ELLIPSZOID-ALAPFELÜLETŰ VETÜLETEK A GEOKARTOGRÁFIÁBAN ÉS A TOPOKARTOGRÁFIÁBAN 1.

 

 

Az ellipszoidot elsősorban a nagyobb méretarányú térképek alapfelületeként használják. Általánosságban elmondható, hogy egy kb. 1 milliós méretarányú térképen már jelentkezik a gömb és ellipszoid alapfelület közötti különbség. Készültek ennél nagyobb (pl. 750 ezres) méretarányban térképek gömb alapfelülettel, másrészt van ennél jóval kisebb (pl. 2.5 milliós) méretarányú térképmű, amelyhez ellipszoid alapfelületet használtak.

 

Ellipszoid-alapfelületű vetületeken olyan vetületeket értünk, amelyeknek vetületi egyenletei közvetlenül rendelik hozzá az  x,y  síkkoordinátákat egyrészt a  F  ellipszoidi szélességhez (vagy a  B  ellipszoidi pólustávolsághoz), másrészt a  L  hosszúsághoz:

           

           

vagy

           

           

 

Az ellipszoid alapfelületű vetületeket a gömb alapfelületűekhez hasonló csoportosításban tárgyaljuk.

 

 

Valódi vetületek ellipszoid alapfelülettel

 

Az ellipszoid-alapfelületű vetületek idetartozó nagy csoportja rendelkezik a valódi vetületek fokhálózatára vonatkozó tulajdonságokkal:

-          a parallelkörök képei ekvidisztáns koncentrikus körök, a meridiánok képei egy pontba összefutó egyenesek (valódi síkvetületek);

-          a parallelkörök képei ekvidisztáns párhuzamos egyenesek, a meridiánok képei nem feltétlenül ekvidisztáns párhuzamos egyenesek (valódi hengervetületek);

-          a parallelkörök képei ekvidisztáns koncentrikus körívek, a meridiánok képei egy pont felé összetartó egyenesek (valódi kúpvetületek);

 

 

Valódi síkvetületek ellipszoid alapfelülettel

 

Kerüljön a síkkoordinátarendszer origója a korábbiaknak megfelelően a pólusba, és essen a kezdőmeridián az  y  tengely negatív felére. Ekkor r=r(B) -val jelölve a  B pólustávolságú parallelkör képfelületi sugarát (a sugárfüggvényt), a vetületi egyenletek:

           

           

 

Jelölje most  a  és  b  az ellipszoid nagy és kis féltengelyét, e az ellipszoid első excentricitását. A  r(B)  sugárfüggvény meghatározásához induljunk ki az ellipszoidon érvényes fokhálózat menti hossztorzulásokból. A DL hosszúságkülönbséghez tartozó parallelkör menti  Dp

ívhossz a B pólustávolságú parallelkörön:

 


Az ennek megfelelő képfelületi  dp’  ívhossz a képfelületen:

           

A parallelkör menti  h  hossztorzulás tehát:

               

 

DB szélességkülönbséghez tartozó meridián menti  Dm  ívhossz:

           

(Itt  M(B) a meridiángörbületi sugár.) Az ennek megfelelő képfelületi  Dm’  ívhossz:

           

A meridián menti  k  hossztorzulás tehát:

           

Az ellipszoid alapfelületű vetületek körében ezen  h  és  k  hossztorzulások alapján alkotható meg a meridiánban hossztartó ill. ekvidisztáns, a szögtartó és a területtartó síkvetület.

 

Meridiánban hossztartó ill. ekvidisztáns síkvetület ellipszoid alapfelülettel

 

Az ekvidisztáns síkvetületben a térképi meridián menti hosszak arányosak a megfelelő alapfelületi meridiánhosszal. A sugárfüggvény tehát:

           

ahol  c  a képfelületi és az alapfelületi hossz aránya;  c=1  esetén a vetület meridiánban hossztartó. (A térképi meridiánok mentén – eltérően a gömb alapfelületű vetülettől – a parallelkörök metszésközei nem lesznek egyenlők, mert az ellipszoid alapfelületen az egyenlítőtől a pólusig a parallelkörök távolsága növekszik.) A sugárfüggvény képletében szereplő integrál numerikusan számítandó. Ismeretes sorfejtésből adódó sugárfüggvény is. A vetület általános torzulású. c=1  esetén a pólusban nincsen torzulás,  c<1  esetén van egy torzulásmentes parallelkör.

