z képletébe helyettesítünk. Az így kapott nem-lineáris összefüggésből a  F egy negyedfokú egyenlet megoldásán keresztül kapható meg. Az egzakt képlet, amelyet a műholdas helymeghatározás használ fel, Borkowski-tól származik. Kevésbé pontos eredményt adnak a földrajzi koordinátákra és a  h  magasságra Bowring közelítő képletei:

           

ahol

           

 

A geodéziai felmérések során fontos szerepet kap az alapfelületen értelmezett forgásfelületi polárkoordinátarendszer. A polártengely az  O ponton áthaladó, az É-i irányt kijelölő meridiánív. A polárkoordinátákkal (az OP geodetikus vonal hosszával mint polártávolsággal és a 0° és 360° közé eső azimuttal mint polárszöggel) adott P pont földrajzi  koordinátáinak kiszámítását első geodéziai alapfeladatnak nevezzük. Ha a földrajzi koordinátákkal adott P pont polárkoordinátáit számítjuk ki, akkor a második geodéziai alapfeladatot oldjuk meg. Gömb alapfelület esetén mind az első, mind a második geodéziai alapfeladat gömbháromszögtani összefüggésekkel oldható meg.

 

Segédföldrajzi koordináták

 

Gömb alapfelület esetén értelmezhető a segédföldrajzi koordinátarendszer. Ehhez először is ki kell jelölni a gömbön a segédpólust és ezzel együtt a segédpoláris tengelyt. A segédpólustól egyenlő gömbi távolságra (segédpólustávolságra) lévő pontok képezik a segédparallelköröket, 90°-os gömbi távolság esetén a segédegyenlítőt. A segédpólustávolság pótszöge a j* segédszélesség. A két segédpólust összekötő gömbi főkörívek a segédmeridiánok. Ezek közül egyet segédkezdőmeridiánnak választva, ennek félsíkja bármely segédmeridián félsíkjával a segédhosszúságnak nevezett l* szöget zárja be. A segédhosszúságot a segéd-É-i pólus felől nézve az óramutató járásával ellentétesen irányítjuk, és nagyságára: -180°£l*£180°. (Megjegyezzük, hogy az esetek túlnyomó többségében a segédkezdőmeridián tartalmazza az egyik pólust, ugyanis a pólusokon és a segédpólusokon áthaladó gömbi főkör - bimeridián - egy-egy szakasza meridián és egyben segédmeridián is.) A segédföldrajzi koordinátarendszer bevezetésének fő előnye abban áll, hogy segítségükkel bizonyos rokonvetületek egységesen tárgyalhatók, és ezek leképezési függvényei egyszerű, egységes alakban adhatók meg.

 

Tetszőleges gömbfelületi (j,l) koordinátákkal megadott pont segédföldrajzi (j*,l*) koordinátáinak meghatározása a második geodéziai alapfeladatra vezethető vissza, míg a segédföldrajzi (j*,l*) koordináták ismeretében az első geodéziai alapfeladat megoldása alapján kapjuk a (j,l) földrajzi koordinátákat, mindkét esetben gömbháromszögtani összefüggések segítségével.

 

A képfelület paraméterezése

 

A képfelületet (az esetleges síkbafejtés után) paraméterezhetjük síkbeli derékszögű x,y koordinátarendszer segítségével. Az egyik koordinátatengelynek célszerűen a fokhálózat szimmetriatengelyét vagy egy azzal párhuzamos egyenest választjuk. Ennek irányát szokás hálózati északi iránynak is nevezni. A geodéziában előszeretettel tekintik a hálózati északi irányt x-nek, szemben a matematikában és a vetülettanban inkább szokásos y-nal.

 

Derékszögű koordinátarendszer alkalmazásakor a vetületi egyenletek gömb alapfelület esetén, attól függően, hogy a j  szélességet vagy a b  pólustávolságot használjuk,

           

vagy

           

alakúak; forgási ellipszoid alapfelület esetén (a F szélességgel vagy a B pólustávolsággal)

vagy

           

alakúak.

 

A parallelkörök képei a vetületek egy részénél, különösen kúppalást-képfelületnél, körív alakak. Ilyen esetben előnyös a képsíkon a polárkoordinátarendszer bevezetése. A koordinátarendszer origója a körív középpontjába kerül, a polártengely többnyire a középmeridiánnal esik egybe. (Nem-koncentrikus körívek esetében az origó helyzete így a szélesség függvényében akár változhat is.)

