A képzetes kúpvetületeknél a (segéd-) parallelkörök képei körívek (nem szükségszerûen koncentrikusak), a (segéd-) meridiánok képei tetszõleges törvényszerûséget követõ vonalak. A valódi kúpvetületekhez hasonlóan a koordinátarendszer y tengelye a középmeridián képe, és egyben a fokhálózat szimmetriatengelye. Az x=x(j ,l ) vetületi egyenlet tehát l -ban páratlan.

Egy adott j ,l koordinátájú pont térképi síkkoordinátáit a

képletekkel adhatjuk meg (ld. ??? ábra), ahol

• a j szélességi kör sugara (a sugárfüggvény), mely a j -nek szigorúan monoton csökkenõ függvénye;
• a j szélességi kör középpontjának távolsága az x tengelytõl.
• 

(Közben elvégeztünk egy egyszerûsítést, feltételezve, hogy .)

Ezt felhasználva:

A területtorzulási modulus:

A foktrapéz képének területe:

A képzetes kúpvetületeknél a parallelkörök körív alakú képeinek középpontjairól általában csak annyit kötünk ki, hogy a középmeridiánon helyezkedjenek el. Azokat viszont, amelyeknél a parallelkörök képei koncentrikus körívek, igazi képzetes kúpvetületeknek nevezzük. Ezeknél c=c(j ) konstans. A fokhálózat menti torzulásokat tehát az alábbi, az általánosnál egyszerûbb képletek adják:

, és ;

ezekbõl adódik a területtorzulási modulus:

A meridiánok képei most nem lehetnek egy ponton áthaladó egyenesek, ezért a fokhálózati vonalak általában nem merõlegesek egymásra. Emiatt az igazi képzetes kúpvetületek között

nincsenek szögtartók.

Bonne vetülete olyan igazi képzetes kúpvetület, melynél a parallelkörök és középmeridián mentén hossztartást követelünk meg: h=1 és

A középmeridián menti hossztartás képletben felírva:

Ebbõl (figyelembe véve, hogy a középmeridián mentén a fokhálózati szimmetria miatt q =90°) következik, hogy

, vagyis , ahol a integrációs konstans a pólusvonal sugara.

Az integrációs konstans megadásához nevezzünk ki a j _n szélességi kört normálparallelkörnek, amelyre elõírjuk, hogy a hossztartáson túl rendelkezzen az egy parallelkörben hossztartó valódi kúpvetületek normálparallelkörének azon tulajdonságával, mely szerint

.

Ez a pótlólagos feltétel az integrációs konstanshoz vezet:

, végül

.

A sugárfüggvény tehát: .

A parallelkörök menti hossztartás:

; ebbõl adódik, hogy , tehát

A g szög tehát arányos a l hosszúsággal, amelynek

együtthatója a valódi kúpvetületek n sugárhajlásához hasonló, de a j szélességtõl függõ mennyiség. Megjegyezzük, hogy a j =j _n helyettesítés után

,

vagyis a normálparallelkör mentén fennáll a j _n szélességi körön hossztartó valódi kúpvetületek másik tulajdonsága is, mely szerint n=sinj _n .

A normálparallelkör a hossztartáson túl további speciális torzulási tulajdonságokkal is bír. Vizsgáljuk meg a meridiánokkal bezárt q szögét:

A normálparallelkör tehát a meridiánokkal derékszöget zár be, emiatt a fokhálózati vonalak iránya itt vetületi fõirány.

Ugyanitt a meridián menti hossztorzulás:

A területtorzulási modulus:

=1

vagyis a Bonne féle vetület területtartó.

A Föld Bonne vetületében (j _n=45°) a ??? ábrán látható.

A Bonne féle vetület alapgondolata már Ptolmaiosnál megtalálható. A XVI. századi újrafelfedezését követõen a vetületet Bonne francia mérnök és geográfus alkalmazta 1752-ben. A XIX.sz.-ban elterjedten használták a topográfiában, így pl. Franciaország 1:80000 méretarányú katonai térképéhez (innen ered a vetület "Carte de France" elnevezése). A XX.sz.-ban a geokartográfiai alkalmazásai kerültek elõtérbe, közepes szélességeken elterülõ kontinensek, kontinensrészek, nagyobb országok területtartó ábrázolásánál.