 

Az 1 : 2.5 milliós világtérképműben a pólusok környékét a 60°-os illetve a -60°-os szélességig terjedően ekvidisztáns síkvetületben ábrázolják,  c=0.99 választással. A  75.9432° szélesség (B=14.0568°) hossztartó.

 

Szögtartó síkvetület ellipszoid alapfelülettel

 

A topokartográfiában – például a Gauss-Krüger és az UTM vetületi rendszereknél – a pólus környékének ábrázolására is használják a szögtartó síkvetület normális elhelyezésű változatát, de ellipszoid alapfelülettel. Ennek a B  ellipszoidi pólustávolságtól függő sugárfüggvénye az ellipszoid alapfelületre érvényes szögtartási alapegyenletből (a parallelkör menti  h  hossztorzulás és a meridián menti k hossztorzulás egyenlőségéből) vezethető le:

           

A szétválasztható változójú differenciálegyenletet integráljuk:

           

Ennek megoldásából kapjuk a r sugárfüggvényt:

           

ahol  d  az a konstans, amely kijelöli a hossztartó (és így torzulásmentes) parallelkört.

 

Ha pl. a pólus torzulásmentes, akkor a

           

egyenletből kapjuk, hogy

           

 

A NATO topokartográfiai világtérképműjénél alkalmazott UTM vetület a Földet csak a D-i szélesség 80°-tól az É-i szélesség 84°-ig ábrázolja; a pólusok környéke viszont a fenti szögtartó síkvetületben készül, a

           

választással. Ez az UPS (Universe Polar Stereographic) elnevezésű vetület (Hayford 1924 alapfelület esetén) a  ±81°6’52.2588” szélességen torzulásmentes, a pólusokban 0.994-szeres hossztorzulás lép fel  (d=12637636.654785).

 

Ugyancsak a poláris sztereografikus vetületet használják 1962 óta az 1:1 000 000 geokartográfiai világtérképmű pólus ábrázolásához (az É.sz. 84°-tól az északi, illetve a D.sz. 80°-tól a déli pólusig terjedően). A Hayford 1924 ellipszoid alapfelület választással (d=12621895.458099) a  ±80°14’19” szélességi kör torzulásmentes, a pólusban fellépő hossztorzulás: 0.99276189.

 

Területtartó síkvetület ellipszoid alapfelülettel

 

A pólusok környékének nagyméretarányú, területtartó ábrázolásához ajánlható az ellipszoid alapfelületű területtartó síkvetület. Kiindulva a területtartás alapegyenletéből:

             

esetünkben

           

Ez egy szétválasztható változójú differenciálegyenlet, melyet integrálva:

           

A megoldás:

           

Ebből kapjuk a sugárfüggvényt:

           

ahol a  r(b=0)=0  (vagyis a póluspontosság) követelménye miatt

           

Tehát

           

 

A pólusban az  l  hossztorzulás egységnyi, emiatt itt nincs torzulás.

 

 

Valódi hengervetületek ellipszoid alapfelülettel

 

A síkkoordinátarendszer origóját az Egyenlítő és a kezdő- (közép-) meridián metszéspontjában vesszük fel. Írjuk fel a  fokhálózat  menti hossztorzulásokat.

 

A DL hosszúságkülönbséghez tartozó parallelkör menti  Dp  ívhossz a  F  szélességű parallelkörön:

Az ennek megfelelő képfelületi  Dp’  ívhossz a parallelkörök elvárt ekvidisztanciája alapján:

           

ahol  c  konstans. A parallelkör menti  h  hossztorzulás tehát:

           

Legyen most a  Fn  szélességi kör hossztartó, ekkor

           

ahonnan

           

ami éppen a hossztartó szélességi kör sugara.

 

Ebben az esetben tehát:

           

 

DF  szélességkülönbséghez tartozó meridián menti  Dm  ívhossz:

           

(M(F)  itt is a meridiángörbületi sugár.) Az ennek megfelelő képfelületi  Dm’  ívhossz egy y irányú elmozdulás, :

           

A meridián menti  k  hossztorzulás tehát:

           

 

Az ellipszoid-alapfelületű hengervetületek  x  vetületi egyenletének felírásához induljunk ki abból, hogy gyakorlatilag minden hengervetületnek van hossztartó szélességi köre (±Fn), amelynek sugara a fentiekben megadott  c.  Innen:

           

 

A  h  és a  k  hossztorzulásokból vezethető le a meridiánban hossztartó, a szögtartó és a területtartó ellipszoid-alapfelületű hengervetület  y  vetületi egyenlete.

