A térképhasználat során gyakran szükségünk van a vetület ismeretére, mert ebbõl következtethetünk a térképünkön fellépõ torzulásra. A torzulások ismerete szükséges a földi méretviszonyok térképi alapú visszakövetkeztetésére, a térképen végzett mérésekhez meg egyenesen nélkülözhetetlen. A vetület birtokában a szelvényhez csatlakozó területekkel térképünket korrektül kiegészíthetjük, a térkép másolásánál vagy nagyításánál objektumok pontos helyét meghatározhatjuk. A vetületi egyenletek illetve inverzük segítségével tudjuk a térképi pont földrajzi koordinátáit egzaktul megadni, ezért a derékszögû koordinátákat szolgáltató térképdigitalizálás eredménye is csak ismert vetület esetén értelmezhetõ maradéktalanul..

Egy térkép vetületét akkor tekintjük ismertnek, ha a vetületi egyenletek az összes paraméterükkel, valamint a vetületre vonatkozó egyéb mennyiségek (segédpólus koordinátái, elforgatás mértéke a poláris és segédpoláris tengely körül) a szükséges pontossággal rendelkezésre állnak.

A vetületanalízis célja ismeretlen vagy csak részben ismert vetületû térkép vetületének meghatározása. A gondosan szerkesztett térképen a vetületet általában feltüntetik, azonban ez sem mindig elegendõ a vetületi egyenletek teljes rekonstruálásához; többnyire ilyenkor is szükséges bizonyos adatok, paraméterek meghatározása. A térképek jelentõs részénél azonban a vetületre csak semmitmondó utalás található, esetleg az sem. Az atlaszoknál gyakran megadják az alkalmazott vetület fajtáját, de részletesebb specifikációk, adatok, paraméterek többnyire ott is hiányoznak. Elõfordul, hogy a rendelkezésre álló adatok alapján nem tudunk pontos eredményre jutni; ilyenkor megelégszünk kevesebb vetületi információval, ha azok a térképhasználathoz egyenlõk.

Kis- és közepes méretarányú térképeknél a vetületanalízis kiindulópontja a térkép fokhálózata. Ha az ábrázolt terület elég nagy ahhoz, hogy a fokhálózati vonalak jellegét felismerhessük, akkor erre alapozva Érdi-Krausz György [???] fejlesztett ki vetületmeghatározási rendszert. Ennek alapelveit követve az alábbi fõcsoportokat állítjuk fel:

1. A parallelkörök képei párhuzamos egyenesek; a meridiánok képei párhuzamos egyenesek
2. A parallelkörök képei párhuzamos egyenesek; a meridiánok képei egyéb vonalak
3. A parallelkörök képei koncentrikus zárt körök; a meridiánok képei egy pontba összetartó egyenesek
4. A parallelkörök képei koncentrikus zárt körök; a meridiánok képei egy pontba összefutó görbék
5. A parallelkörök képei koncentrikus nyílt körívek; a meridiánok képei egy pontba összetartó egyenesek
6. A parallelkörök képei körívek, a meridiánok képei egyéb vonalak
7. A parallelkörök képei hiperbolák, a meridiánok párhuzamos egyenesek
8. A parallelkörök képei kúpszeletek (ellipszisek, parabola és hiperbolák), a meridiánok összetartó egyenesek
9. A paralelkörök képei ellipszisívek, a meridiánok képei ellipszisívek
10. A parallelkörök képei hiperbolák; a meridiánok képei ellipszisek
11. A parallelkörök képei görbe vonalak; a meridiánok képei görbe vonalak

Ezeken a fõcsoportokon belül a vetületcsalád meghatározása és a további pontosítás már több szempont (a fokhálózat merõlegessége, az osztásközök egyenlõsége vagy változása, a kontúrvonal alakja, a szimmetriatengelyek száma és helye, stb.) alapján végezhetõ el. A pontosítás általában nem igényel mérést, legfeljebb az osztásközök egyenlõségének vagy különbözõségének, illetve a fokhálózat merõleges vagy nem-merõleges voltának megállapítását teszi szükségessé.

