Valódi kúpvetületek

 

Valódi kúpvetületeknek azokat a leképezéseket nevezzük, amelyek fokhálózata (vagy segédfokhálózata) rendelkezik az alábbi tulajdonságokkal:

- a (segéd-) parallelkörök képei koncentrikus körívek,

- a (segéd-) meridiánok képei egy pontba összetartó egyenesek, és

- a (segéd-) parallelkörök képei mindenütt merőlegesen metszik a (segéd-) meridiánok képeit; - továbbá megköveteljük, hogy a (segéd-) meridiánok által az alapfelületen bezárt  Dl szög és az ennek megfelelő képfelületi Dl’ szög legyen mindig arányos. Ezt a kúpvetületet jellemző

             

arányt, melynek értéke a gyakorlatban 0<n<1, sugárhajlásnak nevezzük.

 

A valódi kúpvetületeknél a fenti első tulajdonság miatt fennáll a zenitálisság. A térképi polárkoordináta-rendszer origója a meridián-egyenesek közös pontja, tengelye a középmeridián, amely az egyszerűség kedvéért legyen egyben kezdőmeridián. A polártávolságot a parallelkörök térképi sugara, a r  sugárfüggvény, a polárszöget a l'=n×l  szög adja meg. Ebből a derékszögű síkkoordinátákat az

           

vetületi egyenletekkel írhatjuk fel. A kezdőmeridián itt is az y tengely negatív felével esik egybe. (Ha az  y tengelyt a kezdőmeridiántól különböző l0 középmeridiánra akarjuk illeszteni, akkor a hosszúságkülönbség  Dl=l-l0 jelölésével a vetületi egyenletek

           

           

alakúak.)

 

A sugárfüggvény és a sugárhajlás tehát lényegében meghatározza a valódi kúpvetületet, ezekből a vetület minden tulajdonsága levezethető. Hasonlóan a valódi síkvetületekhez, a r sugárfüggvényt itt is a  pólustávolság függvényében adjuk meg: r=r(b), mely az egyrétűség miatt szigorúan monoton növő függvény. Ha r(0)=0, vagyis a (segéd-) meridiánok képei egy pontban találkoznak, amely a (segéd-) pólus képe, akkor póluspontos kúpvetületről beszélünk. A pólusvonalas kúpvetületeknél r(0)>0, vagyis a (segéd-) pólus képe egy körív, melyben a meridiánképek végződnek; ekkor viszont ezek meghosszabbításai találkoznak egy pontban. Egy pólus-középpontú gömbsüveg képe kúpvetületben tehát vagy körcikk (póluspontosnál), vagy körgyűrű-cikk (pólusvonalasnál). Jelöljük a körcikk vagy körgyűrű-cikk nyílásszögét w-val (??? ábra). Az n sugárhajlás felírható

             alakban;

innen következik, hogy

  ill.  .

 

A fokhálózat menti torzulások:

tehát

           

           

azaz

           

Látható, hogy mindkét hossztorzulás független l-tól.

 

A térképi fokhálózat merőleges (Q=90°), vagyis a fokhálózati vonalak vetületi főirányok. Az a és b extremális hossztorzulások közül az egyik h-val, a másik k-val fog megegyezni, amelyekből adódik a területi modulus:

           

illetve a térkép valamely pontjában fellépő  2×DImax maximális szögtorzulás.          

 

Valódi kúpvetületben ritkán ábrázolnak félgömbnyi vagy annál nagyobb területet. A geokartográfiában többnyire a pólustól és az egyenlítőtől egyaránt távolabb fekvő területek: kontinensek, kontinensrészek vagy országok ábrázolására használják. Előfordul nagyobb méretarányú (topográfiai vagy navigációs) térképek vetületeként, ellipszoid alapfelülettel is.

 

A valódi kúpvetületek közül először a perspektív kúpvetületeket vesszük sorra.

 

 

Perspektív kúpvetület – metsző változat

 

Vegyünk fel egy, a K csúcspontban 2×e  nyílásszögű forgáskúp-palástot, amely két parallelkörben metszi az alapfelületet. Jelöljük az O gömbközéppont és a Q vetítési középpont távolságát f-fel, a QK távolságot c-vel. (Az egyrétűség miatt legyen  ½f ½£1.)  Legyen S a b pólustávolságú alapfelületi P pontból, T pedig a képfelületi P’ pontból a forgástengelyre bocsátott merőleges talppontja; végül a KP’ távolság éppen a r sugárfüggvény (???ábra).

