A vetületek hét nézőpontja

 

Vetületi transzformációk a fokhálózat és a segédfokhálózat elforgatásával

 

Az egyes vetületeknél általában körvonalazható egy olyan terület, ahol bizonyos torzulás vagy a torzulások nem növekednek meg számottevően. A valódi síkvetületeknél ilyen pl. a pólus "kör" (valójában gömbsüveg) alakú környezete, a valódi hengervetületeknél az egyenlítő körüli sáv, a kúpvetületeknél egy - mind a pólustól, mind az egyenlítőtől távolabb eső - szélességi kör mentén elterülő tartomány. Gyakran előfordul mind a topokartográfiai, mind a geokartográfiai gyakorlatban valahol máshol elterülő, közelítőleg "kör" alakú, egy gömbi főkör vagy egy gömbi kör mentén elterülő tartomány ábrázolásának kívánalma is – lehetőleg előnyös torzulásokkal. Ilyenkor rendszerint kielégítő eredményt ad, ha a megfelelő vetület vetületi egyenleteit nem a (j,l) földrajzi, hanem egy alkalmasan választott (j*,l*)  segédföldrajzi koordinátarendszer koordinátáira, tehát a segédszélességre és a segédhosszúságra vonatkoztatjuk:

           

és ezzel lényegében a fokhálózat kedvező torzulási részét a segédföldrajzi fokhálózat segítségével az általunk ábrázolandó területre helyezzük át. Ezt a módszert nevezzük transzverzális vagy ferdetengelyű vetület alkalmazásának, attól függően, hogy a segédpólus az egyenlítőn vagy valamely más, az eredeti póluson kívüli pontban van. Ha a segédpólus az eredeti pólussal megegyezik, vagyis a vetületi egyenletek az eredeti földrajzi koordinátákra vonatkoznak, akkor normális vetületről beszélünk.

 

A fentiekben elmodottak a fokhálózat elforgatásával valósíthatók meg, ezért hívjuk ezeket fokhálózat-elforgatási transzformációknak. Általánosságban a pólust áthelyezzük a segédpólusba, a kezdőmeridiánt a segédkezdőmeridiánba, három elforgatás segítségével (???ábra):

 - az elsődleges elforgatás a poláris tengely (az alapfelület forgástengelye) körül;

 - a másodlagos elforgatás egy - az egyenlítő síkjában elhelyezkedő - tengely körül;

 - a harmadlagos elforgatás a segéd-poláris tengely körül.

 

Az elsődleges elforgatás a kezdőmeridián (és egyúttal a tőle K-re és Ny-ra 180°-ra elhelyezkedő határoló meridián) elforgatását jelenti, és egyenértékű azzal, hogy a földrajzi hosszúsághoz hozzáadunk egy (tetszőleges előjelű) konstanst, miközben a parallelkörök önmagukba mennek át, így a szélességek nem változnak. A térképi fokhálózat jellege nem változik.

 

A másodlagos elforgatás során az eredeti pólus egy meridián mentén elfordul a segédpólusba. Ennek során a szélességek segédszélességekbe, a hosszúságok segédhosszúságokba mennek át, viszont a pontok szélességei és hosszúságai általában megváltoznak.

 

A harmadlagos elforgatás a segéd-kezdőmeridián (és a tőle K-re és Ny-ra 180°-ra elhelyezkedő határoló segédmeridián) elforgatásához vezet, vagyis lényegében a segédhosszúsághoz egy (tetszőleges előjelű) konstans hozzáadását jelenti; a segédparallelkörök ennek során önmagukba mennek át. A segédhosszúság megváltozása forgásszimmetrikus segéd-fokhálózat esetén a forgásszimmetria középpontja körüli elforgatását eredményezi, és a térképi fokhálózat is ugyanígy fordul el, a jellege eközben nem változik. Ha viszont a segéd-fokhálózat nem forgásszimmetrikus, akkor a harmadlagos elforgatás következtében a fokhálózat jellege újabb megváltozást szenved el.

 

Világos tehát, hogy a másodlagos elforgatás következtében keletkezett transzverzális és ferdetengelyű fokhálózatok a harmadlagos elforgatás mértékétől függően tovább differenciálódhatnak. (Ez a normális fokhálózatokra nem vonatkozik, mert ott a segédfokhálózati vonalak egyben fokhálózati vonalak is, ezért a harmadlagos elforgatás jellegében nem különbözik az elsődleges elforgatástól, azzal összevonható.)

 

Vizsgáljuk meg az összes lehetséges esetet. Ehhez bontsuk fel a gömb-alapfelületet három gömbi főkörrel, úgymint a segédegyenlítővel, a segéd-kezdő- és határoló bimeridiánnal, valamint a ±90°-os segéd-bimeridiánnal nyolc szabályos gömbháromszögre, melyeknek mindegyik oldala és szöge 90°-os. Válasszuk ki ezek közül pl. azt, amelyet a segéd-kezdőmeridián, a segédegyenlítő és a 90°-os segédmeridián alkot (???ábra). A pólus elhelyezkedése ebben a segédgömbháromszögben hét különböző esetbe („nézőpontba”) sorolható.

1.)    A pólus a segédpólusba esik: ez a direkt helyzet, amely a normális elhelyezésnek felel meg.

2.)    A pólus a segédegyenlítő és a segéd-kezdőmeridián találkozásánál van: ez az első transzverzális helyzet.

3.)    A pólus a segédegyenlítő és a 90°-os segédmeridián metszéspontjában helyezkedik el: ez a második transzverzális helyzet.