Mielõtt a fõcsoportokra rátérnénk, foglalkoznunk kell röviden a fokhálózat merõlegességének kérdésével. Önmagában az ortogonális fokhálózat kevés támpontot nyújt a vetület meghatározásához. Ilyen tulajdonsággal rendelkezik pl. valamennyi szögtartó vetület, továbbá a normális valódi vetületek. Vannak ezeken kívül nem szögtartó ortogonális fokhálózatú vetületek is. Azonban ha egy vetület transzverzális vagy ferdetengelyû elhelyezésben is megõrzi a fokhálózat merõlegességét, akkor az csak szögtartó lehet.

1. A parallelkörök képei párhuzamos egyenesek; a meridiánok képei párhuzamos egyenesek: NORMÁLIS VALÓDI HENGERVETÜLET

1. A meridiánok képeit a parallelkörök egyenközûen metszik - a valódi hengervetület nyilván meridiánokban hossztartó. A vetület egyaránt lehet egyenlítõben vagy két parallelkörben hossztartó, ami az osztásközök aránya alapján választható szét.
2. A parallelkörök távolsága az egyenlítõtõl a pólusok felé csökken – a valódi hengervetület feltehetõleg területtartó. A vetület egyaránt lehet egyenlítõben vagy két parallelkörben hossztartó.
3. A parallelkörök távolsága az egyenlítõtõl a pólusok felé növekszik – a valódi hengervetület valószínûleg szögtartó, de lehet esetleg perspektív is. A pólusvonal mindkét esetben a végtelenbe távolodik. Az azonosítás a vetületi egyenletek alapján történhet. A vetület egyaránt lehet egyenlítõben vagy két parallelkörben hossztartó.

A fokhálózati képének szögei változnak. A fokhálózat képe általában nem csak a középmeridiánra, hanem az egyenlítõre is szimmetrikus (kivételt képez a loximutális vetület).

A vetületcsoport megállapítása a meridiánok képének jellege alapján történik. A további pontosítás egyrészt a pólus képe alapján (pólusvonal vagy póluspont), másrészt a parallelkörök távolsága alapján lehetséges.

A leggyakoribb vetületcsoportok:

a) A meridiánok képei körívek.

Póluspontos, a középmeridián és az egyenlítõ hossztartó: Apianus I. vetülete.

Póluspontos, az egyenlítõ hossztartó, a teljes Föld képe kör alakban jelenik meg: van der Grinten III. vetülete.

A félgömb képe körkontúrban, hossztartó középmeridiánnal és egyenlítõvel jelenik meg, a ± 90°-os hosszúságtól a térkép széléig a meridiánok képe félkörív: Ortelius vetülete.

2. A meridiánok képei ellipszisívek.

 

A póluspontos vetületek a teljes Föld képét ellipszis kontúrban jelenítik meg. Közülük ekvidisztáns középmeridiánja van Apianus II. vetületének, míg az egyenlítõ felõl a sarkok felé sûrûsödõ parallelkörök a területtartó Mollweide féle vetületet valószínûsítik. Körkontúrban ábrázolt félgömb és a sarkok felé csökkenõ távolságú parallelkörök esetén viszont transzverzális gnomonikus vetülettel van dolgunk.

 

A pólusvonalas vetületek közül egyenközû középmeridián tartozik Eckert III. és Kavrajszkij II. vetületéhez (elõbbiben a meridiánok érintõlegesen, az utóbbiban töréssel csatlakoznak a pólusvonalakhoz). A parallelkörök távolsága az egyenlítõtõl a sarkok felé csökken Eckert területtartó IV. vetületénél.

 

3. A meridiánok képei ellipszisívekbõl összetevõdõ ívek.

 

Baranyi leggyakrabban elõforduló vetületei póluspontosak. Egyenközû parallalkörök jellemzik a II. vetületet. Ha viszont a meridiánok távolsága a középmeridiántól a határoló meridiánok felé csökken, akkor a IV. vetülettel van dolgunk.