 

A QTP’ és a QSP derékszögű háromszögek hasonlók, ezért a befogóikra teljesül:

           

Vegyük észre, hogy TP’=r×sine,  SP=sinb  és QS=f+cosb, továbbá TK=r×cose. Elvégezve a behelyettesítéseket, kapjuk, hogy

           

Bontsuk fel a c=QK távolságot a T ponttal két részre:

           

Innen kifejezhető a r sugárfüggvény:

           

 

Az n sugárhajlás meghatározásához terítsük ki a P’ ponton átmenő parallelkör-kép által határolt kúppalástot egy körcikké, melynek nyílásszögét jelöljük w-val (???ábra). A sugárhajlás definíciójából:

           

(Felhasználtuk, hogy a körcikket határoló – r  sugarú – körív hossza egyrészt megegyezik a kúppalást r×sine sugarú alapkörének kerületével, másrészt a körív hossza úgy aránylik a r  sugarú kör kerületéhez, mint ahogy  w  aránylik a teljes szöghöz.)

 

A fokhálózat menti hossztorzulások:

           

           

Az összevonások után

           

 

A hossztorzulások a ???ábrán láthatók. Mivel h¹k  és  h¹1/k,  vagyis a perspektív kúpvetület általános torzulású. A h számlálójában ill. nevezőjében szereplő tényezők megjelennek a k számlálójában ill. nevezőjében is; ebből adódóan elsősorban a területtorzulások megnövekedésével kell számolni, míg a szögtorzulások mérsékeltebbek. A metszési parallelkörökön  h¹1,  de  k¹1,  ezért ezek bár hossztartók, de nem torzulásmentesek. A t területtorzulási modulust és a maximális w iránytorzulást jellemző mutatószámot az ismert képletekből h és k segítségével számíthatjuk ki.

 

 

Perspektív kúpvetület – érintő változat

 

Az érintő perspektív kúpvetület a metsző változat határhelyzete, midőn a két metszési parallelkör egybeesik; tehát az ott elmondottak az érintő változatra is teljesülnek. Érintse a kúp a gömb alapfelületet a bn pólustávolságú parallelkörön. A ???ábrán látható, hogy a bn szög és a kúp e fél nyílásszöge egymás pótszögei:

           

Az n sugárhajlás ennek felhasználásával:

           

A bn  pólustávolságú érintő parallelkör rn  sugárfüggvénye az ábra alapján:

           

A bn  érintési parallelkörön nincs hossztorzulás (h=1); másrészt behelyettesítve a fokhálózat menti hossztorzulásokba:

             ,

amiből az érintési parallelkör torzulásmentessége következik.

 

Ezek a tulajdonságok – más tartalommal – a nem-perspektív kúpvetületeknél is meg fognak jelenni.

 

 

Parallelkörökben hossztartó (ortografikus) kúpvetület

 

Vizsgáljuk a perspektív kúpvetületet f®¥ esetén. Bontsuk fel ehhez a c távolságot az O ponttal két részre:

           

A r sugárfüggvény:

           

(Itt felhasználtuk, hogy a végtelenből jövő párhuzamos vetítősugarak esetén a kúppalást-képfelület önmagával párhuzamosan tetszőlegesen eltolható a térkép változása nélkül; ekkor választhatjuk az érintő változatot, és jelöljük az érintési parallelkört bn-nel, ami a fentiek szerint e pótszöge, ezért sine=cosbn.)

 

A fokhálózat menti torzulások:

           

vagyis ez a kúpvetület valóban parallelkörökben hossztartó.

           

A bn parallelkörön k=1, tehát az érintési parallelkör itt is torzulásmentes.

 

Áttérünk most a gyakorlati szempontból fontosabb nem-perspektív valódi kúpvetületek tárgyalására.

 

 

Meridiánokban hossztartó valódi kúpvetületek

 

A meridiánokban való hossztartásból  k=1  következik, tehát

            , vagyis

A d integrációs konstans megválasztásától függően három különböző valódi kúpvetületet kapunk.