 

Meridiánban hossztartó hengervetület ellipszoid alapfelülettel

 

A meridiánban hossztartó hengervetületben a térképi meridián menti hosszak megegyeznek az alapfelületi ívhosszakkal. Az  y  vetületi egyenlet tehát:

           

Ez a vetület általános torzulású, a hossztartó parallelkör(ök) torzulásmentes(ek).

 

Szögtartó hengervetület ellipszoid alapfelülettel

 

A szögtartás alapegyenletéből

           

következik, ami hengervetületek esetén

           

alakú. Innen  dy/dF  kifejezhető:

           

Az integrálást elvégezve kapjuk, hogy

           

A hossztartó  ±Fn  szélességi kör torzulásmentes.

 

Területtartó hengervetület ellipszoid alapfelülettel

 

A területtartás alapegyenletéből

           

következik, ami hengervetületek esetén

           

alakú. Fejezzük ki  dy/dF -t:

           

Ezt integrálva kapjuk, hogy

           

           

A hossztartó  ±Fn  szélességi kör torzulásmentes.

 

 

Valódi kúpvetületek ellipszoid alapfelülettel

 

Vegyük fel a síkkoordinátarendszer origóját abba a pontba, amely felé a meridiánképek összetartanak, és kerüljön a kezdő- (vagy közép-)  meridián az  y  tengely negatív felére. Ekkor a szokásos  r=r(B) -val jelölve a parallelkör képfelületi sugarát (a sugárfüggvényt), a vetületi egyenletek:

           

           

ahol  n  a térképi meridiánok által bezárt L’ szög és a megfelelő alapfelületi meridiánok által bezárt L szög aránya (a sugárhajlás).

 

Írjuk fel az ellipszoidon érvényes fokhálózat menti hossztorzulásokat. A DL hosszúságkülönbséghez tartozó parallelkör menti  dp  ívhossz a B pólustávolságú parallelkörön:

 

Az ennek megfelelő képfelületi  dp’  ívhossz a képfelületen:

           

A parallelkör menti  h  hossztorzulás tehát:

                     

 

DB szélességkülönbséghez tartozó meridián menti  dm  ívhossz:

           

(Itt  M(B) a meridiángörbületi sugár.) Az ennek megfelelő képfelületi  dm’  ívhossz:

           

A meridián menti  k  hossztorzulás tehát:

           

A  h  és  k  hossztorzulásokból vezetjük le  a meridiánban hossztartó ill. ekvidisztáns, a szögtartó és a területtartó kúpvetületet.

 

Meridiánban hossztartó ill. ekvidisztáns kúpvetület ellipszoid alapfelülettel

 

A meridiánban hossztartó kúpvetületben a térképi meridián menti hosszak megegyeznek a megfelelő alapfelületi meridiánhosszal. Ebből adódóan a sugárfüggvény:

           

ahol  rp  a pólusvonal sugara. (Hasonlóan a síkvetületekhez, a térképi meridiánok mentén a parallelkörök metszésközei itt sem lesznek egyenlők, mert az ellipszoid alapfelületen az egyenlítőtől a pólusig a parallelkörök távolsága növekszik.) A sugárfüggvény képletében szereplő integrál itt és a továbbiakban numerikusan számítható. A vetület általános torzulású.

 

Az  n  sugárhajlás és a  r  sugárfüggvényben szereplő  d  additív konstans (így a pólusvonal  rp  sugara) a hossztartó parallelkörök számából és helyzetéből adódik a következők szerint:

 

Legyen  B1  és  B2  a két hossztartó parallelkör, és jelölje  r1  és  r2  ezek térképi sugarát. Írjuk fel ezekre a hossztartás egyenletét:

           

és

           

Egyszerűsítés után vonjuk ki a második egyenletet az elsőből:

           

Felhasználva az ellipszoidi paralelkör sugarára az

           

jelölést, kifejezhetjük  n-et:

           

Részletesen:

           

Itt felhasználtuk, hogy a hossztartó parallelkörök  r1  és  r2  térképi távolsága – a meridiánban való hossztartás miatt – megegyezik az alapfelületi meridiánív hosszával.

 

A pólusvonal  rp  sugara szintén a hossztartó parallelkörökre vonatkozó egyenletekből következik:

           

A meridián menti hossztartásból:

           

Rövidebben:

           

Végezzük el az átszorzást és fejezzük ki  rp –t:

A nevezőt beszorozva és el is osztva a  B2  és  B1  közötti meridiánív hosszával, becsempészhető az  n.  Elvégezve az átalakításokat, kapjuk a  rp  egyszerűbb alakját:

Részletesebben:

Ezt a vetületet használják a később tárgyalandó 1 : 2.5 milliós világtérképműben a D-i és É-i szélesség 64°-a közötti terület ábrázolására.

 

A meridiánban hossztartó kúpvetület egy parallelkörben hossztartó változatánál a  r  sugárfüggvény  d  additív konstansát – rp  helyett – szerencsésebb a  Bn  pólustávolságú hossztartó parallelkör rn térképi sugarával kifejezni:

Jelölje  w  a képzeletben körgyűrű-cikké kiterített kúp térképi nyílásszögét. A  Bn  parallelkör hossztartásának jelentése:

           

Innen az  n  sugárhajlás:

           

Most már felírhatjuk a  h  parallelkör menti hossztorzulást:

           

A kúpvetületnek akkor van egyetlen hossztartó parallelköre B=Bn -nél, ha a  h  parallelkör menti hossztorzulás éppen  B=Bn –nél veszi fel a minimumát, vagyis:

           

Elvégezve a deriválást és a behelyettesítést, az alábbi egyenlethez jutunk:

Az egyenletből  rn  kifejezhető:

           

Ezt visszahelyettesítve az  n  képletébe:

            ,

ami megegyezik a gömb alapfelületű, egy parallelkörben hossztartó kúpvetület sugárhajlásának képletével.

 

Szögtartó kúpvetület ellipszoid alapfelülettel

 

A sugárfüggvényhez a szögtartás alapegyenletéből (a parallelkör menti  h  hossztorzulás és a meridián menti k hossztorzulás egyenlőségéből) juthatunk el:

           

Integráljuk a szétválasztható változójú differenciálegyenletet:

           

Az egyenlet megoldásából kapjuk a r sugárfüggvényt:

ahol a  d  konstans és az  n  sugárhajlás együttesen jelöli ki a hossztartó (és így torzulásmentes) parallelkört illetve parallelköröket.

 

Ha  Bn  jelöli az egyetlen hossztartó parallelkört, akkor a hossztartást jelentő

           

egyenletből és a parallekör menti  h  hossztorzulás minimumát a  Bn-ben kijelölő

           

egyenletből kapjuk  n  és  d  értékét. Írjuk fel ehhez  h  deriváltját:

           

           

Látható, hogy ennek a kifejezésnek az utolsó tényezője a  B=Bn  helyen akkor zérus, ha

           

A hossztartás egyenletébe behelyettesítve a  r  sugárfüggvény képletét, majd az egyenletből kifejezve  d -t:

             ,

ahol  n  már ismert a fenti egyenlőségből.

 

A  Bn  hossztartó parallelkör a szögtartás miatt torzulásmentes.

 

Ha két hossztartó parallelkörünk van (B1 és B2), akkor fejtsük ki a  h(B1)=1  és  h(B2)=1  egyenlőségeket:

           

            .

E két egyenletet egymással elosztva és egyszerűsítés után a kapott egyenletet logaritmálva, jutunk az

           

egyenlethez. Ebből  n  kifejezhető:

           

 

majd  n  segítségével kapjuk  d -t.

           

 

Ezt az  n-et és d -t és  helyettesítve a  r  sugárfüggvénybe, a szögtartó kúpvetületünk a  B1  és  B2  szélességű parallekörök mentén torzulásmentes lesz. Ha adott  n  és  d, akkor a  h(B1)=1  és  h(B2)=1  egyenlőségek mint nem-lineáris egyenletek megoldásával kapjuk  a hossztartó (és egyben torzulásmentes)  B1  és  B2  szélességi köröket.