 

Hasonló meridiánképei vannak a pólusvonalas Robinson féle vetületnek is.

 

4. A meridiánok képei szinuszívek.

 

Póluspontja van a területtartó Mercator-Sanson féle vetületnek.

 

A pólusvonalas vetületek közül ekvidisztáns középmeridiánja van Eckert V. vetületének. Az egyenlítõtõl a sarkok felé csökkenõ távolságú parallelkörök esetén elsõsorban Eckert területtartó VI. vetületére vagy Kavrajszkij (szintén területtartó) I. vetületére gondolhatunk. E két vetület megkülönböztetése a meridiánívek alapján lehetséges, amelyek Kavrajszkij I. vetületénél csak 120 foknyi, Eckert VI. vetületénél viszont “teljes”, azaz félperiódusnyi szinuszívek.

 

5. A meridiánok képei szinuszívekhez csatlakozó ellipszisívek.

 

Póluspontja van az Érdi-Krausz féle vetületnek.

 

Több póluspont jelenik meg a Goode féle vetületen.

 

6. A meridiánok képei az egyenlítõnél megtörõ egyenesek.

Póluspontos az ekvidisztáns középmeridiánú Donis féle vetület, valamint a területtartó Collignon féle vetület.

Pólusvonalas Eckert I. és Eckert területtartó II. vetülete.

A fokhálózat képének vonalai egymást merõlegesen metszik. A meridiánok képei által bezárt szögek megegyeznek a meridiánok által az alapfelületen bezárt szöggel (“azimutálisság”).

1. A meridiánok képeit a parallelkörök egyenközûen metszik - a valódi síkvetület nyilván meridiánokban hossztartó (Postel féle vetület).
2. A parallelkörök távolsága a pólustól távolodva csökken –feltehetõleg területtartó (Lambert féle) vetület.
3. A parallelkörök távolsága a pólustól távolodva gyorsan csökken és félgömbnél nagyobb terület nem is ábrázolható – ortografikus síkvetület.
4. A parallelkörök távolsága a pólustól távolodva növekszik –valószínûleg szögtartó (sztereografikus) síkvetület.
5. A parallelkörök távolsága a pólustól távolodva gyorsan növekszik és már félgömbnyi terület sem ábrázolható – feltehetõleg gnomonikus síkvetület.

A fokhálózat képének vonalai egymást merõlegesen metszik. A meridiánok képei és a meridiánok által bezárt szögek n aránya állandó (0<n<1).

1. A meridiánok képeit a parallelkörök egyenközûen metszik - a valódi kúpvetület nyilván meridiánokban hossztartó. Lehet egy (Ptolemaios féle) vagy két (de l’Isle féle) hossztartó parallelköre.

 

A hossztartó parallelkör(ök) meghatározása a sugárhajlás és a parallelkörök sugara ismeretében lehetséges.

 

2. A parallelkörök távolsága a hossztartó parallelkör(ök)tõl távolodva csökken –feltehetõleg területtartó kúpvetület.

 

Póluspontos az egy parallelkörben hossztartó Lambert féle kúpvetület.

 

Pólusvonal esetén lehetséges egy vagy két hossztartó parallelkörös változata (utóbbi az Albers féle vetület).

 

A hossztartó parallelkör(ök) meghatározása a sugárhajlás és a parallelkörök sugara ismeretében lehetséges.

 

3. A parallelkörök távolsága a hossztartó parallelkör(ök)tõl távolodva nõ – feltehetõleg szögtartó, esetleg perspektív kúpvetület.

A szögtartó kúpvetületnek lehet egy vagy két parallelkörben hossztartó változata (utóbbi a Lambert-Gauss féle vetület).