 

 

a)      Póluspontos, meridiánban hossztartó valódi kúpvetület

 

A póluspontosság azt jelenti, hogy a pólus sugara zérus. Ez képletben: r(b=0)=0. Ez a r=arcb+d sugárfüggvény estén akkor teljesül, ha d=0, vagyis

               

A  h  parallelkör menti hossztorzulás ekkor

           

Ez  b  függvényében szigorúan monoton nő,  b®180°  esetén  h®¥,  és  n<1  miatt a pólusban  h<1  (???ábra).  A vetületnek emiatt mindig van egy és csak egy  bn  hossztartó parallelköre. Vezessük be a rn=r(bn)=arcbn  jelölést. A hossztartás miatt e parallelkör hossza az alapfelületen (és a képfelületen is): 2×p×sinbn. A képfelületen ez egy w középponti szöghöz tartozó, rn sugarú körív, mely úgy aránylik a rn sugarú kör kerületéhez, mint w a teljes szöghöz. Ebből megkapjuk az n sugárhajlást:

           

Most már felírhatók és grafikusan ábrázolhatók (ld. ábra) a fokhálózat menti hossztorzulások:

           

és

             .

Vetületünk tehát általános torzulású. A bn hossztartó parallelkör torzulásmentes.

 

Ez a vetület a geokartográfiai gyakorlatban ritkán fordul elő.

 

 

b)      Pólusvonalas, meridiánban hossztartó valódi kúpvetület egy hossztartó parallelkörrel (Ptolemaios 1. vetülete)

 

k=1 miatt r=arcb+d, és a pólusvonalasságból adódóan d>0. Válasszuk a bn  parallelkört hossztartónak, ekkor rn=arcbn+d; ebből  d= rn-arcbn, vagyis

           

Másrészt a hossztartás miatt a parallelkör képi hossza az w nyílásszögű körgyűrű-cikken megegyezik az alapfelületi hosszal:

           

Ebből felírható n:

           

majd a parallelkör menti h hossztorzulás:

           

Hátra van még a fenti egyenlőségekben szereplő, egyelőre ismeretlen rn konstans meghatározása. Ez azon a megfontoláson alapszik, hogy a b=0° és b=180° esetén a ¥-hez tartó, ezek között pedig egyetlen minimummal rendelkező h=h(b) függvénynek a hossztartó bn szélességnél kell legyen a minimuma, ellenkező esetben ugyanis nem egy, hanem két hossztartó parallelkör volna. A h=h(b) függvény minimuma a derivált zérushelyénél található, tehát:

           

Deriváljuk  a fenti h-t:

           

Ennek a b=bn-ben vett helyettesítési értéke tehát zérus:

           

A számláló csak akkor lehet zérus, ha

           

azaz    

(Ez megegyezik az érintő perspektív kúpvetület normálparallelkörének sugarával.)

 

Ennek felhasználásával a sugárfüggvény:

           

A sugárhajlás:

           

Ez az érték megegyezik az érintő perspektív kúpvetület sugárhajlásával. Következésképpen ha egy pólus középpontú gömbsüveg képét (egy körgyűrű-cikket) forgáskúp-palásttá hajtunk össze, akkor ez elhelyezhető úgy az alapfelülethez képest, hogy éppen a normálparallelkör mentén érintsék egymást.

 

A parallelkör menti h hossztorzulás:

           

és a meridián menti k hossztorzulás természetesen:

            k=1

Ebből adódóan ez a vetület általános torzulású. A bn hossztartó szélességi kör torzulásmentes.

 

A fokhálózat menti torzulások menetét a ???. ábra grafikusan mutatja be.

 

Ptolemaios (Kr.u. II.sz.) "Geographika" c. művében adja meg e vetület szerkesztését, és az ő  térképeinél találkozunk e vetület legkorábbi alkalmazásával. Egyszerű, könnyen szerkeszthető fokhálózatú vetület, amelyet a geokartográfiában kontinensrészek, országok ábrázolásához alkalmaznak.