 

Polárkoordinátarendszer alkalmazásakor a leképezés függvényei gömb alapfelület esetén (r-val jelölve a polártávolságot, g-val a polárszöget):

           

illetve

           

alakúak; forgási ellipszoid alapfelület esetén

           

illetve

           

alakúak

 

A képfelületi síkkoordinátarendszer origóját szokás vetületi kezdőpontnak nevezni.

 

Nevezetes alapfelületi vonalak és felületdarabok

 

Ortodrómák, gömbi és ellipszoidi körök, loxodrómák

 

A vetületek vizsgálatánál – a paramétervonalak mellett – az alapfelületi vonalak három fajtája: az ortodrómának is nevezett geodetikus vonal, a gömbi (ellipszoidfelületi) körív és a loxodróma játszik központi szerepet.

 

Az ortodróma tehát az alapfelületi pontokat összekötő legrövidebb felületi görbeív. Gömb alapfelület esetén minden 180°-nál nem nagyobb középponti szöghöz tartozó főkörív ortodróma, így a (segéd-)meridiánok és a (segéd-)egyenlítő is. A meridiánokkal és az egyenlítővel egybe nem eső gömbi főköröket szokás harántköröknek is nevezni. Az ortodróma ívhosszát gömbön a radiánban megadott középponti szögnek az R sugárral való szorzata adja. A Dj szélességkülönséghez tartozó meridiánív mint speciális ortodróma  s hossza így:

 

 

A forgásfelületek (így a gömb- és a forgási ellipszoid-felületek) ortodrómáinak fontos tulajdonságát fogalmazza meg a Clairaut-tétel. Eszerint a geodetikus vonal és a forgásfelület parallelköre által bezárt szög (az azimut pótszöge) koszinuszának és a parallelkör sugarának a szorzata – a geodetikus vonal mentén haladva – nem változik. Jelölje a az azimutot a geodetikus vonal tetszőleges pontjában, és r a pontnak a forgástengelytől mért távolságát (másként a ponton áthaladó parallelkör sugarát); ekkor Clairaut tétele képletben az alábbi alakot ölti:

 

A minden parallelkört merőlegesen metsző felületi görbék – a meridiángörbék – esetén ez a szorzat zérus, emiatt a meridiángörbék nyilván geodetikus vonalak. (A forgási ellipszoidon az összes többi ortodróma térgörbe.) A F1 és F2 szélességek közötti meridiánívhosszat az ellipszisív simulókör-sugarának (az M-mel jelölt meridiángörbületi sugárnak) a földrajzi szélesség szerinti integráljaként kapjuk:

           

 

A parallelkörök mind gömbön, mind forgási ellipszoidon a poláris tengelyre nézve forgásszimmetrikus körök, amelyek gömb alapfelület esetén (az egyelítőt kivéve) gömbi kiskörök. E j szélességű parallelkörön egy Dl hosszúságkülönbséghez tartozó ív s hossza:

.

A gömbfelületen a parallelkörökön kívül további felületi kiskörök is felvehetők. Egy ilyen kiskörön az ívhosszat – alkalmasan felvett segédföldrajzi koordinátarendszerben – az

           

képlet adja.

 

Forgási ellipszoid alapfelület F szélességű parallelkörén a DL hosszúságkülönbséghez tartozó s ívhossz:

 Az egyenlítő, mint speciális a sugarú parallelkör mentén ez 

  -vá egyszerűsödik.

 

Loxodrómának azokat az alapfelületi vonalakat nevezzük, amelyeknek minden pontjában az a azimut állandó. A meridiánok az a=0° és a=180° azimuthoz tartozó speciális loxodrómák, a parallelkörök pedig az a=90° és a=270° azimuthoz tartozó speciális loxodrómák. A többi loxodróma olyan csavarvonal, amely az egyik pólusból a másik pólusba vezet. Írjuk fel gömb alapfelületre egy ilyen loxodróma egyenletét az egyértékűség miatt l=l(j) alakban. Ehhez változtassuk meg a j,l koordinátájú pontot Dj,Dl-val, ami egy kis foktrapézt hoz létre a gömbön, melynek oldalai arcDj  és  arcDl×cosj ; átellenes csúcsait kössük össze egy Ds hosszúságú loxodróma-ívvel (???ábra). A kicsiny foktrapéz oldalai és "átlója" közelítőleg síkban lévőnek tekinthetők, amelyben