A hossztartó parallelkör(ök) meghatározása a sugárhajlás és a parallelkörök sugara ismeretében lehetséges.

a) A parallelkörök képei koncentrikus körívek, a meridiánok egyéb vonalak (nem összetartó egyenesek): Igazi képzetes kúpvetületek

Póluspontos, a középmeridián és a parallelkörök hossztartók: Bonne féle vetület

b) A parallelkörök képei nem-koncentrikus körívek, melyek sugarát az r=ctgφ képlet adja meg; a meridiánok képei egyéb vonalak (nem körívek): Polikónikus vetület

A polikónikus vetület középmeridiánban ekvidisztáns változata lehet területtartó, ortogonális (derékszögû fokhálózatú), parallelkörökben hossztartó (egyszerû vagy közönséges) polikónikus vetület. Egyenes meridiánképek, melyekbõl kettõ ekvidisztáns: módosított polikónikus vetület. A középmeridiánon az osztásközök az egyenlítõtõl a sarkok felé növekednek: szögtartó polikónikus vetület.

c) A parallelkörök képei nem-koncentrikus körívek, melyek sugara más képletbõl számítható; a meridiánok képei egyéb vonalak: Pszeudopolikónikus vetület.

ca) A meridiánok képei körívek: Lagrange vetületcsalád.

caa) A fokhálózati vonalak egymást derékszögben metszik: szögtartó módon a teljes Földet ábrázolja Lagrange vetülete; kisebb területet ábrázol a transzverzális és ferdetengelyû sztereografikus vetület; nem szögtartó van der Grinten II. vetülete.

cab) A fokhálózati vonalak nem alkotnak derékszögû hálózatot: körkontúrban félgömböt ábrázol Nicolosi vetülete; körkontúrban az egész Földet ábrázolja van der Grinten I. vetülete; két egymáshoz töréssel csatlakozó (félkörnél nagyobb) körív által határolt idomban az egész Földet ábrázolja van der Grinten IV. vetülete.

cb) A meridiánok képei egyéb vonalak (nem körívek):

Az egész Földet ábrázolja pólusvonallal, hossztartó középmeridiánnal a CNIIGAiK (1950) polikónikus vetülete.

a) A meridiánok és az egyenlítõ képét alkotó ellipszisívek centruma megegyezik, legfeljebb félgömbnyi területet ábrázol a ferdetengelyû ortografikus vetület.

b) Az ábrázolt terület egy tórusz külsõ felületének perspektív képén jelenik meg pólusvonallal az Armadillo vetületnél.

A fokhálózati vonalak közös fókuszpontú, egymást merõlegesen metszõ görbesereget alkotnak a Littrow féle vetületnél.

a) A középmeridián képe egyenes és szimmetriatengely, az egyenlítõ képe egyenes és szimmetriatengely, a többi fokhálózati vonal képe nem azonosítható jellegû görbe vonal

aa) A pólus képe pont: a Földet ellipszis kontúrban ábrázolja Aitoff vetülete (ekvidisztáns egyenlítõvel) és Hammer területtartó vetülete (melynek egyenlítõjén az osztásközök a középmeridiántól távolodva csökkennek); sugárirányban azonosan változnak a torzulások a transzverzális síkvetületeknél, a középmeridiánra merõleges irányban azonosan változnak a torzulások a transzverzális hengervetületeknél.

ab) A pólus képe egyenes vonal Winkel vetületénél.

ac) A pólus képe konkáv görbe vonal Aitoff és Hammer átszámozott fokhálózatú változatainál (elõbbi vetületben az egyenlítõ egyenközû, utóbbinál az osztásközök a középmeridiántól távolodva csökkennek).

b) A középmeridián képe egyenes és szimmetriatengely, de nincs több szimmetriatengely; a többi fokhálózati vonal képe nem azonosítható jellegû görbe vonal: sugárirányban azonosan változnak a torzulások a ferdetengelyû síkvetületnél és a ferdetengelyû kúpvetületnél; a középmeridiánra merõleges irányban azonosan változnak a torzulások a ferdetengelyû hengervetületnél.

c) Az egyenlítõ képe a pólusban megtörõ egyenes és lokálisan szimmetriatengely, a középmeridián lokálisan szimmetriatengely; a többi fokhálózati vonal képe nem azonosítható jellegû görbe vonal a transzverzális kúpvetületeknél.