A különbözõ normálszélességû Bonne féle vetületek közül nevezetes a j _n=90°-hoz tartozó Werner féle "cardioid" (szívalakú) vetület (1514), amelyet egy késõbbi alkalmazójáról Stab (Stabius) féle vetületnek is neveznek (1517). Másrészt j _n ® 0° esetén határhelyzetben a Mercator-Sanson féle vetületet kapjuk meg.

A polikónikus vetületek eredeztetési alapelvének megértéséhez elõször ábrázoljuk pl. az É-i félgömböt egyetlen érintõ perspektív kúpvetületben. Ekkor a j _n érintési parallelkör, melynek sugara p=ctgj _n , torzulásmentes; a torzulások ettõl a szélességtõl a pólus illetve az egyenlítõ felé haladva eleinte lassan, majd gyorsulva növekednek. A félgömb ábrázolása során fellépõ nagymértékû torzulásokat csökkenthetjük pl. úgy, hogy szélességi körökkel mind több gömbövre bontjuk, és minden egyes gömbövön olyan perspektív kúpvetületet alkalmazunk, mely a szóban forgó gömböv középvonalát érinti (ld. ??? ábra). A térképen viszont az egyes gömbövek határánál szakadások lépnek fel. A gyarapodó számú érintési parallelkör környezetében a torzulások kicsik maradnak, a keskenyedõ gömböveken így egyre kevésbé nõnek meg a torzulások, a szakadások egyre keskenyebbé válnak.

A gömbövekre való felosztást minden határon túl folytatva, végül minden egyes szélességi kör térképi sugara az adott szélességen érintõ normálparallelkör sugarával fog megegyezni, továbbá a szakadások végtelenül keskennyé válva elenyésznek, így a félgömb egy összefüggõ síkidomra képezõdik le.

A fenti alapelvbõl származik a definíció: a polikónikus vetületek olyan képzetes kúpvetületek, amelyeknél j ³ 0 esetén a p sugárfüggvényt a

További tulajdonságként elõírható, hogy a középmeridián ekvidisztáns legyen, ami képletben:

(ahol a d>0 állandó adja a középmeridián menti hossztorzulást, ami d=1 esetén a középmeridián hossztartását jelenti).

A g =g (j ,l )-ra, amely szigorúan monoton növõ függvénye l -nak, teljesüljenek az alábbi határérték-követelmények:

lim g (j ,l )=0 l ® 0 esetén (vagyis l =0 jelentse a középmeridiánt), továbbá

lim g (j ,l )=0 és lim dg /dl <¥ j ® 0 esetén (vagyis az egyenlítõ határhelyzetben ábrázolható, és az y=0 egyenesre képezõdik le).

A teljes Föld ábrázolása a külön-külön ábrázolt félgömböknek az egyenlítõ mentén való összeillesztése útján lehetséges. (A D-i félgömb ábrázolásához helyettesítsünk a fenti képletekbe j helyett mindenütt | j | -et, és az y koordinátát szorozzuk be sign(j )-vel.)

Megjegyezzük, hogy az x tengely önmagával párhuzamosan eltolható, úgy hogy pl. az ábrázolandó területen áthaladó j _n szélességi kört érintse, amikor is a c=c(j ) függvény

alakot ölt.

A középmeridián ekvidisztáns, azaz

A parallelkörök mentén hossztartást követelünk meg, vagyis:

Az egyenletet átrendezve, kapjuk: , ahonnan következik (az integrációs konstans a g -ra tett feltétel miatt csak zérus lehet).

A további torzulások, felhasználva, hogy és :

, tehát

Minthogy a vetület sem területtartó, sem szögtartó nem lehet, tehát általános torzulású.

A vetületet 1820-ban Hassler amerikai térképész alkotta meg. Az Egyesült Államokban a múlt században topográfiai térképek vetületeként használták. Az amerikai geokartográfiában a transzverzális változat is elõfordul.

egyenlettel fogalmazható meg. Másrészt tudjuk, hogy a polikónikus vetületeknél

,

.

Kifejezve -t , kapjuk:

.

A p=ctgj , , valamint , egyenlõségeket behelyettesítve:

,

ami egy szétválasztható változójú differenciálegyenlet. Ezt integrálva:

Elvégezve az integrálást:

,

ahol f(l ) integrációs konstans, mely l -nak tetszõleges szigorúan monoton növekedõ függvénye, és lim f(l ) = 0 , ha l ® 0 .