 

 

c)      Meridiánban és két parallelkörben hossztartó valódi kúpvetület (de l'Isle vetülete)

 

k=1 miatt továbbra is r=arcb+d, ahol d>0 a pólusvonal sugara, vezessük tehát be a rp=d jelölést:

           

Határozzuk meg most rp-t és n-et a két hossztartó pólustávolság függvényében. Ha b1, b2  jelöli a hossztartó parallelköröket, akkor a hossztartásból a

           

egyenletek adódnak. Vonjuk ezeket ki egymásból, és vegyük figyelembe a meridián menti hossztartást:

           

Ebből az n sugárhajlás kifejezhető:

           

Fejezzük ki most n-et a hossztartás fenti egyenleteiből is:

           

vagyis

           

Az utolsó egyenlőséget átrendezve:

           

Innen rp kifejezhető:

           

A parallelkör menti h hossztorzulás:

           

Ez továbbra sem egyenlő 1-gyel, ezért ez a vetület is általános torzulású.

 

A két normálparallelkör (b1 és b2) k=1 miatt torzulásmentes.

 

De l'Isle vetületének alkotó függvényei más formában is felírhatóak, amelyek néha előnyösebbek a fentieknél. Ehhez vezessük be a hossztartó parallelkörök pólustávolságának középértékére a

            ,

továbbá a

           

jelölést. Jelöljük bk  gömbi távolságát a hossztartó parallelköröktől ek-val:

           

A meridián menti hossztartás miatt

               és         .

Írjuk fel a hossztartó parallelkörök alap- és képfelületi hosszának egyenlőségét:

           

           

Az összegezést és az egyszerűsítést elvégezve, majd az egyenleteket egymásból kivonva kapjuk, hogy

           

ahonnan

           

Adjuk most össze a parallelkörök hossztartásának fenti egyenleteit. Ebből kapjuk, hogy

           

Kifejezzük rk-t:

           

A r sugárfüggvény ekkor a következő alakot ölti:

           

 

Ez a vetület J. N. de l'Isle francia csillagásztól származik (1745), aki Oroszország ábrázolásához készítette. A torzulási viszonyok egy, a hossztartó parallelköröket is magába foglaló, széles sávban igen kedvezőek. Közepes szélességen fekvő országok, kontinensrészek, kontinensek általános torzulású ábrázolásához manapság ez a legelterjedtebben használt vetület.

 

 

Szögtartó kúpvetületek

 

A szögtartás alapegyenlete:   a=b=h=k, ami figyelembe véve, hogy a valódi kúpvetületeknél

        és         ,

az alábbi egyenletet adja:

           

Ez szétválasztható változójú, melyet a szokásos módon alakítunk át:

           

Ennek a megoldása:

           

ahol ln d-vel jelöltük az integrációs konstanst (d>0).

Mindkét oldalt az exponenciális függvény kitevőjeként véve, kapjuk a sugárfüggvényt:

           

A sugárfüggvény mutatja, hogy a szögtartó kúpvetület póluspontos, de a kúpvetület alaptulajdonságából (0<n<1) adódik, hogy a póluspontban a szögtartás nem áll fenn. A vetület további tulajdonságait az n sugárhajlás mellett a d(>0) hasonlósági tényező határozza meg, melynek értéke éppen r(b=90°) -kal, vagyis az egyenlítő térképi sugarával egyezik meg.

A parallelkör menti h hossztorzulás (mely az alapegyenlet miatt egyben k-val is egyenlő):

           

Az utolsó alak mutatja, hogy b®0° és b®180° esetén h®¥, a kettő között pedig egy minimuma van. A szögtartó kúpvetület tehát a gyakorlatban vagy egy, vagy két hossztartó parallelkörrel rendelkezik. A hossztartó parallelkör(ök) viszont a szögtartás miatt egyben torzulásmentes(ek) is.

 

A  d  és az  n  meghatározása a vetületek további tulajdonságaiból lehetséges.

 

A 3000 km-nél nem hosszabb ortodróma-ívek képe az egyenestől alig tér el, ezért a léginavigáció térképeihez a II. világháború óta leginkább ezt a vetületet alkalmazzák.

 

A szögtartó kúpvetület J. H. Lambert német matematikustól származik (1772).