             ; ezt egyszerűsítve és átrendezve:

Ha most a loxodrómát kis darabokra bontjuk, akkor az összegzés, majd a minden határon túli finomítás után az integrálás az alábbi eredményre vezet:

            ;

innen

Ha a loxodróma pl. a j0,l0 koordinátájú ponton halad át, akkor a C integrációs konstans:

           

Ekkor a loxodróma egyenlete az alábbi alakban írható:

           

Egyenletünk szerint minden j-hez egyetlen l tartozik, és j®±90° esetén l®±¥. Egy l-hoz viszont (a¹90° esetén) végtelen sok j  is tartozhat.

 

A j1,l1 és  j2,l2 koordinátájú pontokon áthaladó loxodróma azimutja:

           

 

Az a azimuthoz tartozó loxodróma j1 és j2 szélességek közé eső darabjának ívhossza szintén az iménti ábra alapján adható meg, ugyanis:

, ahonnan 

A loxodróma-ívet kis részekre felosztva, a képletet az egyes részekre alkalmazva összegzünk, ami a minden határon túli finomítás után integrálásba megy át:

               

innen  .

vagyis a loxodróma-ív hossza az íven fellépő szélességmegváltozás lineáris függvénye.

 

Nevezetes alapfelületi felületdarabok

 

Az alábbiakban megemlítünk néhány – alapfelületi vonalak által határolt – nevezetes felületdarabot, amelyek a térképészetben szerepet játszanak.

 

A térgeometriából ismert, hogy egy sík egy gömbfelületet két gömbsüvegre bont fel. Két párhuzamos síkkal elmetszve a gömbfelületet, a két gömbsüveg között egy gömbövet kapunk. A j1 és j2 (j1£j2) szélességek közé eső gömböv F felszíne:

           

(j1 =-90° vagy j2 =+90° esetén ugyanez a képlet megadja az egy parallelkör által határolt gömbsüveg felszínét.)

 

A forgási ellipszoidon az egyenlítő (F0 =0°) és F  szélességi kör közé eső ellipszoid-öv F felszíne:

Ugyanez sor alakjában felírva:

A F -be 90°-ot helyettesítve kapjuk a fél-ellipszoid felszínét, ennek kétszereséből pedig az Fe ellipszoidi felszínt:

 

A fentiek alapján a F1  és F2 szélességi körök közé eső ellipszoid-öv F felszíne:

           

illetve ugyanez sor-alakban:

 

Kössük össze a gömbfelület egyik átmérőjének végpontjait két gömbi főkörívvel (félkörrel); ezek a gömbfelületet két gömbkétszögre bontják. A l1 és l2 meridián által közrezárt gömbkétszög a teljes gömbfelszín (4×R2×p) arányos része,  F felszíne tehát:

           

A forgási ellipszoidon is kijelölhető a határoló L1 és L2 meridiánokkal egy ellipszoidi kétszög (zóna); ennek F felszíne a forgási ellipszoid teljes felszínének arányos része:

           

 

A térképészetben jelentős szerepet játszik a j1 és j2 (j1£j2) parallelkör, valamint a l1 és l2 (l1£l2) meridián által határolt felületdarab, az ún. foktrapéz, másként földrajzi négyszög. Ennek F felszíne gömb alapfelületen:

           

 

Forgási ellipszoid alapfelületen a F1 és F2 (F1£F2) parallelkör, valamint a L1 és L2 (L1£L2) meridián által határolt foktrapéz felszíne:

 

A gömb alapfelületen végzett számítások fontos eszköze a gömbháromszög, amelyet három gömbi főkörív határol. A gömbháromszögnek három oldala és három szöge van, amelyek közül általános esetben három mennyiség független, a többi a gömbháromszögtani tételek segítségével kiszámolható. Ha a gömbháromszög szögeit a, b és g  jelöli, akkor a gömbháromszög F felszíne:

             .

A gömháromszög felszíne negatív nem lehet, így  a+b+g ³180°. Az  e=a+b+g –180°  mennyiséget gömbi szögfölöslegnek nevezzük. Ennek felhasználásával:

             .

Másrészt a konvex gömbháromszög szögeinek összege 540°-nál kisebb.

 

A térképészeti számításokban gyakran használnak olyan gömbháromszögeket, amelyeknek egyik csúcsa a pólusban van. Az ilyen gömbháromszögeket szokás polárgömbháromszögnek nevezni.