4.)    A pólus a segédegyenlítő – határpontoktól különböző – belső pontjainak egyikébe esik: ez a ferde transzverzális helyzet.

5.)    A pólus a segéd-kezdőmeridián belső (tehát a segédpólustól és a segédegyenlítőtől különböző) pontjába esik: ez az egyszerű ferdetengelyű helyzet.

6.)    A pólus a 90°-os segédmeridián belső (tehát a segédpólustól és a segédegyenlítőtől különböző) pontjába esik: ez az aszimmetrikus ferdetengelyű helyzet.

7.)    A pólus a gömbháromszög határvonalaitól különböző tetszőleges belső pontja: ez a plagális helyzet (a „haránt, ferde” jelentésű görög „plagios” „plagios” szóból).

Láthatólag a 2.)-4.) esetek a transzverzális elhelyezés differenciálódása révén jöttek létre, az 5.)-7.) esetek pedig a ferdetengelyű elhelyezés alesetei.

 

Ha a pólus valamelyik másik nyolcad-gömbnyi gömbháromszögben van, akkor értelemszerűen a határoló segéd-bimeridiánok valamelyikének vagy mindkettejének másik felét kell figyelembe venni.

 

A valódi vetületeknél a fokhálózat illetve a segédfokhálózat forgásszimmetrikus. A valódi síkvetületeknél ez nyilvánvaló, a valódi kúpvetületeknél pedig azzal a kiegészítéssel igaz, hogy a segéd-határoló meridián helyzete a bemutatandó terület egybefüggő vagy éppenséggel kétfelé választott ábrázolását dönti el. A valódi hengervetületeknél a fokhálózat egy része az eltolással szemben invariáns, azzal a kiegészítéssel, hogy az eltolásnál a határoló illetve segéd-határoló meridián melletti területek egy része átkerül a másik oldalra; így tágabb értelemben ezt is forgásszimmetrikusnak tekinthetjük. Ezek miatt a valódi vetületek fokhálózatának jellegét csak a másodlagos elforgatás befolyásolja, a harmadlagosé nem. A képzetes vetületeknél viszont, ahol a fokhálózat nem forgásszimmetrikus, a transzverzális és a ferdetengelyű elhelyezés három-három alesetét meg kell különböztetni.

 

A hét nézőpont gyakorlati jelentősége a globális témák térképi ábrázolásánál mutatkozik meg. Ilyen térképeknél a távoli vagy nagy kiterjedésű területek közötti földrajzi kapcsolatok bemutatásakor nem ritkán merül fel szokatlan ábrázolások igénye, amelyek fokhálózat-elforgatási transzformációval jól szemléltethetők. A kérdéses terület, a területeket összekötő vonal vagy föld-részlet egybefüggően hozható a térkép közepére. Ezzel ráadásul a vetületi torzulások, amelyek a kiterjedt terület ábrázolásakor szükségképpen megnőnek, enyhíthetők.

 

Az első ilyen alkalmazás J. Bartholomew brit térképész nevéhez fűződik (1948), aki a Mollweide-vetület transzverzális ferde transzformációjával létrehozta nevezetes „Atlantis” vetületét. A hét nézőpont korrekt elméletét részletesen Thomas Wray (1974) alkotta meg.

 

Wray adott pontos választ arra a nem triviális kérdésre is, hogy egy vetület fokhálózat-elforgatási transzformációi közül melyik tekinthető normálisnak, transzverzálisnak (vagy esetleg ferdetengelyűnek). Vegyük a probléma bemutatásához a sztereografikus vetület normális és transzverzális elhelyezését:

                                                           

                                                          

Ha az utóbbit (t.i. a transzverzális sztereografikus vetületet) önálló vetületnek tekintenénk, akkor a vetületi egyenletekbe b helyére b*-ot, l helyére l*-ot helyettesítve majd a segédpólus szélességét 0°-nak véve, a normális sztereografikus vetület vetületi egyenleteit kapjuk vissza. Tehát a transzverzális sztereografikus vetületre alkalmazva a fokhálózat-elforgatási transzformációt, annak transzverzális elhelyezése éppen a normális elhelyezéssel egyezik meg. Elméletileg a két vetület közül bármelyiket tekinthetnénk normális elhelyezésűnek, és akkor a másik lenne a transzverzális változat. Ebben az esetben az az elv dönti el a normális eset kiválasztását a két lehetőség közül, hogy az első vetületi egyenlet-pár szemmel láthatóan egyszerűbb a másodiknál.

 

Előfordul azonban, hogy az egyes variánsok közül egyik sem egyszerűbb érdemben a másiknál. Tekintsük ehhez Littrow köztudomásúlag szögtartó vetületét. Ismeretes a vetületi torzulások általános elméletéből, hogy a szögtartó vetületek vetületi egyenleteit felírhatjuk olyan komplex változós  z=z(w)  függvényként, ahol w=y+i×l és z=x+i×y. (Itt a l hosszúság mellett y  jelöli az ún. izometrikus szélességet, amely a j  gömbi szélességből a

             

képlettel számítható ki.) Nevezetesen a

           

függvény éppen a Littrow féle vetületet adja meg. Maurer (1935) vetületi katalógusában ezen a vetületen kívül külön vetületként fel van megemlítve a

           

függvénnyel, valamint a

           

függvénnyel leírt vetület, amelyek viszont sorra a fenti Littrow-vetület első és második transzverzálisai. Amint látjuk, ezek közül egyik sem egyszerűbb a többinél. Ebben a speciális esetben a legrégebben ismert vetületet célszerű normális helyzetűnek tekinteni, amely esetünkben a Littrow-vetület (1833).