 

 

a) Szögtartó kúpvetület egy hossztartó parallelkörrel

 

Ha egyetlen hossztartó bn parallekör van, akkor annak éppen a h minimumhelyének kell lennie. A h-nak ott lehet minimuma, ahol a deriváltja zérus. Képletben:

           

(itt felhasználtuk az alapegyenletből adódó h=k egyenlőséget.) Ezt a függvényt a b=bn helyen tegyük zérussál egyenlővé:

             

ami akkor teljesül, ha

           

Ez az egyenlőség azt mutatja, hogy egy hossztartó parallelkör esetén a sugárhajlás megegyezik az ugyanott érintő perspektív kúpvetület sugárhajlásával. Tehát, Ptolemaios kúpvetületéhez hasonlóan, ha egy pólus-középpontú gömbsüveg képeként keletkező körgyűrűt forgáskúp-palásttá hajtunk össze, akkor az elhelyezhető úgy, hogy a két felület éppen a hossztartó parallelkör mentén érintse egymást.

 

Ezen tulajdonság alapján tudjuk meghatározni a d konstans értékét, ugyanis a  bn  hossztartó és egyben érintési parallelkör sugárfüggvénye: r(bn)=tgbn., amely meg kell egyezzen a sugárfüggvény bn-ben felvett értékével:

           

azaz

           

A hossztartó parallelkör a szögtartás miatt egyben torzulásmentes is. Ettől a parallelkörtől távolodva mind a hossztorzulás, mind a területtorzulás nő.

 

Herschel angol csillagász a szögtartó kúpvetületet a szögtartó (sztereografikus) síkvetület általánosításaként fogta fel, ahol a

           

sugárfüggvény n=1 esetén éppen az egyenlítőn metsző sztereografikus síkvetületet adja. A sugárhajlást 240°-nak választva és a póluskörnyéki területeket eltávolítva, a vetületet térképes lámpaernyő készítéséhez ajánlotta.

 

 

b) Szögtartó kúpvetület két hossztartó parallelkörrel

 

Jelöljük b1.-gyel és b2-vel a hossztartó parallelköröket. Ezek térképi hossza úgy aránylik egymáshoz, mint az alapfelületi hosszuk:

           

Az egyszerűsítések és az egyenlet logaritmálása után kapjuk, hogy

           

A d konstans meghatározása a hossztartás egyenleteiből következik:

           

A hossztartó parallelkörök a szögtartás miatt egyben torzulásmentesek is. A két normálparallekör között a hosszak és területek csökkennek, ezeken kívül pedig a távolodással együtt növekednek; a torzulási modulusok 1-től való eltérése egy sokkal szélesebb övezetben tartható egy küszöbérték alatt, mint az egy parallelkörben hossztartó változatnál.

 

Minden két parallelkörben hossztartó szögtartó kúpvetület egy arányos nagyítással átvihető egy ugyanolyan sugárhajlású, egy parallelkörben hossztartó változatba; ugyanez - arányos kicsinyítéssel - fordítva is igaz.

 

A vetületet – általában „Lambert féle kúpvetület”, helyenként „Lambert-Gauss vetület” néven – előnyös torzulási tulajdonságai miatt a mind a geokartográfiában, mind a topokartográfiában (ellipszoid alapfelülettel) elterjedten használják.

 

 

Területtartó kúpvetületek

 

A területtartás alapegyenlete: a×b=h×k=1. Ezt alkalmazva a

        és        

fokhálózat menti tirzulásokra, kapjuk a

           

egyenletet. Ez is szétválasztható változójú, melyet átalakítva és integrálva:

           

Ennek a megoldása:

           

vagyis

           

Fejezzük ki innen a  d  integrációs konstanst értelmezés céljából:

           

(Itt használtuk a pólusvonal sugarára a rp=r(b=0) jelölést.) Ezt visszahelyettesítve r2  képletébe:

           

A  r  sugárfüggvény tehát:

           

A rp megválasztásától függően kapjuk a területtartó kúpvetület különböző változatait.

 

Vizsgáljuk meg a parallelkör menti hossztorzulást:

           

A gyökjel alatti második tag  b®0° esetén, az első és a második tag  b®180° esetén ¥-hez tart, a két tag összegének 0° és 180° között van egy minimuma. A területtartó kúpvetület tehát vagy egy, vagy két hossztartó parallelkörrel rendelkezhet.