A tagokat összevonva:

, majd ; végül

.

d=1 esetén:

Ha , akkor kapjuk:

amelyet "War Office" vetület néven Nagy Britanniában használtak a XIX. században nagyméretarányú katonai topográfiai térképekhez.

Határozzuk meg a "War Office" vetület fokhálózat menti torzulását:

Nyilvánvaló, hogy h¹ k és hA kA sinq ¹ 1 , ezért a vetület általános torzulású. j ® 0 esetén h® 1, vagyis az egyenlítõ határhelyzetben hossztartó.

A ??? ábráról leolvashatóan az AB egyenes a g nagyságú AOC szög felezõje, tehát

;

másrészt a fentiek szerint

.

A két egyenlõségbõl kapjuk, hogy

.

A körhöz külsõ pontból húzott két érintõ egyenlõsége miatt a térképen, a középmeridiánra emelt merõlegesen kijelölve a B pontot, az O középpontú és p=ctgj sugarú kör kerületén körzõvel kijelölhetjük a B ponttól AB távolságra lévõ, a p(j ), g (j ,l ) polárkoordinátákkal jellemzett C pontot. Ez a módszer megkönnyíti a fokhálózat geometriai megszerkesztését.

A ??? ábra a két összeillesztett félgömb képét mutatja ortogonális polikónikus vetületben.

A területtartás alapegyenlete

ami polikónikus vetületek esetén

Integráljuk az egyenlet mindkét oldalát l szerint:

ahol t(j ) az integrációs konstans, amely függhet j -tõl. A baloldal g -n keresztül függ l -tól, ezért azt g szerint integrálva:

l =0 esetén teljesülnie kell g =0 –nak, ebbõl adódóan t(j )º 0 .

Felhasználva, hogy p=ctgj , , továbbá , kapjuk:

majd átszorozva sin^3j -vel

ami g implicit függvénye; adott j és l esetén ez egy g -ban nemlineáris egyenlet, amely közelítéssel oldható meg.

A középmeridián hossztartása, vagyis d=1 esetén az összefüggés a következõ alakú:

A két félgömb ezzel a képlettel számolt képe összeillesztve látható a ??? ábrán.

A fokhálózat merõlegessége szükséges a szögtartáshoz. Ha a középmeridián ekvidisztanciáját elõírjuk, akkor a fentiekben ismertetett ortogonális polikónikus vetületet kapjuk, amely - mint emlékezetes - általános torzulású, vagyis nem szögtartó. Ha viszont a sugárfüggvényre vonatkozó p=ctgj feltétel megtartása mellett a középmeridián mentén tetszõleges hossztorzulást megengedünk, akkor már létrehozható szögtartó polikónikus vetület.

,

, és

, vagyis

A félgömb képét a ???. ábra mutatja.

A pszeudopolikónikus vetületeknél a parallelkörök képei (nem szükségszerûen koncentrikus) körívek, de - ellentétben a polikónikus vetületekkel - a p sugárfüggvény a j -nek tetszõleges szigorúan monoton csökkenõ függvénye lehet. A meridiánok képei tetszõleges vonalak.

Az elméletileg elképzelhetõ nagy számú pszeudopolikónikus vetület közül a gyakorlatban fõleg olyanok fordulnak elõ, amelyeknél a meridiánok képei is körívek. Ezt a vetületsokaságot "Lagrange féle vetületcsalád"-nak nevezik. Kifejlesztésüket a XVII. századtól kezdve az motiválta, hogy a térképhez a csupa körívbõl álló fokhálózat geometriailag könnyen volt megszerkeszthetõ.

Készítsünk szögtartó pszeudopolikónikus vetületet körív alakú meridiánképekkel. A pólusoknál mint szinguláris pontoknál csak a meridiánok által bezárt szög arányos leképezõdését írjuk elõ, vagyis legyen l ’=c@ l , ahol l ’ a l hosszúsági körhöz a pólusban húzott érintõnek a l ₀=0° középmeridiánnal bezárt szöge (ld. ??? ábra). Legyen az egyenlítõ képe az x tengely, és kerüljön a pólusok képe a (0,p /2) és a (0,-p /2) koordinátájú pontokba. Ha c³ 0.5, akkor lesz két félkör alakú meridián, amelyek együtt egy p /2 sugarú kört alkotnak.