 

A Lambert német matematikus-térképésztől eredő szögtartó kúpvetülethez az ellipszoidi képleteket a XIX.sz. folyamán fejlesztették ki. A topokartográfia – Lambert-Gauss féle vetület néven – a XX.sz. 10-es éveitől elterjedten használja országok geodéziai-topográfiai ábrázolásához, majd (pl. léginavigációs célra készült) világtérképművekhez. Franciaország pl. az I. világháború óta ebben a vetületben készíti katonai topográfiai térképeit. A D-i Mediterráneum országai Egyiptomtól Marokkóig a topográfiai térképekhez szintén ezt a vetületet alkalmazzák.  Az 1:1000000 méretarányú világtérképmű (IMW) eredeti módosított polikónikus vetületét is ez a vetület váltotta fel 1962 óta.

 

Területtartó kúpvetületek ellipszoid alapfelülettel

 

A  r  sugárfüggvényt a területtartás

           

alapegyenletéből kiindulva kapjuk meg. Ez kúpvetületek esetén a

           

szétválasztható változójú differenciálegyenletet jelenti, melyet integrálva az

           

egyenlethez jutunk. Ennek megoldása:

            ,

amiből egyszerűen következik a sugárfüggvény:

           

 

Ha a kúpvetületünk póluspontos (B=0  esetén  r=0), akkor a  d  integrációs konstanst a

           

egyenlet adja. Legyen most a  Bn  pólustávolságú parallekör hossztartó. Ekkor a

           

egyenletből kifejezhető az  n  sugárhajlás:

           

A  Bn hossztartó parallekör torzulásmentes.

 

A pólusvonalas területtartó kúpvetület lehet egy vagy két parallelkörben hossztartó.

 

Ha  Bn  az egyetlen hossztartó parallelkör, akkor a

           

egyenleten kívül fel kell még tételezni, hogy a  h  parallelkör menti hossztorzulás a  B=Bn  parallelkörön veszi fel a minimumát:

           

Az utóbbi egyenlőséget a

                       

képletből részletesen felírva:

           

           

(ahol felhasználtuk a területtartás

egyenletét.)

Elvégezve a  B=Bn  behelyettesítést, az így kapott

           

egyenletből a  r2(Bn)-et kifejezve és ebbe beírva a területtartó kúpvetület fentiekben meghatározott  r  sugárfüggvényét, az alábbi egyenlethez jutunk:

           

Innen  d  kifejezhető:

           

Most térjünk vissza a hossztartás egyenletéhez, illetve annak négyzetéhez:

           

Helyettesítsük be  r2(Bn)  általános képletét, abba pedig  d  iménti értékét:

           

Az egyszerűsítések elvégzése után kapjuk, hogy

           

A területtartás miatt a hossztartó parallelkör egyben torzulásmentes.

 

A két (B1 és  B2)  parallelkörben hossztartó verzióban a  d és az  n  paramétert a

                 és a     

egyenletekből határozzuk meg. Négyzetreemelés után:

           

és

Fejezzük ki  r2-e mind a két egyenletből:

           

és

           

Egyszerűsítés és átszorzás után a  d kiküszöbölése céljából vonjuk ki a két egyenletet egymásból

Fejezzük ki innen  n-t:

 

Ha a két fenti egyenletet elosztjuk egymással, akkor  n esik ki:

           

Innen kifejezhető  d:

Ez a nevezetes Albers féle területtartó kúpvetület ellipszoid alapfelületű változata. A két hossztartó parallelkör a területtartás miatt egyben torzulásmentes is. Elsősorban az Egyesült Államokban használatos az egyes tagállamok nagyobb méretarányú geokartográfiai ábrázolásánál.

 

 Az „Atlas der Donauländer” területtartó kúpvetülete

 

A Duna menti országok természet- és társadalomföldrajzi viszonyait  M = 1 milliós méretarányban  48 különböző tematikával ábrázoló, bécsi kiadású „Atlas der Donauländer” 1970 és 1989 között folyamatosan, térképlaponként jelent meg. A 48 térképlap egységes vetületben készült, amely a korábbiakban leírt ellipszoid alapfelületű póluspontos területtartó kúpvetület némileg egyszerűsített közelítése.

 

E vetületben az  n  sugárhajlást és a  r  sugárfüggvényt az alábbi képletek adják meg:

           

és

           

ahol az e  korrekciós tag képlete:

           

 

A vetület alapfelülete a nemzetközi Hayford-elliszoid. Az ábrázolt terület nagyjából a 39° és az 51° É-i szélesség között terül el. Ennek megfelelően a  Fn=Bn=45°-os szélességet választották hossztartó parallelkörnek, amely a területtartás miatt torzulásmentes, továbbá

 R=6374.2 km

az ábrázolt területre érvényes középgömb sugara.