 

 

a)      Póluspontos területtartó kúpvetület

 

A rp pólusvonal hossza most zérus, tehát a sugárfüggvény:

           

Válasszuk bn -et hossztartónak, és használjuk a rn=r(bn) jelölést:

           

Innen kifejezhető :

           

tehát a sugárhajlás:

           

(Ez nem egyezik meg az érintő perspektív kúpvetület n=cosbn sugárhajlásával, tehát a forgáskúp-palásttá összetekert körcikk alakú térkép nem helyezhető el úgy, hogy éppen a hossztartó parallelkörnél érintse az alapfelületet.)

 

n-et behelyettesítve a sugárfüggvénybe, kapjuk:

           

A fokhálózat menti hossztorzulások:

           

és a területtartásból

           

A bn normálparallelkör ezek szerint torzulásmentes.

 

A parallelkör menti hossztorzulás szigorúan monoton növő, ezért nincsen két parallelkörben hossztartó változata.

 

Ezt a vetületet is J. H. Lambert készítette.

 

 

b) Pólusvonalas területtartó kúpvetület egy hossztartó parallelkörrel

 

A területtartásból adódóan itt is

 

Az n sugárhajlás kiszámításához emlékeztetünk feltételezésünkre, mely szerint egyetlen hossztartó bn parallelkör van. Ez a h általánosabb alakjánál elmondottak miatt akkor állhat elő, ha a parallelkör menti h hossztorzulás éppen bn-nél veszi fel a minimumát. Ehhez számoljuk ki a h b szerinti deriváltját :

           

(Itt felhasználtuk a területtartás alapegyenletét.) Ezt kell a bn helyen zérussá tenni (rn=r(bn) jelöléssel):

           

Ez az egyenlőség akkor teljesül, ha

           

vagyis a minimumfeltétel következménye:

           

 

A bn parallelkör hossztartásából

           

Innen rn-et a fenti egyenletbe behelyettesítve

           

az egyszerűsítések után megkapjuk a sugárhajlást:

           

Ez itt is azt jelenti, hogy a pólus-középpontú gömbsüveg képeként előálló körgyűrű-cikket forgáskúp-palásttá összehajtva, hozzáérinthető az alapfelülethez úgy, hogy éppen a normálparallelkörnél érintsék egymást.

 

A pólusvonal rp sugarának meghatározásához a fenti minimumfeltételből adódó egyenletet használjuk fel, a  rn2 behelyettesítésével:

           

n×rp2-et kifejezve:

           

közös nevezőre hozás után:

           

A r sugárfüggvény tehát explicit alakban

           

E vetület fokhálózat menti torzulásai:

           

és

           

A bn normálparallelkör tehát torzulásmentes.

 

 

c) Pólusvonalas területtartó kúpvetület két hossztartó parallelkörrel

 

A sugárfüggvény a területtartásból következőleg továbbra is

           

ahol az  n  és a  rp  konstansokat a b1  és b2  parallelkörök hossztartása determinálja.

 

Írjuk fel n kiszámításához a hossztartást képletben:

           

           

Fejezzük ki ezekből a gyököket:

           

           

Négyzetreemelés és az alsó egyenlet felsőből történő kivonása után:

           

Innen n kifejezhető:

           

Egyszerűsítve cosb2-cosb1 -gyel, kapjuk n végleges alakját:

           

 

Az  n×rp2  értéke a fenti négyzetre emelt egyenletek közül bármelyikből kijön. Vegyük pl. az elsőt:

Alakítsuk át a zárójelben lévő kifejezést:

           

 

Ezt visszahelyettesítve  n×rp2 –be:

(Látható, hogy mind n-ben, mind  n×rp2-ben a  b1  és  b2  helyére  bn -et helyettesítve, az egy parallelkörben hossztartó változat képleteit kapjuk.)

 

Helyettesítsük ezt vissza a r sugárfüggvény eredeti egyenletébe:

           

 

A fokhálózat menti torzulások:

           

és

           

 

Ez a vetület Albers német matematikustól származik (1805). Az utóbbi évtizedekben széles körben használják foktrapéz alakú, K-Ny-i irányban kiterjedt területek ábrázolásához. Ellipszoid alapfelületű változata az Egyesült Államok nemzeti és tematikus atlaszainak kedvelt vetülete.