Gyakran szükségünk van a névleges méretarány kiszámítására vagy ellenõrzésére. Ez legegyszerûbben a hossztartó vonalak mentén történhet meg. Két jól azonosítható pont közötti térképi ív hosszát kell ilyenkor a számított alapfelületi hosszal osztani.

Hossztartó vonal híján kereshetünk állandó hossztorzulású vonalat. Ekkor az eljárás a hossztartó vonalnál mondottakhoz hasonlóan történik, azzal a kiegészítéssel, hogy a nevezõben szereplõ alapfelületi vonal hosszát beszorozzuk a hossztorzulási tényezõvel. Torzulásmentes pont környékén kiválasztott két pont képfelületi és alapfelületi távolságának hányadosa közelítõleg szintén a névleges méretarányt adja meg.

Számolást is igényel a vetületi függvények (vetületi egyenletek, sugárfüggvény) felhasználása. Ismert síkvetület vagy kúpvetület esetén célszerû a sugárirányú távolságot osztani a sugárfüggvénybõl kiszámított mennyiséggel. Ismert hengervetületnél az Egyenlítõ és valamelyik szélességi kör térképi távolsága osztandó az y vetületi egyenletbõl a megfelelõ szélesség behelyettesítésével kapott értékkel. Általánosabban, bármely pontnak az egyik tengelytõl vett távolságát osztva azzal a mennyiséggel, amelyet a megfelelõ vetületi egyenletbõl kapunk a pont koordinátáinak behelyettesítésével, a névleges méretarányt kapjuk meg. (Megjegyzendõ, hogy itt a vetületi függvényeknek mindig a földsugárral beszorzott alakját kell használni.)

Ha a torzulási ellipszisek mindenütt körök, akkor szögtartó vetületet, ha a féltengelyek egymás reciprokai, akkor területtartó vetületet feltételezhetünk. Ha egy vonal mentén a torzulási ellipszis rádiuszvektorai egységnyiek, akkor a vonal valószínûleg hossztartó.

Ha a torzulási ellipszis tengelyei minden pontban párhuzamosak, akkor nyilván valódi hengervetülettel van dolgunk, és a tengelyirányok a (segéd-) fokhálózati vonalak irányát jelölik ki. Ha a tengelyek mind egy pont irányába mutatnak, akkor vagy valódi sík-, vagy kúpvetületrõl van szó; e tengelyirányok a (segéd-) meridiánok irányát adják meg. Az egységnyi féltengelyek nyilván a (segéd-) normálparallelkör helyét jelzik.

Ha a tengelyirányok egybeesnek a fokhálózati vonalak irányával, akkor ortogonális fokhálózatú vetülettel van dolgunk.

Ha a térképen nincs fokhálózat, akkor a torzulási ellipszisek a szokásos módon nem szerkeszthetõk fel. Ebben az esetben keresnünk kell a térképen olyan pontokat, amelyek egy adott ponttól mint középponttól egyenlõ alapfelületi távolságra helyezkednek el. (Ilyen pontok lehetnek települések, vagy más, a síkrajz alapján jól azonosítható helyek.) Most e pontokon keresztül vonalat húzunk, amely elvileg egy - az adott középpontra vonatkoztatott - közelítõ torzulási ellipszist ad meg. Ha több ilyen közelítõ ellipszist elkészítünk a térkép különbözõ pontjában, akkor a fentiekhez hasonló következtetéseket vonhatunk le. Vigyázzunk azonban: e közelítõ torzulási ellipszisek méretei csak akkor hasonlíthatók össze, ha a különbözõ középpontokhoz tartozó alapfelületi távolságok ugyanakkorák.