 

A síkháromszögek sok tulajdonsága a gömbháromszögekre is átvihető. Így pl. két oldal összege nagyobb a harmadik oldalnál. A gömbháromszögben nagyobb oldallal szemben nagyobb szög, egyenlő oldalakkal szemben egyenlő szög helyezkedik el. Ezek alapján az általános gömbháromszögek mellett beszélhetünk az egyenlő szárú (szimmetrikus) és az egyenlő oldalú (szabályos) gömbháromszögekről.

 

A gömbháromszögekre vonatkozó tulajdonságok egy részénél előnyös, ha egységsugarú gömbön vizsgáljuk ezeket. Ekkor a gömbháromszög oldalhosszai egyértelműen megadhatók a hozzájuk tartozó középponti szögekkel. A továbbiakban tehát a gömbháromszög oldalait is szögekkel adjuk meg. Az általános gömbháromszögek oldalai és szögei közül három tetszőleges adat független, a többi adat az alábbi összefüggésekkel határozható meg.

 

A gömbháromszög szögeire (a,b,g), valamint a velük szemközti oldalakra (a,b,c) vonatkozik az ún. gömbháromszögtani szinusztétel:

           

 

A gömbháromszög oldalai és egyik szöge között teremti meg a kapcsolatot az ún. gömbháromszögtani oldal-koszinusztétel, pl. az  a oldalra és a vele szemközti a szögre felírva:

           

 

A gömbháromszög szögei és egyik oldala közötti összefüggést az ún. gömbháromszögtani szög-koszinusztétel adja meg, pl. az  a oldalra és a vele szemközti  a szögre felírva:

           

 

Ha adott a három oldal, vagy két oldal és a közbezárt szög, akkor az oldal-koszinusztétellel; ha a három szög, vagy egy oldal és a rajta fekvő két szög, akkor a szög-koszinusztétellel lehet elindulni a megoldásban.

 

A fenti tételek kombinálásával minden ismeretlen adat kiszámítható, de gyakran jól hasznosítható az ún. második alapforma is, amely két oldal, a közbezárt szög és valamelyik másik szög között létesít összefüggést:

           

(A baloldalon szereplő oldalak kiválasztása és sorrendje szerint összesen 6 alakja írható fel.) Mint látható, az a oldal és az a szög ebből kifejezhető, azonban a b oldal és a g  szög kiszámítása másodfokú egyenletre vezet.

 

Meridiánkonvergencia az alapfelületen és a térképen

 

A meridiánok a pólus felé összetartanak, ezzel kapcsolatos a meridiánkonvergencia fogalma, amely mind a térképészetben, mind a navigációban használatos.

 

A meridiánok összetartásának mértékét fejezi ki az alapfelületi meridiánkonvergencia. Vegyünk két pontot (P1 és P2) az alapfelületen és kössük össze ezeket egymással és a pólussal ortodrómaívek segítségével. A két pontbeli azimut különbségének 180° feletti részét nevezzük a (c-vel jelölt) alapfelületi meridiánkonvergenciának. Képletben:

           

Gömb alapfelület esetén egyszerű összefüggés adható meg a gömbi szögfölösleg és a valódi gömbi meridiánkonvergencia között. Ehhez írjuk fel a P1, a P2 és a pólus által meghatározott polárgömbháromszög belső szögeinek összegét (???ábra):

           

ahol Dl a két pont hosszúságkülönbsége és e a gömbi szögfölösleg. Átrendezve az egyenletet:

 

vagyis

.

 

A navigációban az alapfelületi meridiánkonvergencia kiszámítására az alábbi közelítő képletet használják:

           

ahol  arcc  a meridiánkonvergencia ívmértéke,  s  jelöli a P1 és P2 pontok közötti távolságot (km-ben),  j1 és j2  a pontok szélességét, R  pedig a közelítő földsugarat (R=6371.1km).

 

A vetületi meridiánkonvergencia az a m -vel jelölt szög (???ábra), amelyet a képfelületi P' ponton áthaladó meridiánkép érintője a képfelületi derékszögű koordinátarendszer hálózati északi irányt kijelölő tengelyével bezár, és amelyet az óramutató járásával ellentétesen irányítunk. A vetületi meridiánkonvergenciának a vetületek geodéziai alkalmazásánál van szerepe.