Jelölje C₁(x₁,0) a l meridián középpontját. Az N pólushoz vezetõ r ₁ rádiuszvektor az x tengellyel c@ l szöget zár be (merõleges szárú szögek), továbbá az OC₁N derékszögû háromszögbõl

és

.

A hosszúsági körök egyenlete tehát:

A j szélességi kör középpontja legyen C₂(0,y₂) , a félkör alakú meridiánnal alkotott Q metszéspontjához vezetõ r ₂ rádiuszvektor - mely a fokhálózat szögtartásból adódó merõlegessége miatt merõleges az OQ rádiuszvektorra - az x tengelyre leképezõdõ középmeridiánnal d szöget zár be, a merõleges szárú szögek miatt tehát az OQ rádiuszvektornak az x tengellyel bezárt szöge ugyancsak d . Az OC₂Q derékszögû háromszögbõl

és

.

A parallelkörök egyenlete ezek alapján:

A j szélességi kör és a l hosszúsági kör P metszéspontját a két egyenletbõl álló egyenletrendszer megoldása adja. Végezzük el a négyzetre emeléseket:

(Felhasználtuk, hogy .)

,

tehát

Helyettesítsük be ezt a parallelkör egyenletébe:

Átrendezve:

A másodfokú egyenletet megoldva:

Pozitív l -hoz pozitív x–et szeretnénk kapni, viszont a sin(c@ l ) szorzója csak akkor lehet pozitív, ha a számlálóban a pozitív elõjelet vesszük figyelembe. Elvégezve még a nevezõ átalakítását:

Helyettesítsük ezt a meridián és a parallelkör egyenletének különbségébe:

Szükségünk van még a d =d (j ) szögre, amelyet a szögtartás alapegyenlete alapján kapunk meg, mely a komplex függvények elméletébõl ismert Cauchy-Riemann differenciálegyenletnek felel meg. Eszerint a y izometrikus szélesség (melyet gömb alapfelület esetén a

egyenlõség definiál) és a l hosszúság függvényében felírt x és y vetületi egyenleteknek szögtartó vetület esetén eleget kell tenniük a

és

differenciálegyenleteknek. Írjuk fel a parciális deriváltakat Lagrange vetületére:

Mindkét egyenletbe elvégezve a behelyettesítést, ugyanazt a

egyenletet kapjuk. Átrendezés után:

Elvégezve az integrálást:

.

Felhasználva az izometrikus szélesség definícióját:

Itt a d integrációs konstans zérus, mivel az egyenlítõn (j =0) d =0 a ??? ábra szerint. Folytatva az egyenlet átalakítását:

,

végül

Ezt a vetületet a c=0.5 esetre, amely a Földet kör kontúrban ábrázolja, Lambert német matematikus és térképész alkotta meg 1772-ben. Tetszõleges c-re Lagrange francia matematikus általánosította 1779-ben.

Megjegyzendõ, hogy c=1 esetén d =j , ami éppen a transzverzális sztereografikus vetületet szolgáltatja.

Mind a parallelkörök, mind a meridiánok képe körív. A Föld kör kontúrban jelenik meg. Az egyenlítõ hossztartó, így a kontúrkör sugara p . Az egyenlítõ hossztartásából adódik továbbá a meridiánok képének középpontja és sugara (ld. ??? ábra). r-rel jelölve a l meridián-körív póluspontjához vezetõ rádiuszvektor hosszát, x -vel az x tengellyel bezárt szögét, a körív középpontjának az origótól mért t távolsága az ábráról leolvashatóan:

és

(itt felhasználtuk az ugyanakkora körívhez tartozó középponti és kerületi szög közötti összefüggést), továbbá

.

Jelölje szokásos módon p a j parallelkör képének sugarát, c a középpont távolságát az origótól. Legyen a j parallelkör és a középmeridián metszéspontjának c-p távolsága az origótól :

.

Legyen a j parallelkör p sugara:

.

s -val jelölve a l meridián képének középpontját a j parallelkör képének középpontjával összekötõ egyenes és a középmeridián által bezárt szöget, a ??? ábráról látszik, hogy

.

Definiálja az e mennyiséget a

összefüggés. Ekkor legyen a l meridián és a j parallelkör által bezárt q szögre

.

A p hosszúságú rádiuszvektornak a középmeridiánnal bezárt szögét adja meg a

képlet. Innen következik:

A z szöget adja meg

.

Innen megkapható z :

.

Végül a vetületi egyenletek:

A fokhálózat menti hossztorzulások: